黑龙江省哈尔滨市第九中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学试卷（含解析）

试卷第=page44页，共=sectionpages44页黑龙江哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高二下学年6月阶段性测试数学试卷一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知，，则“”是“且”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知函数，则（

）A．4 B． C．2 D．4．函数在上的最小值为（

）A． B． C． D．5．已知，，且，则的最小值为（

）A． B．5 C．4 D．36．已知，，，则（

）A． B． C． D．7．过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（

）A．1 B．-1 C．3或1 D．3或8．已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．在下列四个命题中，正确的是（

）A．命题“，使得”的否定是“，都有”B．命题“，”是真命题C．集合与集合表示同一集合D．已知集合，若，则的值为10．下列能够取得最小值为4的函数有（

）A．函数 B．函数C．函数 D．函数11．已知函数有两个极值点，则（

）A． B．C． D．三、填空题12．若，则的取值范围为______．13．已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是________．14．若对恒成立，则正实数的最小值是______．四、解答题15．已知集合，.(1)若，求，；(2)“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.16．如图，在三棱台中，四边形为直角梯形，，平面平面，为的中点，．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成的角的正弦值．17．随着移动互联网技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，某电商直播带货后从7月份到11月份每个月线上的销售量(万件)()的数据如下所示:月份7891011月份代码x12345销售量y2.22.52.73.13.5(1)从这5个月中随机选取3个月，记月销售量不少于3万件的月份的个数为X，求随机变量X的分布列及期望；(2)利用最小二乘法求y关于x的经验回归方程，并预测当年12月份的月销售量.附:经验回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=-18．已知．(1)若在恒成立，求的取值范围；(2)若在恒成立，求的取值范围；(3)若有两个零点，，证明：．19．已知函数．(1)若函数有两个零点，求实数的取值范围；(2)若，求证：；(3)若，，关于的不等式恒成立，求的最大值．答案第=page1212页，共=sectionpages1414页答案第=page1313页，共=sectionpages1414页《黑龙江哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高二下学年6月阶段性测试数学试卷》参考答案题号12345678910答案BBCDCADCADBCD题号11答案ACD1．B解析：由题可得：2．B解析：由，且，可得；反之，由不一定得到，且，比如，时，，所以“”是“，且”的必要不充分条件．3．C解析：函数，有，令，得，解得.故选：C.4．D解析：因为，所以，令，得，令，得或；令，得，所以，在上单调递增，在上单调递减，故在上单调递减，上单调递增，则.5．C解析：已知，，且，，当且仅当，结合得时等号成立，的最小值为．6．A解析：比较与的大小：构造函数，定义域为，求导得，当时，，故，在上单调递增，因此，即，整理得；比较与的大小：构造函数，定义域为，求导得，当时，，故，所以在上单调递增，因此，即，整理得，所以．7．D解析：解：因为，所以，，当为切点时，；当不为切点时，设切点为，，所以，所以切线方程为，又切线过点，所以，即，即，解得或（舍去），所以切点为，所以．综上所述，直线l的斜率为3或．8．C解析：若对任意的，存在，使，则.由已知得，可知，当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增.故当时，.因为函数的对称轴为，所以在上单调递减，所以当时，.于是，解得.9．AD解析：选项：由命题的性质得，命题“，使得”的否定是“，都有”，故正确；选项：因为，所以，则不存在实数满足，故不正确；选项：集合是点集，集合是数集，则集合与集合表示的不是同一集合，故不正确；选项：因为，若，得，此时，不符合已知条件的集合含有2个元素，故不符合；若，得，（舍去），此时，符合已知条件的集合含有2个元素，故符合，故正确.10．BCD解析：对A：，当且仅当，即时等号成立，故A错误；对B：，当且仅当，即时等号成立，故B正确；对C：，当且仅当，即时等号成立，故C正确；对D：，当且仅当，即时等号成立，故D正确.11．ACD解析：A选项，定义为R，且，由题意得有两个变号零点，令，即有两个不同的根，令，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，且，又当时，，当时，，画出的图象，如下，故，A正确；B选项，由A选项可知，，且，故，B错误；C选项，由A选项可知，，且，，C正确；D选项，设，，则，因为，所以，，则，故，故在上单调递增，又，而，故，即，又，所以，其中，，而由A选项可知，在上单调递减，所以，即，D正确.故选：ACD12．解析：因为，所以，，根据同向不等式可加性得．故答案为：．13．解析：设，则.因为，所以，即在上单调递减.又，则，即不等式的解集.14．解析：因为，则等价于，可得，且，令，，可得，因为在定义域内单调递增，则，可得，令，，则，当时，；当时，；可知在内单调递增，在内单调递减，则，可得，所以正实数的最小值是.15．(1)，或；(2).解析：（1）当时，，所以或，又，解不等式得，所以，所以，或；（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，又，，所以或，解得或，故实数a的取值范围是.16．(1)证明如下：法一：取的中点，连接，因为分别是的中点，可得，且，在三棱台中，可得，所以，又因为，所以，所以四边形是平行四边形，则，因为平面，平面，所以平面．法二：在三棱台中，为的中点，且，因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，且平面，于是平面．(2)解析：（1）略（2）解：因为平面平面，平面平面，且，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，则．设平面的法向量为，则，令，可得．所以．设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成的角正弦值为．17．(1)分布列见解析，(2)3.76万件解析：（1）因为月销售量不少于3万件的月份有2个，所以X的所有可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：01

2

所以.（2）因为，，，所以===，=-=，故y关于x的经验回归方程为，又当年12月份对应的月份代码为6，所以，所以预测当年12月份的月销售量为3.76万件.18．(1)(2)(3)方法一：若有两个零点，设两个零点为，不妨设由于所以在上单调递减，在上单调递增，故两个零点分别在和内，即，由，得,整理得

，即，令则，代入上式：，所以，故，要证即证即证令则那么

，所以在上单调递增，故，即，所以方法二：若有两个零点，设两个零点为，不妨设由于所以在上单调递减，在上单调递增，故两个零点分别在和内，即，设，则，，，当时，，所以，即，在上单调递减，即，由，可得，由可得，又在上单调递增，所以，，故解析：（1）若在恒成立，则在恒成立，即对一切恒成立，令，则，令得，令得，所以在上单调递减，在上单调递增，处取极小值，也是最小值，，故，所以的取值范围为.（2）若在恒成立，即在恒成立，设，那么，，在恒成立，即恒成立，当时，在恒成立，在上单调递增，，不满足题意，舍去；当时，令，得；令，得，在上单调递增，在上单调递减，若即，则在上单调递减，，满足题意；若即，则在上单调递增，在上单调递减，在区间上，有，不满足题意，舍去；综上所述，的取值范围为.（3）略19．(1)(2)证明：因为，所以，故要证，需证，即证，即证（*），令，则．令，则；令，则．所以在上单调递减，在上单调递增，故，即，令，从而由（*）只需证．令，则，所以在上单调递增，故，所以，从而恒成立．(3)解析：（1）的定义域为，令，即，即，即，设，则．当时，，在上单调递增；当时，，在单调递减，所以．又，当时，；时，．画出的大致图象如图所示．函数有两个零点，等价于函数的图像与直线有两个交点，则需使,由图象可得，实数