2025-2026学年山西祁县中学校高一下册4月月考数学试题 含答案

/数学总分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在下列各组向量中，可以做基底的是（）A.， B.，C.， D.，3.已知为不共线向量，，则（

）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线4.以的虚部为实部、的实部为虚部的复数是（）A. B. C. D.5.已知正三棱台的体积为，其上下底面边长分别为2和4，则这个正三棱台的高为（）A. B. C.3 D.66.已知三条互不相同的直线，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题：(1)若与m为异面直线，，则；(2)若，，则；(3)若，，，，则．其中真命题的个数为（）A.3 B.2 C.1 D.07.已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（）A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形8.在中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60º，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠NPM的余弦值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.设复数z满足（其中i是虚数单位），则下列说法正确的是（）A.z的虚部为 B.z在复平面内对应的点位于第四象限C. D.10.如图，平面α∥平面β，A，C是平面α内不同的两点，B，D是平面β内不同的两点，E，F分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是（）A.当AB，CD共面时，AC∥BDB.当AB∥CD时，C.当AB=2CD时，E，F两点不可能重合D.当，CD是异面直线时，EF∥α11.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（）A.B.的取值范围为C.的取值范围为D.的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的侧面积（单位：）为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是_______．13.在中，，则的值为___________.14.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点.把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到的点P的坐标为__________四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件？（1）位于第二象限；（2）位于第一象限或第三象限；（3）位于直线上.16.已知向量，，，且向量与共线.（1）证明：；（2）求与夹角的余弦值；（3）若，求的值.17.海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为,.（1）救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？（2）若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援？18.在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是的中点，平面平面证明：（1）（2）平面EFG∥平面PBC．19.布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题：（1）若，求的大小及的值；（2）已知的条件下，解下列两个问题：①若，求的值；②若，求S.

数学总分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：求出共轭复数，根据复数的几何意义求出复数所对应点的坐标即可得出结果.解答过程：解：，，在复平面内对应的点为，在第四象限，故选：D.2.在下列各组向量中，可以做基底的是（）A.， B.，C.， D.，答案：B解析：解答过程：对于A，为零向量，故与共线，故不能作为基底；对于B，，故与不共线，故可以作为基底；对于C，，故与共线，故不能作为基底；对于D，，故与共线，故不能作为基底；3.已知为不共线向量，，则（

）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线答案：A解析：解答过程：选项A：因为，所以三点共线，选项B：若共线，则与共线，假设存在使得，即：，因为不共线，对应系数相等得：，方程组无解，不存在这样的，因此与不共线，选项B错误；选项C：若共线，则与共线，假设存在使得，即：，对应系数相等得：，方程组无解，因此与不共线，选项C错误；选项D：若共线，则与共线，假设存在使得，即：，对应系数相等得：，方程组无解，因此与不共线，选项D错误.4.以的虚部为实部、的实部为虚部的复数是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据实部、虚部的定义，分析求解，即可得答案.解答过程：由题意的虚部为，则所求复数的实部为，的实部为，则所求复数的虚部为，则所求复数为.5.已知正三棱台的体积为，其上下底面边长分别为2和4，则这个正三棱台的高为（）A. B. C.3 D.6答案：C解析：思路：利用棱台的体积公式可求答案.解答过程：因为正三棱台的上下底面边长分别为2和4，所以其上下底面面积分别为，设正三棱台的高为，因为正三棱台的体积为，所以，解得，即正三棱台的高为3.6.已知三条互不相同的直线，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题：(1)若与m为异面直线，，则；(2)若，，则；(3)若，，，，则．其中真命题的个数为（）A.3 B.2 C.1 D.0答案：C解析：思路：结合反例可判断（1）（2），利用线面平行的性质可证明（3）.解答过程：对于（1），如图，正方体中，与为异面直线，平面，平面，但是平面与平面不平行，（1）不正确；对于（2），如图，正方体中，平面与平面平行，但是直线与直线不平行，（2）不正确；对于（3），因为，，且，所以，同理可得，所以，（3）正确.7.已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（）A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形答案：B解析：思路：将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.解答过程：由，得，整理得，则，因为，所以，又由及正弦定理，得，化简得，所以为等边三角形，故选：B8.在中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60º，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠NPM的余弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：求三角形内角的余弦值，可以建立平面直角坐标系求出点坐标，进而求出三角形对应边长，利用解三角形的余弦定理求出角的余弦值.解答过程：以点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，，点的坐标为，过点作于点，在中，，，，点的坐标为，是中点，点的坐标为，是中点，点的坐标为，设直线的解析式为，将点的坐标为代入，得，解得，直线，设直线的解析式为，将点，的坐标代入，得，解得，直线，联立直线与直线方程组得，解得，即点的坐标为，根据两点间距离公式：，，，根据余弦定理可得：，，解得.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.设复数z满足（其中i是虚数单位），则下列说法正确的是（）A.z的虚部为 B.z在复平面内对应的点位于第四象限C. D.答案：BC解析：思路：先求解z的值，再根据复数的相关定义逐个计算判断即可解答过程：由可得对A，z的虚部为，故A错误；对B，z在复平面内对应的点位于第四象限，故B正确；对C，，故C正确；对D，，故D错误；故选：BC10.如图，平面α∥平面β，A，C是平面α内不同的两点，B，D是平面β内不同的两点，E，F分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是（）A.当AB，CD共面时，AC∥BDB.当AB∥CD时，C.当AB=2CD时，E，F两点不可能重合D.当，CD是异面直线时，EF∥α答案：ABD解析：思路：AB由面面平行的性质定理判断；C利用反证法判断；D过点作交平面于点，取线段的中点，求证平面平面即可.解答过程：若AB，CD共面，由平面α∥平面β，平面平面，平面平面，得，故A正确；若AB∥CD，则共面，由A选项可知，，故四边形为平行四边形，故，故B正确；假设E，F两点重合，则共面，由E，F分别是线段AB，CD的中点，得与全等，则，显然其值可以为，故假设不成立，故当AB=2CD时，E，F两点可能重合，故C错误；过点作交平面于点，取线段的中点，连接，由B选项可知，在平行四边形中，在中，因为平面，平面，所以平面，同理可得，平面，因为平面，所以平面平面，因为平面α∥平面β，所以平面平面，因为平面，所以平面，故D正确.11.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（）A.B.的取值范围为C.的取值范围为D.的取值范围为答案：AC解析：思路：由余弦定理可得，再由正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式可得，即可判断A，再根据三角形为锐角三角形，即可求出角的范围，从而判断B，再根据三角函数的性质判断C、D；解答过程：解：因为，又由余弦定理，即，所以，所以，即，由正弦定理可得，又，，即，，，，为锐角，，即，故选项A正确；，，，故选项B错误；，故选项C正确；，又，，令，则，由对勾函数性质可知，在上单调递增，又，，，故选项D错误．故选：AC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的侧面积（单位：）为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是_______．答案：解析：思路：利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径.解答过程：设圆锥底面半径为，母线长为，则，解得.故方法提示：本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题.13.在中，，则的值为___________.答案：解析：解答过程：试题分析：根据题意，由于，则可知，那么根据余弦定理可知，因此可知答案为考点：正弦定理点评：解决的关键是根据已知的边和角，结合正弦定理来得到求解，属于基础题．14.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点.把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到的点P的坐标为__________答案：解析：思路：先求出，结合题意，可得x，y，的值，代入求解，分析即可得答案.解答过程：由题意，则，因为点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到的点P，所以，所以，，即，又，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件？（1）位于第二象限；（2）位于第一象限或第三象限；（3）位于直线上.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据复数的几何意义可知在复平面内对应点为，由题意列不等式组，解不等式组即可求出答案；（2）由题意列不等式组，解不等式组即可求出答案；（3）由题意列方程，解方程即可求出答案.（1）复数在复平面内对应点为，因为在第二象限，所以，解得或，所以的取值范围为.（2）由题意可知或，解得或或，所以的取值范围为.（3）由题意得，解得.16.已知向量，，，且向量与共线.（1）证明：；（2）求与夹角的余弦值；（3）若，求的值.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）根据向量共线得，列方程组解出，再利用向量垂直的坐标表示证明即可；（2）利用及向量数量积和模长的坐标表示求解即可；（3）利用向量数量积的运算律求解即可（1）因为向量与共线，所以，则，解得，所以，，因为，所以.（2）由（1）得，所以，即与夹角的余弦值为.（3）因为，，，所以，解得.17.海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为,.（1）救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？（2）若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援？答案：（1）120海里（2）能在3小时内赶到救援解析：思路：（1）由题意，在中，根据正弦定理即可求解；（2）在中，根据正弦定理求得，进而在中，利用余弦定理求出，而，从而即可作出判断.（1）解：在中，因为，，所以，，又，所以由正弦定理可得，即，解得，所以A船距离雷达站C距离为120海里；（2）解：在中，根据正弦定理可得，即，解得，在中，由余弦定理可得，解得，因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而，所以能在3小时内赶到救援.18.在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是的中点，平面平面证明：（1）（2）平面EFG∥平面PBC．答案：（1）证明见解析