2025-2026学年渝北中学校高二下册期中质量检测数学试题 含答案

/数学总分150分，考试时长120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（）A.种 B.种 C.种 D.种2.的展开式中的常数项为（）A.20 B.15 C. D.3.在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为，则的值为（）A. B. C. D.4.函数的极大值为（）A.2 B. C. D.5.在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（）A. B. C. D.6.有一款开盲盒游戏，共有6个外观完全相同的盒子，每个盒子中分别装有1个玩具，共有款玩具1个，款玩具2个，款玩具3个，游戏参与者随机打开盒子；一次只能开一个，设事件“在第一次打开的是装有款玩具的盒子”，事件“在第二次打开的是装有款玩具的盒子”.则（）A. B. C. D.7.“杨辉三角”最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.如图，由“杨辉三角”下列叙述正确的是（）A.第10行中第5个数最大B.第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等C.D.第12行中相邻两个数比值的最大值为128.在渝北中学某次研学活动中，班主任李老师带领甲、乙、丙等5名学生排队出发参观校史馆，李老师只能在排头或排尾：其中甲同学是新生，不能离李老师超过1名学生距离；乙同学和丙同学爱讲话不能相邻，请问这支队伍总共有（）种排队方式.A.48 B.56 C.64 D.72二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，且满足，则下列说法正确的是（）A.展开式的二项式系数和为 B.C.展开式的各项系数和为 D.10.用1，2，3，4，5五种颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则下列说法正确的是（）A.用1，2，3这三种不同颜色涂色的不同方法数为12B.四个区域都涂不同颜色的不同方法数为120C.任选若干种颜色涂色的不同方法数为180D.，两个区域涂同种颜色的概率是11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.，是增函数B.若有三个不同的零点，，，则不为定值C.过点且与曲线相切的直线恰有3条D.对，都有三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若的展开式中的系数为30，则__________13.某科研实验小组要安排6名科研人员到三个不同的实验室开展实验活动，三个实验室中每个实验室至少一人，则不同的安排方法有__________（用数字作答）14.数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制.五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为.若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有__________个；若从由数字1，2，3（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）试讨论函数的单调性.16.某电子设备制造厂所用的元件是由A、B、C三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下表所示的数据.设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志.元件制造厂次品率提供元件的份额A0.020.2B0.020.5C0.030.3（1）在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率；（2）在仓库中随机取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自C工厂生产的概率.17.已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为256.（1）求的展开式中的系数和；（2）求展开式中含项的系数；（3）求展开式中系数最大和最小的项.18.某商家为了推销新生产的玩具，举行抽奖活动.玩具有外观和内饰的颜别，现有25个不同的玩具，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：内饰外观红色内饰蓝色内饰黄色外观102绿色外观103（1）若小华从这些玩具中随机拿一个玩具，记事件为小华取到黄色外观的玩具，事件为小华取到红色内饰的玩具，求，和；（2）该商家规定在一次抽奖中，每人可以从这些玩具中随机一次性拿两个玩具，现有两种抽奖方案：方案一：每人参加一次抽奖活动.若拿到的两个玩具外观和内饰都异色，则获得一等奖800元；若拿到的两个玩具外观和内饰均为同色，则获得二等奖500元；若拿到的两个玩具仅外观或内饰同色，则获得三等奖300元.方案二：每人参加三次抽奖活动.每次抽奖若拿到的两款玩具外观和内饰均为同色，获得奖金500元，否则没有奖金.设方案一中每人获得奖金金额为X元，方案二中每人获得奖金金额为Y元.请写出X的分布列及求出X，Y的期望，并通过期望比较哪种方案获奖金额更高.19.某电商平台为促进消费推出“有奖闯关”活动.活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）.闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品.已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为.某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%.（1）若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望；（2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望）（i）求关于的函数表达式；（ii）求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？

数学总分150分，考试时长120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（）A.种 B.种 C.种 D.种答案：A解析：思路：应用乘法原理计算求解.解答过程：学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有种.2.的展开式中的常数项为（）A.20 B.15 C. D.答案：C解析：解答过程：由题意得展开式的通项为，令，即，所以展开式中的常数项为.3.在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为，则的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意得随机变量服从超几何分布，所以，故可得.4.函数的极大值为（）A.2 B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以，由，得或，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以是极大值点，是极小值点，极大值为.5.在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：依题意，摸球一次中奖的概率为，则摸球三次仅中奖一次的概率为.6.有一款开盲盒游戏，共有6个外观完全相同的盒子，每个盒子中分别装有1个玩具，共有款玩具1个，款玩具2个，款玩具3个，游戏参与者随机打开盒子；一次只能开一个，设事件“在第一次打开的是装有款玩具的盒子”，事件“在第二次打开的是装有款玩具的盒子”.则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先对第一次是不是打开装有款玩具的盒子分两种情况计算，再计算，最后利用条件概率公式即可求得.解答过程：由题意知，总共有6个盒子，3个装有款玩具，则，，，，所以，而，所以.7.“杨辉三角”最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.如图，由“杨辉三角”下列叙述正确的是（）A.第10行中第5个数最大B.第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等C.D.第12行中相邻两个数比值的最大值为12答案：D解析：思路：根据条件及组合数的运算性质，逐一分析各个选项，即可得答案.解答过程：由杨辉三角性质得在第10行里，有11个数，所以第10行中正中间即第6个数最大，故A错误；第2025行中，第1012个数为，第1013个数为，由组合数性质得，故B错误；，故C错误；根据对称性，只考虑后一项与前一项之比即可，当且时，，可得当时，相邻两个数的比值最大，最大值为12，故D正确；8.在渝北中学某次研学活动中，班主任李老师带领甲、乙、丙等5名学生排队出发参观校史馆，李老师只能在排头或排尾：其中甲同学是新生，不能离李老师超过1名学生距离；乙同学和丙同学爱讲话不能相邻，请问这支队伍总共有（）种排队方式.A.48 B.56 C.64 D.72答案：B解析：思路：先按李老师在排头或排尾分两种情况，再按甲的位置细分，用总排列数减去乙丙相邻的排列数得出符合条件的排法，最后利用对称性得到总数.解答过程：分两种情况：（1）李老师在排头（位置1）：此时甲在位置2或3，当甲在位置2时：剩余位置3、4、5、6排乙丙丁戊，乙丙相邻位置对有共3对，相邻排列数为种，所以不相邻排列有种；当甲在位置3时：剩余位置2、4、5、6排乙丙丁戊，乙丙相邻位置对有共2对，相邻排列时为种，所以不相邻排列有种；所以共有种；（2）李老师在排尾（位置6）：排法与排头对称，所以也有28种；综上，共有种排法.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，且满足，则下列说法正确的是（）A.展开式的二项式系数和为 B.C.展开式的各项系数和为 D.答案：BD解析：解答过程：由得，，展开式的二项式系数和为，故A错误；令得，故B正确；令得展开式的各项系数和为，故C错误；令得，所以，故D正确.10.用1，2，3，4，5五种颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则下列说法正确的是（）A.用1，2，3这三种不同颜色涂色的不同方法数为12B.四个区域都涂不同颜色的不同方法数为120C.任选若干种颜色涂色的不同方法数为180D.，两个区域涂同种颜色的概率是答案：BCD解析：解答过程：先涂区域，有3种方法，再涂区域，有2种涂法，再涂区域，有1种涂法，最后涂区域，有1种涂法，故共有种方法，故A错误；四个区域都涂不同颜色的不同方法数为，故B正确；当，同色时，先涂区域，有5种方法，再涂区域，有4种涂法，再涂区域，有1种涂法，最后涂区域，有3种涂法，共有种方法，当，不同色时，由选项B可知有种方法，即任选若干种颜色涂色的不同方法数为180，故C正确；由选项C可知，，两个区域涂同种颜色的概率是，故D正确.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.，是增函数B.若有三个不同的零点，，，则不为定值C.过点且与曲线相切的直线恰有3条D.对，都有答案：ACD解析：思路：根据判断A选项；令，通过因式分解判断B选项；根据切线的几何意义，计算得到C选项；将和代入，计算得到D选项.解答过程：已知，所以，A选项，要使得是增函数，只需要恒成立，则，解得，所以，是增函数，A正确；B选项，若有三个不同的零点，则有个根，所以且其中一个零点为，另外两个零点是的两个根，则且，所以是定值，B错误；C选项，因为，所以点不在曲线上，设切点为，，所以切线方程为，又因为切线过，所以，即，由，得或，解得或，有3个解，所以相切的直线恰有3条，C正确；D选项，，，所以，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若的展开式中的系数为30，则__________答案：解析：解答过程：因为的展开式的通项公式为，其中，令，得，即，所以的展开式中的系数为，解得.13.某科研实验小组要安排6名科研人员到三个不同的实验室开展实验活动，三个实验室中每个实验室至少一人，则不同的安排方法有__________（用数字作答）答案：540解析：思路：将6人分为3组，再把3组安排到三个实验室，分步乘法计算分配方法即可.解答过程：将6人分为3组，按照每组人数可分为三类第一类：每组人数分别为1人，2人，3人，有种；第二类：每组人数分别为1人，1人，4人，有种；第三类：每组人数分别为2人，2人，2人，有种；再将3组安排到三个实验室，不同的安排方法有种.14.数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制.五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为.若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有__________个；若从由数字1，2，3（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为__________.答案：①.240②.解析：思路：先确定重复数字，再排位置，得到不同的五位五进制数的个数；根据五进制算法，得到对应的十进制数，令分别为，列举得到能被3整除的数字的个数，从而得到概率.解答过程：组成一个五位数，四个数字都要出现，则一定有一个数字重复出现，从四个数字中选择一个数字重复出现，再将不重复的三个数字从五个位置中选三个位置进行排列，最后剩余两个位置排重复数字，故所求的不同的五位五进制数共有个；由数字2,3,4组成的三位五进制数共有个，设这个三位五进制数从左到右的数字分别为，则转化成十进制后此数为，所以此数能被整除等价于能被整除，因为，所以，且，所以能被3整除的只有三种情况，若，则有，种情况；若，则有，种情况；若，则有，种情况；所以能被3整除的情况共有种情况，所求概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）试讨论函数的单调性.答案：（1）（2）答案见解析解析：思路：（1）先求时的函数值和导数值，再用点斜式得到切线方程即可；（2）通过求导后对参数分类讨论，根据导数的正负即可判断函数的单调区间.（1）由函数，所以函数的定义域为，又，所以，，所以函数在点处的切线方程为：，即.（2）因为函数的定义域为，且，令，得，即.若，，为常数函数；若，由，得，由，得；若，由，得，由，得；综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，为常数函数；当时，在上单调递增，在上单调递减.16.某电子设备制造厂所用的元件是由A、B、C三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下表所示的数据.设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志.元件制造厂次品率提供元件的份额A0.020.2B0.020.5C0.030.3（1）在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率；（2）在仓库中随机取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自C工厂生产的概率.答案：（1）0.023（2）解析：思路：（1）通过全概率公式即可得结果；（2）根据即可得结果.（1）设表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的元件是由A工厂提供的”，表示“所取到的元件是由B工厂提供的”，表示“所取到的元件是由C工厂提供的”，则，，，，，.由全概率公式得.（2）该元件出自C工厂的概率为.17.已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为256.（1）求的展开式中的系数和；（2）求展开式中含项的系数；（3）求展开式中系数最大和最小的项.答案：（1）-1（2）1120（3）最大的项为，系数最小的项为解析：思路：（1）利用二项式系数和的性质得的值，再令即可得系数之和；（2）先写出二项式的通项公式，令的次数为2求出的值，再代入通项公式即可求得；（3）先通过通项公式得到系数的绝对值，再通过不等式组确定的取值，最后结合符号即可得到系数的最大项和最小项.（1）因为二项式的展开式中各项的二项式系数之和为256，所以，解得.令，所求系数和为.（2）二项式展开式的通项为，，令，解得：，所以当时，，故展开式中含项的系数为1120.（3）通项，系数的绝对值为，令，得：，所以当或时，此时系数的绝对值最大，其值为.所以系数最大的项为，系数最小的项为.18.某商家为了推销新生产的玩具，举行抽奖活动.玩具有外观和内饰的颜别，现有25个不同的玩具，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：内饰外观红色内饰蓝色内饰黄色外观102绿色外观103（1）若小华从这些玩具中随机拿一个玩具，记事件为小华取到黄色外观的玩具，事件为小华取到红色内饰的玩具，求，和；（2）该商家规定在一次抽奖中，每人可以从这些玩具中随机一次性拿两个玩具，现有两种抽奖方案：方案一：每人参加一次抽奖活动.若拿到的两个玩具外观和内饰都异色，则获得一等奖800元；若拿到的两个玩具外观和内饰均为同色，则获得二等奖500元；若拿到的两个玩具仅外观或内饰同色，则获得三等奖300元.方案二：每人参加三次抽奖活动.每次抽奖若拿到的两款玩具外观和内饰均为同色，获得奖金500元，否则没有奖金.设方案一中每人获得奖金金额为X元，方案二中每人获得奖金金额为Y元.请写出X的分布列及求出X，Y的期望，并通过期望比较哪种方案获奖金额更高.答案：（1），，，（2），，方案二获奖金额更高.800500300解析：思路：（1）通过条件概率公式、概率乘法公式以及事件和概率公式即可求解；（2）通过古典概型求出X的分布列及其期望，根据二项分布求出的期望即可得结果.（1），，，（2）方案一中，可取800，500，300.则，，，的分布列：800500300.方案二中，记每人三次抽奖中获奖次数为，因为每次抽奖条件相同且独立，所以服从二项分布