湖北树施州2025-2026学年高二数学上学期12月月考试题含解析

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘

贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸

和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非

答题区域均无效.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的．

1.15ii的虚部为（）

A.1B.5C.1D.5

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数乘法运算结合虚部定义求解.

【详解】因为15iii5i25i，所以其虚部为1，

故选：C.

2.抛物线y4x2的焦点到准线的距离是

11

A.2B.4C.D.

48

【答案】D

【解析】

111

【详解】试题分析：因为抛物线方程y4x2可化为x2y=2y，p，所以抛物线y4x2的焦

488

1

点到准线的距离是，故选D.

8

考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的几何性质.

3.东风5C液体洲际战略核导弹，打击范围覆盖全球.某火箭军部队在试验中用甲、乙两款东风导弹各一

枚独立射击3000公里处同一目标，甲款导弹命中目标的概率为0.9，乙款导弹命中目标的概率为0.8，甲

和乙是否命中相互没有影响，则目标被击中的概率为（）

A.0.08B.0.18C.0.72D.0.98

【答案】D

【解析】

【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率关系可得.

【详解】记甲款导弹命中目标为事件A，乙款导弹命中目标为事件B，目标被击中为事件C，

由题知，PA0.9,PB0.8，且A，B相互独立，

则PC1PC1PAPB110.910.80.98.

故选：D

4.如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1所有棱长都为1，底面ABCD为正方形，

A1ABA1AD60．则对角线AC1的长度为（）

A.6B.5C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】利用基底法求解即可.

【详解】由题知AC1ABADAA1，

所以

22222

AC1ABADAA1ABADAA12ABAD2ADAA12AA1AB

222

ABADAA12ABADcos902ADAA1cos602AA1ABcos60

1110115，

所以，即.

AC15AC15

故选：B.

x2y23

5.已知直线l与双曲线1交于A、B两点，且弦AB的中点为M3,，则直线l的方程为（）

432

A.2x3y60B.4x6y30

C.6x4y60D.3x2y60

【答案】D

【解析】

【分析】利用点差法可求得中点弦方程.

【详解】设Ax1,y1，Bx2,y2，

x2y2x2y2

则111①，221②，

4343

3

又弦AB的中点为M3,，

2

所以x1x26，y1y23，

xxxxyyyy

①②得121212120，

43

3

即有xxyy，

21212

yy3

可得直线l的斜率为k12，

x1x22

33

即有直线l的方程为yx3，化简得3x2y60，经检验满足题意，

22

故选：D

6.在数列an中，若a22,ann2an1an，则a2026（）

A.1013B.1014C.2025D.2026

【答案】B

【解析】

【分析】利用累乘法求出通项公式，然后可得a2026.

3

【详解】在an2aa中，取n1，可得a3(aa)，代入a22解得a，

nn1n12112

an3

n1

又由ann2an1an可得，

ann2

a2a3an1an345n1n2n2

于是ana1，

a1a2an2an1234nn12

20262

故a1014.

20262

故选：B

7.直线yxb与曲线x4y2恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（）

A.[2,22]B.(22,2]C.(2,2)D.[22,2)

【答案】B

【解析】

【分析】曲线x4y2是以原点为圆心，2为半径的右半圆，作出图象，利用直线与半圆有两个交点求

出b的取值范围.

【详解】yxb是斜率为1的直线，

22

曲线x4y2即xy4x0，是以原点为圆心，2为半径的右半圆，画出它们的图象如图，

|b|

当直线与圆相切时，2，解得b22，或b22（舍去），

2

当直线过(2,0)时，b2，直线与半圆有两个公共点；

由图可以看出：当22b2时，直线与半圆有两个公共点.

故选：B.

8.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，

x2y2

经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆方程1ab0，F1，F2为其左、

a2b2

4

右焦点，若从右焦点F发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足ABAD，cosABC，则该

25

椭圆的离心率为（）

1

A.B.1C.2D.3

3222

【答案】C

【解析】

【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案.

【详解】由题意，可作图如下：

4AB3AF

21

则cosABF1，sinABF11cosABF1，即AB:AF1:BF14:3:5，

5BF15BF1

可设AB4k，AF13k，BF15k，

由ABAF1BF1AF2BF2AF1BF14a，则4k3k5k4a，即3ka，

，在中，22，

AF22aAF13kRtAF1F2F1F2AF1AF232k2c

2c32k2

则e.

2a6k2

故选：C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.下列关于空间向量的命题中，正确的是（）

A.若非零向量a，b，c满足a//b，c//b，则有a//c

B.若OA，OB，OC是空间的一组基底，且CDOAOB2OD，则A,B,C,D四点共面

C.任意向量a，b，c满足(ab)ca(bc)

1

D.已知向量a(1,1,x)，b(3,x,8)，若x，则a,b为锐角

3

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据向量共线定理判断A；根据CDDADB判断B；根据数量积的运算律判断C；根据向量夹

角公式求解判断D.

【详解】解：对于A选项，因为a，b，c是非零向量，且满足a//b，c//b，故存在实数,使得

ab,bc，故ac，所以a//c，故正确；

对于B选项，OA，OB，OC是空间的一组基底，故A,B,C三点不共线，

CDOAODOBODDADB，所以，A,B,C,D四点共面，故B选项正确；

对于C选项，因为a，c不一定共线，故(ab)ca(bc)不一定成立，故C选项错误；

3

对于D选项，当a与b共线且同向时，有ba0，即x，该方程组无解，即a与b不能共线

x8

ab39x1

且同向，故cosa,b0时，a,b为锐角，即x时a,b为锐角，故

abx22x2733

D选项正确.

故选：ABD

10.过抛物线y22px(p0)焦点F(1,0)作弦AB，若|AF|3，则有（）

3

A.|BF|B.AB的斜率是22

2

C.点A到y轴的距离是2D.△OAB的面积是定值2

【答案】ABC

【解析】

【分析】由焦半径公式求得A点横坐标，设A在第一象限，可得A点坐标，从而得出直线AB方程，代入

抛物线方程后求得B点坐标，可得BF，判断A，求出直线AB斜率，由对称性判断B，由A横坐标判断C，

计算出△OAB的面积判断D．

p

【详解】由题意1，p2，抛物线方程为y24x，

2

，，2，不妨设在第一象限，则，即，

AFxA13xA2yA428AyA22A(2,22)

22

直线AF的方程为y(x1)，即y22(x1)，代入抛物线方程得2x25x20,

21

1113

解得x2，x，所以x，BFx11，A正确；

122B2B22

由A选项推导过程知，根据对称性，还可以有，B正确；

kAB22kAB22

由xA2知C正确；

21

在A选项推导过程中，有y42，y2，（A在第一象限，则B在第四象限），

B2B

1132，D错误．

SOFyy1(222)

OAB2AB22

故选：ABC．

11.已知圆C:x2y24x2y40，则（）

A.l:mx2y2m10mR与圆C一定相交

B.圆M:x2(y1)24与圆C的公共弦的方程为4x4y70

C.若A(2,0)，B(1,0)，则在C上存在两个点P使得|PA|2|PB|

D.过l:xy30上一动点Q向圆C引切线，则切线长的最小值为17

【答案】ABD

【解析】

1

【分析】求出圆心为C(2,1)，半径为r1，选项A，求出直线l恒过定点E(2,)，得到ECr，则l与

121

圆相交；选项B，圆M和圆C这两个圆的方程相减得到公共弦所在的直线方程；选项C，设P(x,y)，由

|PA|2|PB|，得到P的轨迹是圆，求出两个圆心间的距离，从而得到答案；选项D，切线长

222，要使切线长的最小值，需要QC最小，由QC的最小值为到

LQCr1QC1C

l:xy30的距离d，从而得到切线长的最小值.

22

【详解】C:xy4x2y40的圆心为C(2,1)，半径为r11，

选项A，l:mx2y2m10mR，整理得到m(x2)(2y1)0，

x2

x201

则，解得1，故直线l恒过定点E(2,)，

2y10y2

2

1

EC1r，l:mx2y2m10mR与圆相交，故选项A正确；

21

选项B，圆M:x2(y1)24整理得到M:x2y22y30，

M:x2y22y30和圆C:x2y24x2y40这两个圆的方程相减得到公共弦所在的直线方

程，

即公共弦的方程为4x4y70，故选项B正确；

22

选项C，设P(x,y)，|PA|2|PB|，x2y22x1y2，x2y24x0，

P在以F(2,0)为圆心，半径为r22的圆上，两个圆心间的距离为FC1，

FCr2r1，两圆相切，C上存在一个点P使得|PA|2|PB|，故选项C不正确；

选项D，如图，切线长222，要使切线长的最小值，需要QC最小，

LQCr1QC1

213

QC的最小值为C到l:xy30的距离d32，

2

切线长的最小值为18117，故选项D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.空间内有三点A2,1,1，B1,1,2，P3,1,4，则点P到直线AB的距离为___________．

【答案】22

【解析】

【分析】利用空间距离的向量求法直接计算即可得出结果.

AB22

【详解】易知AB1,0,1,AP1,0,5，则,0,，

AB22

2

2AP·AB

所以点P到直线AB的距离为AP261822.

AB

故答案为：22.

13.过点A1,4的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为_______________．

【答案】4xy0或xy30

【解析】

【分析】根据直线过原点和不过原点设出直线方程，然后代入点A1,4即可得解.

xy

【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零，所以设直线方程为ykx或1，

aa

14

因为直线过点A1,4可得4k或1，可得a3.

aa

所以直线方程为4xy0或xy30.

故答案为：4xy0或xy30

14.已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且PF1PF2，线段PF1的中垂线经

1

过F2.记椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则e2的取值范围是__________.

e1

【答案】4,

【解析】

【分析】由题意可得PF2F1F22c，结合椭圆和双曲线的定义得到e1，e2的关系式，根据e2的取值范

围，结合对勾函数性质即可得到结果.

【详解】设椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2，它们的公共焦距为2c，

不妨设焦点在x轴上，点P在第一象限，

由点F2在线段PF1的垂直平分线上，则PF2F1F22c，

由椭圆、双曲线的定义得：PF1PF22a1，PF1PF22a2，

则PF12a12c2a22c，整理得a1a22c，

aaaa2c1111

则12122，故2，则=+2，

cccce1e2e1e2

11

故e2e22，其中e21，

e1e2

1

令fxx2x1，

x

由对勾函数性质可知，fx在1,上单调递增，

1

故fx124，

1

1

即e2的取值范围是4,.

e1

故答案为：4,.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15.已知为数列的前项和，2.

Snann2Sn3nn

（1）求an的通项公式；

n

（2）若bn26an2，求bn取得最大值时n的值.

【答案】（1）an3n1

（2）n7或n8

【解析】

【分析】（1）根据an与Sn的关系即可求解；

n

（2）由（1）得bn273n2，通过作差法比较bn1bn与0的大小，从而得到数列bn的单调性，

即可求解.

【小问1详解】

当n1时，2S1314，解得a1S12；

2

当时，2a2S2S3n2n3n1n16n2，即a3n1.

n2nnn1n

因为a12也满足an3n1，所以an3n1.

【小问2详解】

nn1nn

由（1）得bn273n2，所以bn1bn[273(n1)]2273n2213n2，

所以当n7时，bn1bn0，即bn1bn；

当n7时，bn1bn0，即b7b8；

当时，-<，即，

n7bn+1bn0bn1bn

所以b1b2b7b8b9b10，

故当n7或n8时，bn取得最大值.

16.2024年入冬以来，为了减少甲流对师生身体健康的影响，某学校规定师生进出学校需佩戴口罩，现将

该学校1000位师生一周的口罩使用数量统计如下表所示，其中每周的口罩使用数量在6只以上（包含6只）

的有700人．

口罩使用数

2,44,66,88,1010,12

量

频率0.2m0.3n0.1

（1）求m,n的值，根据表中数据，完善上面的频率分布直方图（不要求写出过程，画图即可）；

（2）根据频率分布直方图估计该学校师生一周口罩使用数量的75%分位数和平均数（每组数据用每组中

间值代替）；

（3）按分层抽样的方法在前三组中抽取一个容量为6的样本，记第一组抽取的2人为a1,a2．第二组抽取

的1人为b，第三组抽取的3人为c1,c2,c3，从这6人中随机抽取两人检查其健康状况记为事件M，请列

出事件M的样本空间，并求这两人恰好来自同一组的概率．

【答案】（1）m0.1,n0.3；直方图见解析

（2）9个，7个

4

（3）答案见解析，

15

【解析】

【分析】（1）根据已知条件，依次求得n,m的值.

（2）根据百分位数和平均数的求法求得75%分位数和平均数.

（3）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.

【小问1详解】

由每周的口罩使用个数在6以上（含6）的有700人得：

700300

n0.30.10.3,m0.20.1，

10001000

故所求m0.1,n0.3，

频率分布直方图如下：

【小问2详解】

由（1）知0.20.10.30.60.75，又因为口罩使用数量在8,10的频率是0.3，

0.60.30.90.75，

所以假设75%分位数为x，

0.750.6

则x829，

0.3

由频率分布直方图得一周内使用口罩的平均数为：

x30.250.170.390.3110.17（个），

故估计所求75%分位数为9个，平均数估计为7个.

【小问3详解】

可知样本空间：

Ma1,a2,a1,b,a1,c1,a1,c2,a1,c3,a2,b,a2,c1,a2,c2,

a2,c3,b,c1,b,c2,b,c3,c1,c2,c1,c3,c2,c3，

共含有15个样本点，可以认为这15个样本点出现的可能性是相等的．

记“这两个人来自同一组”为事件，则Da1,a2,c1,c2,c1,c3,c2,c3，

4

样本点有4个，故PD.

15

17.在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且msinAsinBsinC,sinC，

nsinB,sinBsinCsinA，若m//n.

（1）求A的大小；

（2）设a3，S为ABC的面积，求S3cosBcosC的取值范围.

2π

【答案】（1）A

3

3

（2）,3

2

【解析】

1

【分析】（1）由平行向量的坐标关系及正弦定理可得a2b2c2bc，代入余弦定理整理得cosA，

2

即可求得角A；

（2）由已知条件及正弦定理可得b2sinB，c2sinC，结合面积公式，两角差的余弦公式化简所求式

π

子可得S3cosBcosC3cos2B，进而结合角B的范围求解即可.

3

【小问1详解】

m//n，sinAsinBsinCsinBsinCsinAsinBsinC，

根据正弦定理得abcbcabc，化简得a2b2c2bc，

1

由余弦定理a2b2c22bccosA，得cosA，

2

2π

又A0,π，A.

3

【小问2详解】

2π

a3，A，

3

bca3

2

由正弦定理得sinBsinCsinA3，

2

b2sinB，c2sinC，

113

SbcsinA2sinB2sinC3sinBsinC，

222

S3cosBcosC3sinBsinC3cosBcosC3cosBC，

ππ

BC，S3cos2B.

33

πππππ1

0B，2B，cos2B,1，

333332

3

S3cosBcosC的取值范围是,3.

2

2

18.已知直三棱柱ABCA1B1C1如图所示，其中CAB45，CAAAAB，点D在线段B1C上

12

（不含端点位置）.

（1）若，求点到平面的距离；

B1D2CD22A1ABD

1

（2）若平面ABD与平面ABC夹角的余弦值为，求直线A1D与平面ABD所成角的正弦值.

3

【答案】（1）6

（2）14

14

【解析】

【分析】（1）利用等体积法，借助VV求解即可；

A1ABDDA1AB

（2）先建系设动点D的坐标，然后求出平面ABD与平面ABC的法向量，利用已知二面角确定点D的坐

标，最后利用A1D与平面ABD的法向量求出线面角的正弦值.

【小问1详解】

在ABC中，由余弦定理，

得BC2AC2AB22ACABcosCABAC2，则BCAC，

而，故，，

B1C32CAAA13AB32

在△BCD中，由余弦定理知BDBC2CD22BC·CDcos45o5，

由平面知，在中，22，

ACBCC1Rt△ACDADACCD11

51118136

故cosADB，则sinADB，

2555555

故113636.

S△ADBDADBsinADB115

22552

136192

因为VAABDVDAAB，所以h2，解得h6.

113232

【小问2详解】

以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，

不妨设CACC13，故A3,0,0，B0,3,0，B10,3,3，A13,0,3，

设，则，则，，

CDCB10,3,3D0,3,3AD3,3,3AB3,3,0

n·AD0xyz0

设为平面的法向量，则，则，

nx,y,zABD

n·AB0xy0

令xλ，则z1，故n,,1为平面ABD的一个法向量，

而m0,0,1为平面ABC的一个法向量，

11

22

故2，解得3840，解得（2舍去），

32213

221

故，，

n,,A1D3,2,1

333

A1Dn14

故直线与平面所成角的正弦值.

A1DABDsin

A1Dn14

2

19.如图1，圆C：x1y216，点A1,0，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线CP

相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为E.

（1）求轨迹