2025-2026学年云南开远市第一中学高二下册期中考试数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.样本数据2，18，14，10，5的第百分位数为（）A. B. C. D.3.已知集合，，则的子集个数为（）A.4 B.6 C.7 D.84.记为等比数列的前项和，若，，则（）A.2 B.4 C.6 D.85.已知正数x，y满足，则的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.76.鱼塘中的鱼出现了某种因寄生虫引起的疾病，养殖户向鱼塘中投放一种灭杀寄生虫的药剂，已知该药剂融于水后每立方的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的关系用如图所示的曲线表示.据进一步测定，每立方的水中含药量不少于0.25毫克时，才能起到灭杀寄生虫的效果，则投放该杀虫剂的有效时间为（）A.4小时 B.小时 C.小时 D.5小时7.已知函数，则其图象大致是（）A. B.C. D.8.若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（）A. B.是奇函数C.是偶函数 D.在上单调递增10.不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机抽取两次，每次取一球．表示事件“第二次取出球的数字小于等于3”表示事件“两次取出球的数字差的绝对值小于等于2”，则（）A. B.C.事件与互斥 D.事件与相互独立11.已知函数.则下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于点对称C.函数在定义域上单调递减D.若实数a，b满足，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的定义域为______.13.已知函数，且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则______．14.已知椭圆的上顶点为，点是椭圆上异于顶点的一点，过作轴的垂线交椭圆于另外一点，若直线，与轴分别交于，两点，为坐标原点，则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．（1）求a；（2）若的面积为，求AB边上的高CD．16.“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工的爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取100名员工男女各半进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性总计爱好30不爱好10总计100（1）请将上面的列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验，分析爱好运动与性别是否有关；（2）若从这100人中的不爱好运动的人中随机抽取2人参加体育培训，记抽到的男性人数为，求的分布列､数学期望.附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中.17.如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点．（1）若，证明：平面；（2）已知，平面和平面的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积．18.已知抛物线的标准方程为：，且点在抛物线上.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点作两条倾斜角互补的直线，，两直线与抛物线的另外一个交点分别为，，求直线的斜率；（3）过点作圆的两条切线，，切线与抛物线的另外一个交点分别为，.且直线与圆也相切，求圆的标准方程.19.已知函数．（1）若，求证：在上单调递减；（2）若在上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：由推不出，反之，由可以推出，即可得答案.解答过程：由推不出，反之，由可以推出所以“”是“”的必要不充分条件故选：B方法提示：本题考查的是充分条件和必要条件的判断，较简单.2.样本数据2，18，14，10，5的第百分位数为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据百分位数的求法计算即可.解答过程：样本数据从小到大排列为，计算位置：，因为为整数，所以第百分位数为，故选：C．3.已知集合，，则的子集个数为（）A.4 B.6 C.7 D.8答案：D解析：解答过程：由可得，所以，，所以.故的子集的个数为.4.记为等比数列的前项和，若，，则（）A.2 B.4 C.6 D.8答案：B解析：思路：由已知结合等比数列的通项公式可求，然后结合数列的前项的定义即可直接求解.解答过程：设等比数列的公比为，则，，故．故选：B．5.已知正数x，y满足，则的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.7答案：C解析：思路：先妙用“1”拼凑基本不等式，计算的最小值，再得到的最小值即可.解答过程：因为，所以，当且仅当时，即，时取等号.所以（当且仅当，时取等号），即的最小值为6.故选：C.方法提示：思路点睛：利用基本不等式求最值时，通常有以下思路，需注意取等号条件是否成立.（1）积定，利用，求和的最小值；（2）和定，利用，求积的最大值；（3）妙用“1”拼凑基本不等式求最值.6.鱼塘中的鱼出现了某种因寄生虫引起的疾病，养殖户向鱼塘中投放一种灭杀寄生虫的药剂，已知该药剂融于水后每立方的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的关系用如图所示的曲线表示.据进一步测定，每立方的水中含药量不少于0.25毫克时，才能起到灭杀寄生虫的效果，则投放该杀虫剂的有效时间为（）A.4小时 B.小时 C.小时 D.5小时答案：C解析：思路：分和两种情况令，解不等式得到的范围即可得到杀虫剂的有效时间.解答过程：由题图可知，当时，令，即，解得；当时，令，即，解得，所以投放该杀虫剂的有效时间为小时.故选：C.7.已知函数，则其图象大致是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：由函数解析式结合奇函数定义证明为奇函数，再说明当时，，由此确定结论.解答过程：因为函数的定义域为，定义域关于原点对称，所以是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，当时，，选项ACD都不能同时满足以上要求，选项B满足以上要求，故函数的图象大致是选项B中的图象，故选：B.8.若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：由已知有或，利用偶函数的对称性及单调性列不等式组求解即可.解答过程：因为定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且，则在区间上单调递减，且，由，得或，即或，解得或，综上所述，满足原不等式的的取值范围是.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（）A. B.是奇函数C.是偶函数 D.在上单调递增答案：ACD解析：思路：根据幂函数经过的点得其表达式，结合幂函数的性质即可根据选项逐一求解.解答过程：因为函数的图象过点，所以，即，所以，故A正确：，定义域为，关于原点对称，所以，所以是偶函数，故B错误，C正确：又，所以在上单调递减，又是偶函数，所以在上单调递增，故D正确．故选：ACD．10.不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机抽取两次，每次取一球．表示事件“第二次取出球的数字小于等于3”表示事件“两次取出球的数字差的绝对值小于等于2”，则（）A. B.C.事件与互斥 D.事件与相互独立答案：AD解析：思路：根据题意结合古典概型求，再结合概率的运算和事件的独立性运算求解.解答过程：第二次取出一个球有6种取法，取出球小于等于3有1，2，3共3种取法，所以，故A正确；第一次取出数字为1，第二次取1，2，3，第一次取出数字为2，第二次取1，2，3，4，第一次取出数字为3，第二次取1，2，3，4，5，第一次取出数字为4，第二次取2，3，4，5，6，第一次取出数字为5，第二次取3，4，5，6，第一次取出数字为6，第二次取4，5，6，所以，，所以，故B错误；，故事件与不互斥，故C错误；，故D正确.故选：AD.11.已知函数.则下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于点对称C.函数在定义域上单调递减D.若实数a，b满足，则答案：ABD解析：思路：利用函数解析式，求解可得，即可判断A，利用可判断B，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C，根据函数的单调性和对称中心可判断D.解答过程：对于A选项，对任意的，，所以函数的定义域为，又因为，所以，故A正确；对于B选项，因为函数满足，故函数的图象关于点对称，故B正确；对于C选项，对于函数，该函数的定义域为，，即，所以函数为奇函数，当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，所以函数在上为增函数，故函数在上也为增函数，因为函数在上连续，故函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，故C不正确；对于D选项，因为实数a，b满足，则，可得，即，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的定义域为______.答案：解析：思路：根据分式函数和根式函数，由求解.解答过程：解：由，解得，所以函数的定义域为.故13.已知函数，且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则______．答案：解析：思路：先根据解析求出定点，再将点的坐标代入到幂函数中去可求得结果.解答过程：令，解得，此时，所以函数（，且）的图象恒过定点，设幂函数，则，解得，所以．故答案为.14.已知椭圆的上顶点为，点是椭圆上异于顶点的一点，过作轴的垂线交椭圆于另外一点，若直线，与轴分别交于，两点，为坐标原点，则的最小值为______.答案：解析：思路：根据椭圆的性质得到A点坐标，写出直线的方程，得出点坐标，同理求出点坐标，由此得出，根据重要不等式求出的最小值即可.解答过程：易得，设，则，.所以直线的方程为，令，得，即.直线的方程为，令得，即.所以，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．（1）求a；（2）若的面积为，求AB边上的高CD．答案：（1）4；（2）.解析：思路：（1）由，可得，，然后由正弦定理结合可得答案；（2）由面积为，可得，由余弦定理可得，再结合面积为可得答案.（1）根据，可知，，因为，即，所以，即；（2），解得，则，解得，，．16.“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工的爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取100名员工男女各半进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性总计爱好30不爱好10总计100（1）请将上面的列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验，分析爱好运动与性别是否有关；（2）若从这100人中的不爱好运动的人中随机抽取2人参加体育培训，记抽到的男性人数为，求的分布列､数学期望.附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中.答案：（1）表格见解析，无关（2）分布列见解析，解析：思路：（1）首先补充列联表，再计算，根据临界值参考数据，即可判断；（2）根据超几何概率公式求解概率，再写出分布列，并求解期望.（1）根据男，女员工各50人，可以补充列联表，男性女性总计爱好304070不爱好201030总计5050100零假设为：爱好运动与性别相互独立，即爱好运动与性别无关，由已知数据可求得，根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，即爱好运动与性别无关，由此推断犯错误的概率不大于0.01.（2）的取值可能为.，所以的分布列为012的数学期望为.17.如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点．（1）若，证明：平面；（2）已知，平面和平面的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积．答案：（1）证明见解析（2）2解析：思路：（1）利用线面垂直得到直角三角形，利用直角三角形的性质和线面垂直的判定定理可证结论；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用平面夹角得出的长，结合条件公式可得答案.（1）因为平面，平面，所以，是直角三角形，因为是的中点，所以，因为，所以，可得，因为平面，，所以，因为，，，平面，，所以平面；（2）设，因为两两垂直，以为坐标原点，向量分别为轴建立空间直角坐标系，有，设平面的法向量为，由，有，取，可得平面的一个法向量为，设平面的法向量为，由，有，取，可得平面PCD的一个法向量为，又由，，有，又由平面和平面的夹角的余弦值为，有，解得，故，所以．18.已知抛物线的标准方程为：，且点在抛物线上.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点作两条倾斜角互补的直线，，两直线与抛物线的另外一个交点分别为，，求直线的斜率；（3）过点作圆的两条切线，，切线与抛物线的另外一个交点分别为，.且直线与圆也相切，求圆的标准方程.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）将点代入抛物线的方程中求出的值，从而得到抛物线的标准方程；（2）由过点作两条倾斜角互补的直线，，两直线与抛物线的另外一个交点分别为，，得到直线，都存在斜率，且，斜率存在且，利用斜率公式求出，同理得到，，由，得到，从而得到；（3）由过点作圆的两条切线，，则直线和的倾斜角互补，则，则由（2）可知，设，，.通过联立抛物线和直线，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理得到.由和在抛物线上得到和.利用点斜式求出直线的方程，通过计算得到直线的方程，同理得到直线的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到的距离，利用直线和圆相切得到，通过计算得