初高中数学暑假衔接材料：暑假预习专题 第8讲 不等式的性质（原卷版）（暑假预习讲义）

2/14暑假预习专题第8讲不等式的性质内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航不等式的性质作差法作商法1.能够准确理解并阐述不等式的基本性质，包括对称性、传递性、可加性、可乘性等，清晰区分等式性质与不等式性质的差异。​2.熟练掌握运用不等式的性质对不等式进行变形，如移项、乘除运算等操作，能够正确求解简单不等式，并准确表示其解集。​3.利用不等式的性质证明一些简单的代数不等式，理解证明过程中的逻辑推理和依据。学习重点：熟练掌握运用不等式的性质对不等式进行变形，如移项、乘除运算等操作，能够正确求解简单不等式，并准确表示其解集。学习难点：利用不等式的性质证明一些简单的代数不等式，理解证明过程中的逻辑推理和依据。1、不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，为后续分式不等式、基本不等式等打基础。本章节中的作差法也是后续证明函数单调性的重要思想；在今后的学习过程中应注重基础，重视通法，养成良好的分析问题的习惯。2、不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(2)传递性：a>b，b>c⇔a>c；(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c，a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(5)可乘方：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)；(6)可开方：a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2);(7)a>b,ab>0⇒；a>b>0,0<c<d⇒.3、比较两式大小的方法常见的有两种：作差法、作商法作差法：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，重点是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．注意1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较；注意2：如果式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号；此时要注意分类合理恰当．知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01不等式的性质1、对于两个实数、，如果是正数，就称大于，记为；如果是负数，就称小于，记为；如果是零，就称等于，记为．这就是说这是研究一切不等式的基础.显然,对于任意给定的两个实数(1)“”的左边反映的是实数的大小关系，右边反映的是实数的运算性质，合起来就是实数的大小与运算性质之间的关系.(2)从基本事实可知,比较两个实数的大小，只需比较它们的差与0的大小。2、不等式的性质：（1）传递性设、、均为实数，如果，且，那么．（2）加法性质设、、均为实数，如果，那么．（3）乘法性质设、、均为实数，如果，且，那么bc；如果，且，那么．性质名称性质内容移项法则同向可加性同向可加性的推论同向同正可乘性，同向同正可乘性的推论，正数乘方性正数可开方性【经典例题】【例1】（24-25高一上·上海宝山·期末）已知非零实数a、b满足，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【技巧归纳】运用不等式的性质，结合特殊值法和作差法比较大小，对每个选项逐一分析判断其是否一定成立.【例2】（24-25高一上·上海·期末）若实数，，满足，，则（

）A． B． C． D．【技巧归纳】利用特殊值、不等式的性质、作差比较法等知识来确定正确答案.【例3】（24-25高一上·上海·期末）已知是正实数，那么“”是“”的条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）.【技巧归纳】由是正实数，可知，进而化简可得结果.【对点练习】【练习1】（24-25高一上·上海·期末）若下列不等式中：①；②；③；④，成立的有（

）个A．1 B．2 C．3 D．4【练习2】（24-25高一上·上海·期末）已知，，且满足，则下列不等式中恒成立的是（

）A． B． C． D．【练习3】（24-25高一上·上海·期末）若，，则一定有（

）A． B． C． D．【练习4】（24-25高一上·上海虹口·期末）设为实数，则“”是“”的（

）条件.A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【练习5】（24-25高一上·上海闵行·期末）设、、、为实数，下列命题中成立的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，，那么 D．如果，，那么知识点02用不等式比较代数式的大小1.作差法、作商法、平方法是比较两个实数(或代数式)大小的基本方法①作差法的步骤:作差、变形、判断差的符号、得出结论；②作商法的步骤:作商、变形、判断商与1的大小、得出结论；③平方法的步骤:两边平方、变形、作差、判断差的符号、得出结论.2．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若，则；若，那么．其中是介于与之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．3、证明不等式主要利用作差比较法和作商比较法.若要证明的不等式为几个多项式的和或差,则采用作差比较法;若要证明的不等式为几个多项式的积或商,则采用作商比较法.采用作差比较法，将不等式左右两边的式子作差，然后将其进行适当的变形、放缩,再利用不等式的传递性、可加性来证明结论.运用作差比较法证明不等式时，作差后变形的结果都应是几个因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号.【经典例题】【例4】（24-25高一上·上海杨浦·期中）下列关于不等式的命题是假命题的序号为.（1）若，则，；（2）用反证法证明a=0或b=0时可假设ab≠0；（3）若a，b为正数，则；（4）设，若，则xy的取值范围为.【易错提醒】利用不等式的性质和作差法可判断（1）和（3）；通过逻辑推理可判断（2）；利用特殊值法可判断（4）..【例5】（24-25高一上·上海·期中）若，设,则的大小关系为.【易错提醒】作差计算，根据差值即可比较大小.【例6】设，，则（填入“＞”或“＜”）．【易错提醒】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案.【例7】已知，试比较和的大小.【易错提醒】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解.【对点练习】【练习6】（24-25高一上·上海嘉定·月考）给出下列命题：①若，则；②若，则；③对于正数若，则．其中真命题的序号是．【练习7】（24-25高一上·上海宝山·月考）（1）已知，比较与的大小；（2）已知，，若，求证：和中至少有一个大于.【易错提醒】（1）运用作差比较法，结合配方法进行比较大小即可；（2）用反证法，假设，，推出矛盾，即得证.【练习8】已知实数满足；，求：的取值范围．1．（24-25高一上·上海·期末）已知，，则的取值范围是.2．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，，则的范围是.3．（24-25高一上·上海·月考）对任意，方程和在上均有解，则的取值范围为4．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若实数x，y均在[-2，1]的区间内，则xy的取值范围为.5．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为.6．（24-25高一上·上海宝山·月考）已知命题甲：，命题乙：，则甲是乙的条件.7．（24-25高一上·上海·月考）已知，，，则下列命题哪些是正确的．①若，则；②若，则；③若，则；④若，，，，则，；⑤若，，则；⑥已知且，则．8.（24-25高一上·上海宝山·月考）若，，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．9．设，则“”是“且”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．（24-25高一上·上海杨浦·月考）已知，且，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．11.（23-24高一·上海·月考）已知，求证：.12.（23-24高一·上海·月考）已知，．求证：．13.（24-25高一上·上海·月考）已知，，求证．14.（24-25高一上·上海·月考）（1）已知，，求证：；（2）已知，，求证：．15.（24-25高一上·上海黄浦·期中）设，，，是四个正数．(1)已知，比较与的值的大小；(2)若，求证：，，，中至少有一个小于1．16.若，求证：．17.（21-22高一上·上海徐汇·月考）已知，试比较与的大小.18．（25-26高一上·育才中学·期中）设a，b，c，d是四个正数．（1）已知a>b，比较2a+ba+2b与a（2）若a+1b+1c+1d+1<16，求证：a，b，19．（24-25高一上·上海·月考）解关于的不等式：．(1)当解集为空集时，________；(2)当解集为非空集时，解不等式．20．（24-25高一上·上海·月考）对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”.(1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由；(2)设均为正数，且是的“下位