2025-2026学年山东实验中学高一下册期中（必修第二册阶段检测）数学试题 含答案

/数学满分150分，分为和两部分，第I卷为第1页至第2页，第II卷为第3页至第4页试题.答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.第I卷（选择题58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数（i为虚数单位），则的共轭复数为（）A. B. C. D.2.已知向量与，若，则实数（）A. B. C. D.3.如图，根据斜二测画法得到了水平放置的的直观图，图中的虚线分别与轴和轴平行，若，则的面积为（）A. B. C.12 D.244.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，“”是“是锐角三角形”的______条件.（）A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要5.已知正方体中，、分别为和的中点，则直线和的位置关系为（）A.平行 B.异面 C.相交 D.垂直6.某人在处向正东方向走后到达处，他沿南偏西方向走3km到达处，结果他离出发点恰好，那么的值为（）A. B. C.或 D.或7.刘徽所著的《重差》是我国第一部测量学著作，其思想也为地图学提供了数学基础.现采用《重差》的方法测量一个球体建筑物的相关数据.如图，已知球体建筑物与水平地面的接触点（切点）为点，地面上A，B，C三点共线，且在三者中的最左侧.若在B，C处分别测得该球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据以上测量数据可计算出该球体建筑物的体积为（）A. B.C. D.8.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为，若，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（）A. B.若，则C.若复数为纯虚数，则 D.10.满足，且边BC上高，则（）A.三个内角满足关系B.的周长为C.若的角平分线与交于，则的长为D.设为外接圆上任意一点，则的最大值为11.已知圆锥SO高为3，底面圆半径为1，点和点是底面圆上的两个定点，点是底面圆上的动点（不与A，C重合），且恒成立，则（）A.圆锥SO的侧面积为B.三棱锥体积的最大值为3C.圆锥SO外接球的表面积为D.当三棱锥体积取到最大值时，若为线段AB上的动点，则的最小值为第II卷（非选择题92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量满足，且与的夹角为，则_________．13.如图，已知正方形OABC的边长为2，是四分之一圆弧，现以OC所在直线为旋转轴旋转一周，则图中阴影部分得到的旋转体的表面积为____________.14.已知A，B，C，D四点共面，，则向量的模的最大值为____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在菱形ABCD中，E，F分别为BC和CD的三等分点.（1）若，求xy的值；（2）若，求的值.16.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.（1）求角及边c的值；（2）求周长的最大值.17.如图，已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，点分别为的中点，设平面平面.（1）证明：平面；（2）证明：；（3）求三棱锥的体积.18.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.（1）若为BC的中点且，求边AC；（2）如图，过作，且，记.（i）用表示边AD；（ii）若的面积为，求的大小.19.在中，角的对边分别为，，，点，，分别位于，，所在直线上，满足，，（，，）．（1）如图1，若三角形是边长为3的正三角形，且，求；（2）如图2，若，，交于一点，①求的值，②若，，，，求．

数学满分150分，分为和两部分，第I卷为第1页至第2页，第II卷为第3页至第4页试题.答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.第I卷（选择题58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数（i为虚数单位），则的共轭复数为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题意得，故2.已知向量与，若，则实数（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据平面向量平行的坐标运算即可.解答过程：因为，所以，即.3.如图，根据斜二测画法得到了水平放置的的直观图，图中的虚线分别与轴和轴平行，若，则的面积为（）A. B. C.12 D.24答案：D解析：思路：由直观图得到平面图形，再求出相应的线段长，最后由面积公式计算可得.解答过程：如图所示，由题给条件：，，还原原：底边在轴上，长度不变，即；点到轴（所在边）的高，还原后为直观图中对应方向长度的倍，即原三角形的高.所以.4.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，“”是“是锐角三角形”的______条件.（）A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要答案：B解析：思路：根据余弦定理，结合充分，必要条件的定义，即可判断.解答过程：若，则，则角为锐角，但不能说明角也是锐角，所以不能推出为锐角三角形，反过来，若为锐角三角形，则角是锐角，则，即，所以“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件.5.已知正方体中，、分别为和的中点，则直线和的位置关系为（）A.平行 B.异面 C.相交 D.垂直答案：C解析：思路：连接，证明出四边形为梯形，可得出结论.解答过程：如下图所示，连接，由、分别为、的中点，得，，在正方体中，，，故四边形为平行四边形，所以，，故，，所以四边形为梯形，故直线、相交，故选：C.6.某人在处向正东方向走后到达处，他沿南偏西方向走3km到达处，结果他离出发点恰好，那么的值为（）A. B. C.或 D.或答案：C解析：解答过程：

如图：，，，，在中由余弦定理可得：，即，所以，即，解得：或.7.刘徽所著的《重差》是我国第一部测量学著作，其思想也为地图学提供了数学基础.现采用《重差》的方法测量一个球体建筑物的相关数据.如图，已知球体建筑物与水平地面的接触点（切点）为点，地面上A，B，C三点共线，且在三者中的最左侧.若在B，C处分别测得该球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据以上测量数据可计算出该球体建筑物的体积为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：由题设可得如下截面图，设球半径为R，由平面几何知识可得，据此可得答案.解答过程：由题设可得如下截面图，设球心为O，过B，C两点的射线与球O相切于D，E.连接，则，又，，则，，结合，则，，，（单位：m），则该建筑物体积为.8.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为，若，则的取值范围是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据给定条件，利用三角形面积公式及余弦定理、和角的正弦公式化简可得，再利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变换及余弦的二次型函数值域求解.解答过程：在锐角中，由及三角形面积公式，得，而，则，由余弦定理得，则，即，由正弦定理得，即，整理得，则，由，得，于是，即，且，，因此，所以的取值范围是.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（）A. B.若，则C.若复数为纯虚数，则 D.答案：AD解析：思路：对于A，利用复数的运算即可得解；对于B，通过举反例，即可判断；对于C，设，通过计算即可判断；对于D，设，，计算，即可判断.解答过程：对于A，，故A正确；对于B，，，满足，而复数不能比较大小，故B错误；对于C，设，则，，故C错误；对于D，设，，则，所以，而，故，故D正确.10.满足，且边BC上高，则（）A.三个内角满足关系B.的周长为C.若的角平分线与交于，则的长为D.设为外接圆上任意一点，则的最大值为答案：ABD解析：思路：借助正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理和面积即可求得三角形的边长，利用角平分线将三角形进行分割，利用面积建立方程，即可求出的长度，最后建立直角坐标系将问题转化成点到直线的距离即可求出最大值.解答过程：满足，根据正弦定理，可得三角形三边之比.设，，.已知边BC上的高，则的面积可用两种方式表达：则，使用余弦定理可知，因为，所以，则..将两个面积表达式联立得：，解得，故，，.，因为，所以，又因为三角形内角和为，所以，选项A正确；的周长为，选项B正确；的角平分线与AC交于，根据角平分线定理，点分的比为.,则，已知，，，则，，代入得：，即，选项C错误；设外接圆半径为，.以所在直线为轴，中点为原点建立平面直角坐标系.因为，所以，.又因为高，设，则，解得或.又，若，，符合；若，，不符合，故.设外接圆圆心坐标.,，解得.，若，，符合.若，，排除，所以外接圆圆心坐标，外接圆方程为.，设为圆上一点，，则.令，等价于求直线与圆有交点时的最大值.圆心到直线距离，，，则，可得，故最大值为，选项D正确.11.已知圆锥SO高为3，底面圆半径为1，点和点是底面圆上的两个定点，点是底面圆上的动点（不与A，C重合），且恒成立，则（）A.圆锥SO的侧面积为B.三棱锥体积的最大值为3C.圆锥SO外接球的表面积为D.当三棱锥体积取到最大值时，若为线段AB上的动点，则的最小值为答案：ACD解析：思路：求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式可判断A；利用基本不等式结合锥体的体积公式可判断B；易知球心在直线上，球心到底面圆心的距离为，则得到半径，利用球体表面积公式可判断C；将展开为一个平面，利用余弦定理可判断D.解答过程：因为，所以，由圆的性质可知，为底面圆的直径，故，A，母线长，因此圆锥SO的侧面积为，故A正确；B，因为，故，由基本不等式，即，所以，当且仅当时，等号成立三棱锥体积为，所以三棱锥体积的最大值为，故B错误；C，设外接球的球心为，半径为，球心在圆锥的轴上，设，则到底面圆心的距离为，故，到顶点的距离为，故，则，得，因此，外接球表面积：，故C正确；D，当时，易知，将展开为一个平面，如下图所示：在中，，由余弦定理可得，所以，易得，所以，由余弦定理可得，当三点共线时，的长取最小值，且其最小值为，故D正确.第II卷（非选择题92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量满足，且与的夹角为，则_________．答案：解析：思路：直接由结合已知条件求解即可解答过程：因为平面向量满足，且与的夹角为，所以，故13.如图，已知正方形OABC的边长为2，是四分之一圆弧，现以OC所在直线为旋转轴旋转一周，则图中阴影部分得到的旋转体的表面积为____________.答案：解析：思路：根据圆柱以及球的表面积求解即可.解答过程：线段绕OC所在直线为旋转轴旋转得到圆柱体，其上底面以及侧面的表面积为.四分之一圆弧绕旋转得到半径为的半球面，半球面的表面积为.故旋转体的表面积为.14.已知A，B，C，D四点共面，，则向量的模的最大值为____________.答案：10解析：思路：根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量运算的坐标表示及模的坐标表示求解.解答过程：以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，设，由，得，整理得，显然，而，由，得，因此，当且仅当时取等号，所以向量的模的最大值为10.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在菱形ABCD中，E，F分别为BC和CD的三等分点.（1）若，求xy的值；（2）若，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由图结合向量线性运算知识可得答案；（2）由（1）分析结合，数量积运算律可得答案.（1），因为不共线，所以，故；（2）因为，所以.故.16.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.（1）求角及边c的值；（2）求周长的最大值.答案：（1），（2）解析：思路：（1）利用余弦定理确定角，利用正弦定理进行转化，结合已求得的角计算边的值；（2）结合余弦定理得到与的关系式，再利用基本不等式或三角函数的有界性求解的最大值.（1）由，根据余弦定理，得，因为，则.由，得，根据正弦定理，得，则.（2）由（1）知，，因为，即，当且仅当时等号成立，所以的最大值为2.故周长的最大值为.17.如图，已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，点分别为的中点，设平面平面.（1）证明：平面；（2）证明：；（3）求三棱锥的体积.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）取的中点，连接，根据题意证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）由平面，结合线面平行的性质定理，即可证得；（3）利用等体积转化为，即可求解.（1）取的中点，连接，因为点分别为的中点，由题意可证得，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，而平面平面，所以平面.（2）由（1）可得平面平面，平面平面，所以.（3）由（1）可得平面，所以点和点到平面的距离相等.所以.故所求锥体的体积为.18.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.（1）若为BC的中点且，求边AC；（2）如图，过作，且，记.（i）用表示边AD；（ii）若的面积为，求的大小.答案：（1）（2）