2025-2026学年云南普洱市墨江第一中学等校高一下册4月联考数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.与三棱台的顶点数相同的几何体可以是（）A.三棱锥 B.四棱锥C.四棱柱 D.五棱锥2.集合的子集个数为（）A.3 B.4 C.8 D.93.已知，则（）A. B.C. D.4.已知的内角的对边分别为，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5.不等式对任意恒成立，则的最小值是（）A. B. C. D.6.一个正方体的展开图如图所示，若将它还原为正方体，则（）A. B.C. D.7.已知是的重心，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.8.如图，测量河对岸的塔高时，可以选择与塔底在同一水平面内的两个测量点与，先测得米，并在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（）A.米 B.米C.米 D.米二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于平面向量，下列结论不正确的是（）A.若，则B.若，则或C.若，则D.若，则10.已知函数，则（）A.在上单调递增 B.的值域为C.的图象关于直线对称 D.恰有1个零点11.已知的内角的对边分别为，若，且的面积，则（）A.B.C.D.关于的方程存在2个不相等的实数根三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则的虚部为__________.13.如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，分别在轴上，且，则在中，___________．14.已知向量满足，且，则的最大值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，（1）求；（2）求向量与夹角的余弦值.16.已知函数的部分图象如图所示，点，点．（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间；（3）求在上的值域．17.在正方体中，为的中点，与平面交于点．（1）求三棱锥的体积；（2）求三棱锥外接球的表面积；（3）证明：，，三点共线．18.如图，在长方形中，是的中点，是线段上的点（含端点）.（1）若，用表示；（2）求的取值范围；（3）延长到点，使得，若，求.19.如图，在平面四边形中，.（1）若，求；（2）判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由；（3）若，设的面积分别为，求的取值范围.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.与三棱台的顶点数相同的几何体可以是（）A.三棱锥 B.四棱锥C.四棱柱 D.五棱锥答案：D解析：思路：先确定三棱台的顶点数，再判断各选项中几何体的顶点数即可得结论．解答过程：三棱台的顶点数为6，三棱锥的顶点数为4，四棱锥的顶点数为5，四棱柱的顶点数为8，五棱锥的顶点数为6.2.集合的子集个数为（）A.3 B.4 C.8 D.9答案：C解析：解答过程：由题意得，其元素个数为3，子集个数为．3.已知，则（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：，则，则.4.已知的内角的对边分别为，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案：A解析：思路：借助正弦定理边角互化及二倍角公式，结合充分条件与必要条件定义讨论即可得.解答过程：由，得，即；由，得，则，不一定满足；故“”是“”的充分不必要条件.5.不等式对任意恒成立，则的最小值是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：转化问题为m≥−x+解答过程：根据题意可得m≥−x+而x+15x则−x+15x≤−215，所以6.一个正方体的展开图如图所示，若将它还原为正方体，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：将正方体的展开图还原，即可根据正方体的性质逐一求解.解答过程：以所在平面作为下底面还原，还原成如图所示的正方体，由图可得与异面，A错误．显然B正确．与异面，C错误．连接，则为等边三角形，D错误．7.已知是的重心，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为是的重心，所以，则在上的投影向量为.8.如图，测量河对岸的塔高时，可以选择与塔底在同一水平面内的两个测量点与，先测得米，并在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（）A.米 B.米C.米 D.米答案：C解析：解答过程：由题可知，由正弦定理得，其中，则米.因为，所以米.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于平面向量，下列结论不正确的是（）A.若，则B.若，则或C.若，则D.若，则答案：BCD解析：思路：由向量模长概念、垂直关系可判断AB，通过反例可判断CD.解答过程：由，得，则，A正确.由，得或或不正确.取，满足，此时不相等，C不正确.取，满足，此时不相等，D不正确.10.已知函数，则（）A.在上单调递增 B.的值域为C.的图象关于直线对称 D.恰有1个零点答案：AC解析：思路：根据函数的对称性结合条件判断C，应用复合函数单调性结合对数函数单调性判断A，应用值域计算判断B，结合零点定义及对数方程计算判断D.解答过程：由题可知的定义域为，因为，所以的图象关于直线对称，C正确．因为，且函数在上单调递增，在其定义域内单调递增，所以在上单调递增，A正确．当时，，所以的值域为，B错误．令，又因开口向下，且，所以在内有两解，D错误．11.已知的内角的对边分别为，若，且的面积，则（）A.B.C.D.关于的方程存在2个不相等的实数根答案：ACD解析：思路：利用三角形的面积公式并结合正弦定理判断A，利用余弦定理结合基本不等式判断B，利用两角差的余弦公式结合辅助角公式判断C，结合题意得到，进而求出角度判断D即可.解答过程：对于A，因为，由，解得，由两角和的正弦公式得，由正弦定理得，故A正确；对于B，由余弦定理，，即，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，得到，即，解得，故B错误；对于C，由题意得，由，得，则因为，所以，故有，即C正确；对于D，由题意得，则，由，得，则或，解得或，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则的虚部为__________.答案：解析：解答过程：由题意得，则，可得虚部为.13.如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，分别在轴上，且，则在中，___________．答案：9解析：解答过程：由题可知，A'则在原图中，，则BC=O14.已知向量满足，且，则的最大值为__________.答案：5解析：思路：求出向量的夹角及，设，取的中点，利用数量积运算可得点是以为圆心，2为半径的圆上的动点，结合圆的几何性质可求得的最大值.解答过程：如图，记，则，，可得则.取的中点，则，则，则，故是以为圆心，2为半径的圆上的动点，.易得，所以.所以的最大值为5.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，（1）求；（2）求向量与夹角的余弦值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）借助向量坐标运算及模长公式计算即可得；（2）借助向量坐标运算、模长公式与夹角公式计算即可得.（1）因为，所以，则；（2）因为，所以，则.设与的夹角为，则.16.已知函数的部分图象如图所示，点，点．（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间；（3）求在上的值域．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由图象确定周期求得，通过点坐标代入解析式即可求解；（2）由（1），通过整体代入即可求解；（3）由，得的范围，再结合正弦函数的性质即可求解.（1）由图可得，所以，即，解得．将的坐标代入中，得，即所以，因为，所以．故．（2）令，得，所以的单调递增区间为．（3）设，由，得，所以，所以，故在上的值域为．17.在正方体中，为的中点，与平面交于点．（1）求三棱锥的体积；（2）求三棱锥外接球的表面积；（3）证明：，，三点共线．答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）根据计算可得；（2）棱锥的外接球即为正方体的外接球，求出正方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的表面积；（3）连接，根据点、面的位置关系证明即可.（1）三棱锥的体积为．（2）三棱锥的外接球即为正方体的外接球，又正方体外接球的直径，所以三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为．（3）连接，，易得，所以四点共面．由为的中点，得为的中点，则．因为平面，所以平面，因为平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．因为与平面交于点，所以平面，．因为平面，所以平面，则为平面与平面的公共点，所以，所以三点共线．18.如图，在长方形中，是的中点，是线段上的点（含端点）.（1）若，用表示；（2）求的取值范围；（3）延长到点，使得，若，求.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由向量基本定理可得答案；（2）方法一：为基底，表达出，得到关于的关系式，求出最值；方法二：利用向量的投影进行求解，得到最值；（3）以为基底，表达出，两边平方后可得，求出答案（1）因为，所以.又是的中点，所以，从而.（2）（方法一）因为是线段上的点，所以.又，所以.由，得，故的取值范围为.（方法二），分别记在上的射影为.由向量的投影可知，当运动到点处时，取得最小值，当运动到点处时，取得最大值.记的交点为，易得，则，则，则，故的取值范围为.（3）由题可知，因为，所以.又，所以，则，从而，，则，则.19.如图，在平面四边形中，.（1）若，求；（2）判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由；（3）