初高中数学暑假衔接材料：暑假预习专题 第10讲 分式不等式与基本不等式（原卷版）（暑假预习讲义）

2/14暑假预习专题第10讲分式不等式与基本不等式内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航分式不等式基本不等式均值不等式1、掌握各种分式不等式的解法。1、掌握两个基本不等式：（、）、（、为任意正数），并能用于解决一些简单问题。2、理解两个基本不等式相应的几何解释.初步理解代换的数学方法。学习重点：两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用。学习难点：在公式的探求过程中，领悟数形结合的数学思想，进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化等辩证唯物主义观点。1.分式不等式的解集（1）定义：与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如f(x)g(x)<0或f(x)g(x)>0（其中f(x)，g(x)（2）分式不等式的解法①移项化零：将分式不等式右边化为0：②f(x)g(x)<0⇔f(x)⋅g(x)<0；③④f(x)g(x)≤0⇔f(x)⋅g(x)≤02.算术平均值与几何平均值：对于正数a、b，称a+b2是a、b并称ab是a、b的几何平均值．3.平均值不等式：定理（平均值不等式）两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有a+b2⩾ab4.重要不等式链：（1）若a⩾b>0，则a⩾a（2）若a>0，b>0，则其中21a+1b叫做a、b的调和平均值，a2此不等式链常以ab⩽a+b5.重要提醒：（1）前提：“一正”“二定”“三相等”；（2）要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式；（3）条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01分式不等式知识点1：分式不等式形如或（其中、为整式且不为0)的不等式称为分式不等式．解分式不等式先将分式不等式通过移项、通分把右边化为零，左边化为、是关于的表达式且0）的形式，然后同解变形．分式不等式的同解变形如下表：分式不等式同解不等式(组)与同解;与同解与同解;与同解与同解与同解知识点2：利用分式不等式求解实际问题将实际问题转化为数学模型,在转化的过程中注意实际问题的限制条件.【经典例题】【例1】（24-25高一上·上海嘉定·期末）不等式的解集是.【技巧归纳】将原不等式转化为整式型不等式，即一元二次不等式求解.【例2】（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为．若，，则的取值范围是．【技巧归纳】由，，可得或，解不等式组与方程即可.【例3】（24-25高一上·上海青浦·期中）已知集合，，全集为.(1)求集合和；(2)求阴影部分表示的集合.【技巧归纳】（1）解分式不等式和绝对值不等式即可求出解集；（2）利用补集和交集思想即可求解阴影部分集合.【对点练习】【练习1】（24-25高一上·上海·期末）不等式的解集为．【练习2】（24-25高一上·上海·月考）不等式的解集为.【练习3】（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知关于的不等式组的整数解恰好有四个，则实数的取值范围是.【练习4】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为.【练习5】（24-25高一上·上海·月考）不等式的解集为.【练习6】（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集为.【练习7】（24-25高一上·上海·期中）已知，集合；(1)当时，集合且，求集合；(2)已知，求实数的取值范围.知识点02均值不等式知识点3：平均值不等式1.算术平均值与几何平均值对于正数、，称是、的算术平均值，并称是、的几何平均值．2.平均值不等式定理（平均值不等式）两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、，有，且等号当且仅当时成立1.平均值不等式的常见变形：.2.平均值不等式的常用结论：（1）同号），当且仅当时取等号；异号)，当且仅当时取等号．特别地，，当且仅当时取等号；（2），当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号．特别地，，当且仅当时取等号．知识点4：利用平均值不等式及常用不等式求代数式的最大(小)值1.最值定理已知，则（1）若（常数），则当且仅当时，有最小值．简记：积定和最小．（2）若（常数），则当且仅当时，ab有最大值．简记:和定积最大.利用平均值不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件-一正、二定、三相等(1)“一正”就是各项必须为正数。(2)“二定”就是要求和的最小值;必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值，(3)“三相等”是利用平均值不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易出错的地方2.重要不等式链（1）若，则．（2）若，则，其中叫做a、b的调和平均值，叫做a、b的平方平均值．此不等式链常以的形式出现．平均值不等式的其他应用形式（1），当且仅当时取等号．（2），当且仅当时取等号．（3），当且仅当时取等号．（4），当且仅当时取等号．【经典例题】【例4】（24-25高一上·上海·期中）已知，，且，则的最小值为.【易错提醒】由题意，根据基本不等式的应用可得，结合计算即可求解..【例5】（24-25高一上·上海·期中）设，若，则的最大值为.【易错提醒】根据基本不等式直接求解即可.【例6】若直角三角形斜边长等于cm，则直角三角形面积的最大值为.【易错提醒】【分析】利用基本不等式可求面积的最大值.【例7】（1）求的最小值；（2）已知，，，求的最小值．【易错提醒】（1）由题意得，，然后结合基本不等式即可求解；（2）由已知得，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解．【对点练习】【练习8】若，则的最小值是.【练习9】（2023·上海金山·二模）已知正实数a，b满足，则的最小值为.【练习10】（24-25高一上·上海·月考）设且，则的最小值为.【练习11】（22-23高一上·上海松江·期末）设，，且，若的最小值为4，则实数a的值为【练习12】（24-25高一上·上海徐汇·期末）如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长m.【练习13】（22-23高一上·上海松江·期末）设，且，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【练习14】已知，，则的最小值为（

）A．13 B．16 C．3 D．6【练习15】（23-24高三上·上海黄浦·期中）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A．B．C． D．【练习16】已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是．【练习17】（24-25高一上·上海·期中）设、是正实数．(1)求证：，并指出等号成立的条件；(2)若，求的最小值，并指出等号成立的条件．【练习18】（24-25高一上·上海·期中）问题：正实数a、b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是．学习上述解法并解决下列问题：(1)已知a、b是正实数，且，求的最小值．(2)①已知实数a、b、x、y，满足，求证．②求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值．【练习19】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知.(1)若a与b均为正数，求的最大值，并指出取最大值时a与b的值；(2)若a与b均为负数，求的最小值.【练习20】（1）已知x，y是正实数，且，求的最小值；（2）函数的最小值为多少?（3）已知，则取得最大值时x的值为多少?【易错提醒】（1）根据基本不等式“1”的巧用求最值即可；（2）对已知函数进行分式分离，结合基本不等式求解最值即可；（3）利用基本不等式和为定值，乘积有最大值求解即可得答案.1．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若，则的最小值是.2．（24-25高一上·上海·月考）不等式的解集为．3．（24-25高一上·上海浦东新·月考）不等式的解集为4．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为.5．（24-25高一上·上海·期中）设关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为.6．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为.7．（22-23高一上·上海静安·期中）关于的不等式的解集是，则的解集是8．（24-25高一上·上海·月考）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集为．9．（24-25高一上·上海·月考）关于的不等式的解集是，若，则实数的取值范围是．10．（24-25高一上·上海·期中）设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是.11．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为．若，，则的取值范围是．12．设为实数，关于的不等式组的解集为，若，则的取值范围是．13.（22-23高一上·上海徐汇·期末）若实数x、y满足，则的最小值为.14.已知正实数满足，则的最小值为.15.若不等式对于一切正数恒成立，则实数的最小值为.16.若正数，满足，则的最大值为.17.（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，则代数式的最小值是.18.（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的最小值是.19.（24-25高一上·上海闵行·期中）已知正实数满足，则的最小值是.20.（24-25高一上·上海宝山·期中）如图，嘉文计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园；若菜园面积S为72m2，则所用篱笆总长C最小值是m.21．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为．22．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则a的取值范围为．23．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知关于的不等式组的整数解恰好有两个，则实数的取值范围是．24．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知关于的不等式组的整数解恰好有四个，则实数的取值范围是.25．（24-25高一上·上海·课堂例题）不等式的解集是（

）A．B．C． D．26．（24-25高一上·上海·期中）下列不等式中，与不等式解集相同的是（

）A．B．C．D．27．（24-25高一上·上海虹口·期末）设正实数满足，则下列结论不正确的是（

）.A．的最小值为4 B．的最大值为C．的最大值为 D．的最小值为28.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．29.对于任意，恒成立，则（

）A． B． C． D．30．（24-25高一上·上海·月考）已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集．31．（24-25高一上·上海·月考）（1）解不等式；（2）；（3）.32.求下列代数式的最值：(1)已知，求的最小值；(2)已知，，且满足.求的最小值；(3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值.33．（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式：.34．（24-25高一上·上海·月考）解关于的不等式．35．（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式：.36.（24-25高一上·上海·月考）现需要建造仓库A和厂房B，已知建造仓库A的所有费用（万元）和与仓库A、厂房B的距离（千米）的关系为：（），若距离为1千米时，仓库建造费用为80万元，为了方便，仓库A与厂房B之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每千米成本为3万元，设为建造仓库与修路费用之和．(1)求的表达式；(2)当仓库A与厂房B距离多远时，可使得总费用最小？并求出最小值．37.（24-25高一上·上海浦东新·期中）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元.(1)写出一年的总运费y与x的函数关系式（要求写出x的取值范围）；(2)要使一年的总运费与总存储费用之和最少，则每次购买多少吨？(3)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量在什么范围内？38.（24-25高一上·上海·期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为，(1)用、表示文字宣传区域面积和；(2