江苏省扬州市2025-2026学年高一下学期期末调研测试 数学 含答案

江苏扬州市2025-2026学年高一第二学期期末调研数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.sin63∘A.−32 B.32 2.若一组数据x1,x2,x3,⋯,xn的平均数为2，方差为3A.平均数为3，方差为5 B.平均数为4，方差为11

C.平均数为4，方差为12 D.平均数为3，方差为123.已知α∈0,π4，则cosα−A.22,1 B.0,1 C.1,4.已知向量a=3,1，b=1,3A.32,32 B.35.已知l是直线，α,β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(

)A.若l//α，α//β，则l//β B.若l//α，l//β，则α//β

C.若l//α，l⊥β，则α⊥β D.若α⊥β，l//α，则l⊥β6.如图，位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距10km的B处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西30∘，且与甲船相距5km的C处的乙船，则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线CB与直线CA夹角的正弦值为(

)

A.37 B.115 C.7.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则球O的半径等于(

)A.922 B.9248.已知正五边形ABCDE内接于半径为2的圆O，则OA⋅OB=A.5+24 B.5二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列关于统计量的说法正确的有(

)A.一组数据的众数唯一 B.一组数据的平均数唯一

C.一组数据的第60百分位数唯一 D.一组数据的方差越大，数据波动越小10.已知α，β∈0,π2，sin(2α+β)=3A.若α=π4，则tanβ=13 B.tan(α+β)=2tanα

C.∃α，11.如图，正四棱台ABCD−A1B1C1D1的上、下底面中心分别为O1､O，且AB=2A1A.AC⊥BB1

B.BD1//平面C1EF

C.二面角B1−BC−A的大小为π4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知事件A，B相互独立，且PA=0.4,PB=0.6，则PA13.在平行四边形ABCD中，已知点E满足AE=3EB，若CE=xAB+yAD，则14.在▵ABC中，∠A=135∘，D1,D2,⋅⋅⋅,D2026依次为边BC上的点，且BD1=D1D2=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知0<α<π2，0<β<π2，a=(1)求cos(α+β)(2)若tanα=34，求16.(本小题15分)如图，正方体ABCD−A1B(1)若点E为棱AA1的中点，求证：平面EBD⊥平面(2)若点F为线段A1B1上的动点(不包括端点)，在下图中画出平面BDF

17.(本小题15分)某社区为了解居民的绿色出行情况，随机抽取50名居民，统计一周内使用自行车的次数，整理得到如下频率分布表和条形图(以下图表中a,b,c∈R,m,n∈R)：使用次数0次1次2次3次4次及以上频率0.1a0.3bc

(1)求条形图中的频数m，n；(2)从一周内使用自行车次数为1次和2次的居民中，按分层抽样的方法抽取5人．现从这5人中任意抽取2人，求这2人使用自行车次数不同的概率；(3)若此样本中的30名男性居民在一周内使用自行车次数的平均数为3，方差为20；20名女性居民在一周内使用自行车次数的平均数为1，方差为30.求这50名居民一周内使用自行车次数的方差．18.(本小题17分)已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c(2−3cos(1)求cb(2)已知角A的平分线交BC于D，E为AC的中点，AD与BE交于点G，且BE=4①若AG=33，求角②求▵GBC面积的最大值．19.(本小题17分)如图，在等腰梯形AA1BC中，BC//AA1，BC=3，AA1=4．P为线段AA1的中点，点G为等边▵PBC的中心．将图形沿

(1)求证：BC⊥平面PAG；(2)求三棱锥P−ABC的体积；(3)已知l为平面PBC内过点G的一条直线，交BC为M，设BM=λBC(0<λ<1).是否存在直线l，使得l与AC所成角的正弦值为24221？若存在，求出实数λ1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】BC

10.【答案】ABD

11.【答案】AB

12.【答案】0.16

13.【答案】−514.【答案】202715.【答案】解：(1)∵a=cosα,sin∴cos即3cosα所以cosα+β(2)由tanα=34，α∈0,π则sin2α+cos2∵0<α<π2，0<β<π∴sin∴=

16.【答案】解：(1)如图，连接EO，C1O，∵正方体ABCD−A1∴四边形ABCD为正方形，AA1⊥平面ABCD，BD⊂∴AC⊥BD且AA1⊥BD,∵AC，AA1∴BD⊥平面ACC∵EO，C1O⊂平面ACC设正方体的棱长为2，则AE=1，AO=2，由勾股定理得EO=3，C1∴EO2+(方法一)∵C1O，BD⊂平面BDC1，C∵EO⊂平面EBD,∴平面EBD⊥平面BDC(方法二)由EO⊥C1O得二面角E−BD−所以平面EBD⊥平面BDC(2)如图，连接B1D1，过点F作FM//B1则FM为平面BDF与正方体ABCD−A∵正方体ABCD−A∴平面ABCD//平面A1B1C1∴四边形BDD1B∵平面BDF∩平面ABCD=BD，平面BDF∩平面A1∴BD//FM，∴B

17.【答案】解：(1)由题意，总人数为50，0次频数：m=50×0.1=5；2次频数：50×0.3=15；3次频数：17；4次及以上频数：3；所以1次频数：n=50−m−15−17−3=50−5−15−17−3=10；(2)用分层抽样法抽取的5人中，使用自行车1次的居民有1010+15×5=2人，记为A1使用2次的居民有1510+15×5=3人，记为B1，B记“2人使用次数不同”为事件A，样本点A1,A2表示“抽取的两人为则样本空间：Ω=A1,其中A=A1,所以，PA(3)记30名男性样本为x1,x2,⋯,记20名女性样本为y1,y2,⋯,所有样本的总平均数为x总，方差为s总x总=30则==24.96．

18.【答案】解：(1)由c(2−3cosA)=3acos可得3sin则3sinA+C=2sinC(2)①由(1)得2c=3b，由题意知E为AC的中点，故2AB=6AE，即AB=3AE，ABsin∠BGA=由于角A的平分线交BC于D，故sin∠BAG=sin∠EAG可得ABAE=BGGE=3，结合BE=4不妨设b=2k，c=3k,k>0，在▵ABG中，由余弦定理可得，AB即9k在▵AEG中，AE即k2=27+7−621cos则AB=12,AC=8,AE=4，在▵ABE中，cosA=AB2+A②在▵ABC中，不妨设A=2α，b=2k，c=3k，S▵ABD得到12可得3k+2k⋅AD⋅sinα=3k×2k×2同理在▵ABE中，AG=3kcosα则S△GBC=3而BE即112=9k2+故S△ABE由于A∈0,π，A2∈0,π故844tanA当且仅当tanA2=12

19.【答案】解：(1)延长PG交BC于D，连接AD．∵PC=PB=3，∠APC=∠APB=60∘，AP=2∴▵APB≌▵APC，AC=AB=∵点G为等边▵PBC的重心，∴PD⊥BC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∵AD,PD⊂平面APD，AD∩PD=D，∴BC⊥平面APD，即BC⊥平面APG；(2)∵正三角形▵PBC中，PC=PB=3，PD=33∵AB=AC=∵AP=2，∴cos∠ADP=∴