浙江省宁波市慈溪市2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学试卷及答案

第1页/共1页浙江省宁波市慈溪市2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学试卷及答案温馨提示：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间120分钟．2．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．3．考试期间不能使用计算器．一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.2.下列四种四边形中，绕对角线交点旋转后，一定能与原图形重合的是（）A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形3.下列计算正确的是（）A. B. C. D.4.某多边形的内角和度数为，则该多边形的边数为（）A.5 B.6 C.7 D.85.用反证法证明“若，则”，应假设（）A. B. C. D.6.如图是某班级两次跳绳成绩的箱线图，下列说法正确的是（）A.从箱体的高度看，第一次跳绳成绩的中间数据相比第二次更加集中B.第一次跳绳成绩约有的人达到了128个以上C.第二次跳绳成绩最多为186个D.两次跳绳成绩的中位数的差为18个7.在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步？”设宽为步，则下列方程正确的是（）A. B. C. D.8.定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.9.如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接．若，为中点，则的长（）A. B. C. D.410.如图，在矩形中，，，且，对角线，相交于点，是上的一个动点，作交于点，作交于点，连结，则的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（每小题3分，共18分）11.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．12.已知是方程的一个根，则的值为_______．13.某果农为了解今年杨梅的单颗质量大小，随机对500颗杨梅进行检测．已知下四分位数是18克，则这500颗杨梅中，至少有_______颗杨梅的质量大于或等于18克．14.如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米．15.魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数，若（其中为正整数，为非零整数），则当最小时，．用该方法计算的近似值为_______．（结果保留两位小数）16.如图，在菱形中，，对角线，相交于点，是线段上一点，连结，将沿翻折，点落在点处，交于点．若，，则菱形的面积为_______．三、解答题（第17—21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分，共72分）17.计算：（1）；（2）．18.解下列方程：（1）；（2）．19.如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知点的坐标为，点的坐标为，请根据以下要求完成任务．（1）若点，关于原点成中心对称，则点的坐标为（_______，_______）．（2）作正方形，要求点，均在第一象限内，且横、纵坐标都为整数．20.某中学八年级学生开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，随机抽取了20名学生的成绩（单位：分）如下：81，83，84，85，85，86，87，88，89，90，90，91，92，92，93，94，94，95，96，99．根据以上信息，解答下列问题：（1）20名学生成绩的中位数是________分，上四分位数是________分．（2）小明将八年级的成绩数据分成两组进行分析，并计算组内离差平方和，其中第7组至第10组的两组组内离差平方和数据如下，则这四种分法中，第_____组分法的组内成绩数据波动最小，两组之间数据差异最大．（填写“7”或“8”或“9”或“10”）组序……78910……组内离差平方和……136.945125.792124.182132.000（3）该校八年级有500名学生参加了此次竞赛，若规定成绩85分及以上为“良好”，请你估算八年级共有多少名学生成绩达到良好．21.如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，．（1）求证：四边形为平行四边形．（2）若，，求的长．22.已知关于的一元二次方程（）有两个非零实数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”．（1）一元二次方程是“逆根方程”吗？请说明理由．（2）若一元二次方程是“逆根方程”，求此方程的两个根．23.某机器人研究小组对机器人行走时的步长（米/步）、步频（步/秒）与步行速度（米/秒）进行研究，步长是指机器人单步前进的距离，步频是指单位时间内机器人完成的步数，则机器人的步行速度步长步频，即．在测试模式下，已知步长与步频满足一次函数（）．（1）当步频（步/秒）时，步长为_______（米/步），步行速度为_______（米/秒）．（2）机器人的步行速度能否达到1.8（米/秒）？若能，请求出此时步频的值；若不能，请说明理由．（3）研究小组记录了某两次测试情况：在第一次测试中，机器人以某步频行走了8米；在第二次测试中，机器人的步频比第一次多了1步/秒，并在与第一次相同的时间内行走了9米，求第一次测试中机器人的步频．24.在中，，，分别是，上的点，，相交于点，，连接．（1）如图1，若，．①求证：．②若，求的度数．（2）如图2，若，，求的长．

浙江省宁波市慈溪市2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学试卷及答案1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【详解】解：的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，故A选项正确；的被开方数含分母，不是最简二次根式，故B选项错误；的被开方数是能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，故C选项错误；，被开方数含分母，不是最简二次根式，故D选项错误．2.下列四种四边形中，绕对角线交点旋转后，一定能与原图形重合的是（）A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形【答案】D【解析】【分析】根据绕对角线交点旋转后能与原图形重合的要求，结合各选项四边形的性质判断即可．【详解】解：四边形绕对角线交点旋转后能与原图形重合，要求该四边形的对角线相等且互相垂直平分，A.平行四边形对角线仅互相平分，不相等也不垂直，旋转后不能与原图形重合，A错误；B.矩形对角线相等且互相平分，但不垂直，旋转后不能与原图形重合，B错误；C.菱形对角线互相垂直平分，但不相等，旋转后不能与原图形重合，C错误；D.正方形对角线相等，且互相垂直平分，绕对角线交点旋转后一定能与原图形重合，D正确．3.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一判断各选项即可．【详解】解：，故A选项计算错误；与不是同类二次根式，不能合并，故B选项计算错误；，故C选项计算正确；，故D选项计算错误．4.某多边形的内角和度数为，则该多边形的边数为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】设该多边形的边数为，利用多边形内角和公式列一元一次方程即可求解．【详解】解：设该多边形的边数为，则，解得，因此该多边形的边数为7．5.用反证法证明“若，则”，应假设（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据反证法的一般步骤：先假设结论不成立进行解答．【详解】解：用反证法证明“若，则”的第一步是假设，故选：C．【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．6.如图是某班级两次跳绳成绩的箱线图，下列说法正确的是（）A.从箱体的高度看，第一次跳绳成绩的中间数据相比第二次更加集中B.第一次跳绳成绩约有的人达到了128个以上C.第二次跳绳成绩最多为186个D.两次跳绳成绩的中位数的差为18个【答案】A【解析】【分析】根据箱线图的定义，分别读取两次成绩的下四分位数、中位数、上四分位数及最大值，结合各选项进行判断即可．【详解】解：由图可知，第一次成绩的下四分位数为，中位数为，上四分位数为；第二次成绩的下四分位数为，中位数为，上四分位数为．对于A，第一次箱体高度为，第二次箱体高度为，，第一次中间数据更集中，故A正确；对于B，是第一次成绩的下四分位数，约有的人达到了个以上，故B错误；对于C，是第二次成绩的上四分位数，最大值应为上须顶端（接近），故C错误；对于D，两次中位数之差为，故D错误．7.在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步？”设宽为步，则下列方程正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设宽为步，先表示出长，再利用长方形面积公式列方程，即可选出正确选项．【详解】解：设宽为步，则长为步，∵长方形田地的面积为864平方步，∴可得方程．8.定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】浙江省宁波市慈溪市2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学试卷及答案【分析】先根据新定义的运算规则，将整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等实数根时判别式大于，求解得到的取值范围．【详解】解：∵定义运算，∴，∵，∴，即，∵方程有两个不相等的实数根，∴，化简得，解得．9.如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接．若，为中点，则的长（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】根据题意得出，，结合为中点求出的长，进而求出的长，最后在中利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，由题意可知，，，∵为中点，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：．10.如图，在矩形中，，，且，对角线，相交于点，是上的一个动点，作交于点，作交于点，连结，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用矩形对角线相等且互相平分、平行线证得相似三角形，结合垂直条件推导两组直角三角形相似，通过设参数化简线段长度，借助勾股定理推导出与的正比例关系式；再依据垂线段最短，确定点到对角线的垂线段为最小值，结合三角形面积公式求出的最小长度，最终代入关系式算出的最小值．【详解】解：四边形是矩形，，，，对角线，且为中点，，，，过点分别作于，于，则四边形为矩形，，且,，，，，，设，则，，，，，，，，，又，，又，，，其中，代入得：，约分化简得：，，，在中，由勾股定理得，将、代入，利用完全平方公式展开并整理：，，，即，为定值，当取最小值时，取得最小值，点在线段上运动，根据垂线段最短，当时，取得最小值（即点到直线的距离），，代入得：，解得，将代入的表达式：．二、填空题（每小题3分，共18分）11.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．【详解】解：根据题意得，解得：．12.已知是方程的一个根，则的值为_______．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，解该方程即可得到的值．【详解】解：是方程的一个根，将代入方程得：，整理得，移项得，系数化为得．13.某果农为了解今年杨梅的单颗质量大小，随机对500颗杨梅进行检测．已知下四分位数是18克，则这500颗杨梅中，至少有_______颗杨梅的质量大于或等于18克．【答案】【解析】【分析】先根据下四分位数即第百分位数计算对应位置，再根据定义求出大于等于下四分位数的最少颗数．【详解】解：将颗杨梅的质量从小到大排序，下四分位数是第百分位数，其位置为：，即小于18克的数据至多有125个，因此大于或等于克的杨梅最少数量为：．14.如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米．【答案】3【解析】【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12厘米．∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6厘米．∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线．∴EF=AB=3厘米．故答案为：315.魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数，若（其中为正整数，为非零整数），则当最小时，．用该方法计算的近似值为_______．（结果保留两位小数）【答案】浙江省宁波市慈溪市2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学试卷及答案【解析】【分析】根据题干给出的近似计算方法，先将改写为的形式，确定使最小的正整数和整数，再代入公式计算，保留两位小数即可得到结果．【详解】解：由题意得，．，．将表示为，此时．若取，则，．因此取，．代入近似公式，得：．16.如图，在菱形中，，对角线，相交于点，是线段上一点，连结，将沿翻折，点落在点处，交于点．若，，则菱形的面积为_______．【答案】15【解析】【分析】根据折叠的性质可得，由可得，进而推出，得到，结合可得，在中利用勾股定理求出的值，最后根据菱形面积公式计算即可．【详解】解：由折叠的性质可知，，即∵，交于点，∴在中，，即∴，即在菱形中，，∴在中，∵，∴在中，，，∴是等腰直角三角形，即∵，∴在中，由勾股定理得，即，，即∴菱形的面积∴．三、解答题（第17—21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分，共72分）17.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】解：原式

；【小问2详解】解：原式．18.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】解：

配方得

即

，

开方得

，

解得

；【小问2详解】解：原方程整理为一般形式得，其中∵，∴，浙江省宁波市慈溪市2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学试卷及答案∴．19.如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知点的坐标为，点的坐标为，请根据以下要求完成任务．（1）若点，关于原点成中心对称，则点的坐标为（_______，_______）．（2）作正方形，要求点，均在第一象限内，且横、纵坐标都为整数．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数，由此可解；（2）根据正方形的四条边相等，四个角均为90度，利用格点作图即可．【小问1详解】解：点，关于原点成中心对称，点的坐标为，点C的坐标为；【小问2详解】略20.某中学八年级学生开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，随机抽取了20名学生的成绩（单位：分）如下：81，83，84，85，85，86，87，88，89，90，90，91，92，92，93，94，94，95，96，99．根据以上信息，解答下列问题：（1）20名学生成绩的中位数是________分，上四分位数是________分．（2）小明将八年级的成绩数据分成两组进行分析，并计算组内离差平方和，其中第7组至第10组的两组组内离差平方和数据如下，则这四种分法中，第_____组分法的组内成绩数据波动最小，两组之间数据差异最大．（填写“7”或“8”或“9”或“10”）组序……78910……组内离差平方和……136.945125.792124.182132.000（3）该校八年级有500名学生参加了此次竞赛，若规定成绩85分及以上为“良好”，请你估算八年级共有多少名学生成绩达到良好．【答案】（1）,（2）（3）名【解析】【分析】先根据定义计算第一问的中位数和上四分位数，再根据组内离差平方和越小组内波动越小的性质判断第二问，最后利用样本比例估算总体良好人数得到第三问结果．【小问1详解】解：本题共给出20个已按从小到大排序的成绩，∴中位数为第10个和第11个成绩的平均数，由数据可知，第10个成绩为，第11个成绩为，∴中位数为(分)，上四分位数的位置为，∴上四分位数为第15个和第16个成绩的平均数，由数据可知，第15个成绩为，第16个成绩为，因此上四分位数为(分)；【小问2详解】解：组内离差平方和越小，组内成绩数据波动越小，两组之间数据差异越大比较四个组的组内离差平方和得：，第9组的组内离差平方和最小，因此填；【小问3详解】解：抽取的20名学生中，低于85分的共有3名，因此成绩85分及以上的学生有名，估计八年级良好人数为(名)答：估算八年级共有425名学生成绩达到良好．21.如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，．（1）求证：四边形为平行四边形．（2）若，，求的长．【答案】（1）证明：，，，在和中，，，，又，四边形为平行四边形．（2）【解析】【分析】（1）先证，推出，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证明；（2）由平行四边形的性质求出和，再利用勾股定理解和即可．【小问1详解】略【小问2详解】解：，，由（1）知四边形为平行四边形，，，在中，，在中，．22.已知关于的一元二次方程（）有两个非零实数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”．（1）一元二次方程是“逆根方程”吗？请说明理由．（2）若一元二次方程是“逆根方程”，求此方程的两个根．【答案】（1）是，理由如下：解：

解得，

两个根均为非零实数，且其中是的倒数，符合“逆根方程”的定义

一元二次方程是“逆根方程”；（2）方程的两个根为和【解析】【分析】（1）先求解给定的一元二次方程，得到两个根后，根据“逆根方程”的定义判断即可；（2）根据“逆根方程”的定义得到两根乘积为1，利用根与系数的关系求出的值，再代入原方程求解即可得到两个根．【小问1详解】略【小问2详解】解：设方程的两个根为该方程是“逆根方程”由一元二次方程根与系数的关系得，解得将代入原方程得：

整理得由求根公式得方程的两个根为和．23.某机器人研究小组对机器人行走时的步长（米/步）、步频（步/秒）与步行速度（米/秒）进行研究，步长是指机器人单步前进的距离，步频是指单位时间内机器人完成的步数，则机器人的步行速度步长步频，即．在测试模式下，已知步长与步频满足一次函数（）．（1）当步频（步/秒）时，步长为_______（米/步），步行速度为_______（米/秒）．（2）机器人的步行速度能否达到1.8（米/秒）？若能，请求出此时步频的值；若不能，