2025-2026学年云南省红河州第一中学高二下册期中考试数学试题 含答案

/数学满分150分，考试用时120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（

）A. B. C. D.2.已知向量，满足，，，则（）A. B.1 C.2 D.33.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.4.函数的最小正周期为（）A.4π B.2π C.π D.5.函数的部分图象可能是（）A. B. C. D.6.等差数列的前n项和为，且，，则（）A.90 B.100 C.110 D.2007.若对任意实数，直线截圆所得的弦长为定值，则实数（）A. B. C. D.8.将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（）A.12 B.24 C.36 D.48二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知等比数列的公比为，且，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.10.已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（）A.双曲线的离心率为B.若，则的面积为C.若，则的周长为D.若直线：与双曲线无交点，则直线的斜率的取值范围为11.已知在长方体中，，点为的中点，为底面（含边界）内一个动点，且平面，长方体的外接球的球心为，则下列选项正确的是（）A.球的表面积为B.动点的轨迹长度为C.异面直线与所成角的正切值的取值范围是D.三棱锥的外接球球心为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则_______.13.已知，则的值为______.14.已知在一个有底的圆锥容器（厚度忽略不计）内放入一个正方体，若该正方体在其内部能任意转动，且正方体的最大棱长为，则该圆锥容器的容积的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角所对的边分别为、、．若＝，＝，且．（1）求角A的大小；（2）若，三角形面积，求的值．16.如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，．（1）求证：平面PAB；（2）求二面角的大小．17.某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中（1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；（2）若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列.18.已知椭圆的短轴长为，是的右焦点，是的下顶点，且．过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为．（1）求椭圆的方程和离心率；（2）判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由．19.若函数的定义域为，对任意，恒有，则称函数是上的上凸函数，若恒有，则称函数是上的下凸函数，这个性质称为函数的凹凸性.上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意个点，即若是上（下）凸函数，则对任意，恒有.应用以上知识解决下列问题：（1）判断、和在定义域上的凹凸性；（只写出结论，不需证明）（2）判断函数，的凹凸性，并用定义证明；利用结论，在中，求的最大值；（3）在中，角、、的对边分别为、、，记为的面积，为的周长，证明.

数学满分150分，考试用时120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（

）A. B. C. D.答案：C解析：思路：结合数轴，由交集运算即可求解.解答过程：在数轴上分别标出集合，所表示的范围，如图所示，由图可知，．2.已知向量，满足，，，则（）A. B.1 C.2 D.3答案：B解析：解答过程.3.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题设，故其虚部为.4.函数的最小正周期为（）A.4π B.2π C.π D.答案：C解析：思路：使用二倍角公式化简即可.解答过程：，所以.5.函数的部分图象可能是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据奇函数定义，排除C，D，再根据时函数值的符号判断A、B即可.解答过程：因为，所以，所以的图象关于原点中心对称，排除C，D，当时，，排除B．故选：A．6.等差数列的前n项和为，且，，则（）A.90 B.100 C.110 D.200答案：B解析：思路：设出首项和公差，求解出基本量，最后利用求和公式求和即可.解答过程：设首项为，公差为，因为，所以，因为，所以，联立方程组可得，解得，则由等差数列求和公式得，故B正确.7.若对任意实数，直线截圆所得的弦长为定值，则实数（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：求出圆心坐标与圆的半径，利用勾股定理可得出直线截圆所得的弦长，结合弦长为定值可得出关于的等式，解之即可.解答过程：圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，所以直线截圆所得的弦长为为定值，所以，即，解得.故选：D.8.将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（）A.12 B.24 C.36 D.48答案：A解析：思路：确定1，9的位置，再确定2，3的位置，最后确定余下4个数的位置，列式计算即可.解答过程：由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得在左上角，在右下角，如图，

排在位置，有种方法，从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在位置，有种方法，最后两个数字从上到下由大到小排在位置，有1种方法，所以填写方格表的方法共有（种）.故选：A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知等比数列的公比为，且，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.答案：AC解析：思路：利用等比数列的通项公式及求和公式即可求解.解答过程：由等比通项公式得：，又因为，所以，故A正确，B错误；再由，所以，故C正确，D错误；故选：AC.10.已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（）A.双曲线的离心率为B.若，则的面积为C.若，则的周长为D.若直线：与双曲线无交点，则直线的斜率的取值范围为答案：AC解析：思路：根据双曲线的定义、标准方程、几何性质逐项计算判断即可.解答过程：对于A：因为双曲线方程为，所以.所以双曲线的离心率为，A正确；对于B：不妨设点在双曲线右支上，则根据双曲线的定义，①，因为，则根据勾股定理得②，由①式取平方减去②式，可得，即得，则的面积为，B错误；对于C：因为，所以点在双曲线右支上，因，建立解得，所以的周长为，C正确；对于D：因为双曲线方程为，则其渐近线方程为.因为直线：与双曲线无交点，则当时，；当时，；故直线的斜率的取值范围为，故D错误.故选：AC.11.已知在长方体中，，点为的中点，为底面（含边界）内一个动点，且平面，长方体的外接球的球心为，则下列选项正确的是（）A.球的表面积为B.动点的轨迹长度为C.异面直线与所成角的正切值的取值范围是D.三棱锥的外接球球心为，则答案：ABD解析：思路：利用长方体的性质结合球的表面积公式判断A，建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量表示并结合题意得到轨迹方程，进而求解轨迹长度判断B，利用异面直线夹角的向量求法结合同角三角函数的基本关系判断C，利用球的方程求出的坐标，进而得到的长度判断D即可.解答过程：对于A，设长方体的外接球半径为，由长方体性质得，由球的表面积公式得球的表面积为，故A正确，对于B，如图，在长方体中，以为原点建立空间直角坐标系，连接，由题意得，，，，，因为点为的中点，所以，则，，设面的法向量为，可得，令，解得，故，因为为底面（含边界）内一个动点，所以设，则，因为平面，所以，得到，化简得，当时，，不符合题意，当，时，符合题意，则的轨迹是点与点之间的线段，由两点间距离公式得轨迹长度为，故B正确，对于C，因为，所以，此时变为，由题意得，，则，，设异面直线与所成角为，可得，由同角三角函数的基本关系得，则，令，由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增，而，，，可得，即，故C错误，对于D，由题意得是的中点，则由中点坐标公式得，且，，，，设，半径为，则外接球的方程为，将代入方程，得到，将代入方程，得到，两式相减可得，解得，将代入方程，可得，此时变为，两式相减得，解得，将代入方程，可得，此时变为，两式相减可得，解得，则，由两点间距离公式得，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则_______.答案：解析：解答过程：由题意得.13.已知，则的值为______.答案：解析：思路：根据二倍角公式以及诱导公式即可求解.解答过程：由可得，故.14.已知在一个有底的圆锥容器（厚度忽略不计）内放入一个正方体，若该正方体在其内部能任意转动，且正方体的最大棱长为，则该圆锥容器的容积的最小值为________.答案：解析：思路：因为正方体能在圆锥内部任意转动，所以正方体的外接球是圆锥的内切球，根据正方体棱长求出其外接球的半径的最大值，设圆锥的底面半径为r，高为h，利用圆锥内切球的性质，建立h与r的关系式，结合圆锥容积公式，将容积表示为关于单一变量r的函数，再利用求函数最值的方法（导数法）求容积的最小值.解答过程：因为正方体在圆锥容器内部能任意转动，所以正方体的外接球在圆锥容器内部能任意转动，又正方体的最大棱长为，所以外接球的半径的最大值，此时正方体的外接球内切于圆锥容器，轴截面图如图所示，设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则，由，得，则，得，整理得，所以圆锥容器的容积.令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，故圆锥容器的容积的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角所对的边分别为、、．若＝，＝，且．（1）求角A的大小；（2）若，三角形面积，求的值．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）由已知条件，利用平面向量数量积的坐标运算可得，再逆用两角和的余弦公式及诱导公式化简，即可求解；（2）由，可得，又由余弦定理可得，再利用配方法即可求解.解答过程：解：（1）∵＝，＝，且，∴，∴，即，∴，又，∴；（2）∵，∴，又由余弦定理得，∴16＝，所以．16.如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，．（1）求证：平面PAB；（2）求二面角的大小．答案：（1）证明见详解（2）解析：思路：（1）由平面与平面垂直的性质定理得到平面，从而，再由，利用线面垂直的判定定理证明；（2）取的中点，连接，易证平面，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，易知平面的法向量为，由求解.（1）平面平面，且平面平面，，平面，平面，又平面，∴，又且，平面，平面.（2）取的中点，连接，，，又平面，平面平面，平面平面，平面，平面，，又，，如图建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，则，，易知平面的法向量为，.而二面角的平面角为锐角，故二面角的大小为.17.某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中（1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；（2）若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列.答案：（1）甲；（2）分布列见解析.解析：思路：（1）利用相互独立事件的概率公式分别求出甲乙丙进入决赛的概率，再比较大小即可；（2）利用相互独立事件的概率公式，列式解方程求出，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列.（1）甲进入决赛的概率为，乙进入决赛的概率为，丙进入决赛的概率为，而，则，所以甲进入决赛的可能性最大.（2）甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率，整理可得，解得或，而，所以.则，所以甲、乙、丙进入决赛的概率分别为，随机变量的可能取值有0，1，2，3，所以，，，，所以随机变量的分布列为：012318.已知椭圆的短轴长为，是的右焦点，是的下顶点，且．过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为．（1）求椭圆的方程和离心率；（2）判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由．答案：（1）．离心率为．（2）存在，，．解析：思路：（1）根据短轴长，，，可得出的等量关系求解即可；（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零．又因为，所以．设直线的方程为，直线的方程为，联立消可得，设，得出，，表示出斜率，得出直线的方程为，即可判断恒过定点问题，当为中点时，对与的位置关系进行分类讨论．（1）解：由题意得：，解得所以椭圆的方程为．离心率为．（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零．又因为，所以．因为，所以直线的方程为，直线的方程为．由可得．设，则．所以．同理可得：．因为，所以直线的方程为，即．所以直线过定点．当为中点时，因为点是过点作直线的垂线的垂足，所以当与重合时，．当与不重合时，根据直角