2025-2026学年安徽省宿州市皖北十三校高二下册5月期中教学质量检测数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.从甲地去乙地，可以乘船，也可以坐火车，还可以乘飞机，一天中，乘船有6个班次，坐火车有9个班次，乘飞机有2个班次，则从甲地去乙地一天中不同的走法种数为（）A.17 B.30 C.66 D.1082.已知，则等于（）A.1 B.4 C.1或3 D.3或43.多项式展开后的项数为（）A.5 B.6 C.7 D.84.已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（）A.0 B.3 C. D.5.展开式中的系数为A. B.C. D.6.已知数列满足，，则下列结论正确的是（）A.数列是公差为的等差数列B.数列是公差为2的等差数列C.数列是公比为的等比数列D.数列是公比为2的等比数列7.已知随机事件A，B，若，则（）A. B. C. D.8.已知，，则（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.在上单调递减 B.当时，取得极大值C.当时，取得极小值 D.是在上的最大值10.下列说法正确的是（）A.B.被8除的余数为1C.甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙、丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有120种排法D.现有6本不同的书，分成三份，每份2本，共有90种分法11.已知函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依此为，则以下说法正确的是（）A. B.C.成等差数列 D.成等比数列三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则的值为__________.13.给如图所示的花圃中四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花．则不同的种法总数为___________．14.已知数列的前项和满足，则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数在处取得极大值为9.（1）求的值;（2）求函数在区间上的最大值.16.已知其中，，，，.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大.（1）求值及二项式系数最大项；（2）求（用数值作答）；（3）求的值（用数值作答）.17.已知各项均为正数的等差数列满足，．（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前项和．18.一个盒子中有6个外形相同的小球，其中2个白球，4个黑球．从盒子中随机取出一个小球（不放回），然后再从盒子中随机取出一个小球．（1）在第一次取到白球的条件下，求第二次取到黑球的概率；（2）在第二次取到黑球的条件下，求第一次取到白球的概率；（3）设表示两次取球取到白球的个数，求的分布列和均值．19.已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若在上有两个零点，求实数的取值范围；（3）若函数有两个极值点，，证明：．

数学满分150分，考试时间120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.从甲地去乙地，可以乘船，也可以坐火车，还可以乘飞机，一天中，乘船有6个班次，坐火车有9个班次，乘飞机有2个班次，则从甲地去乙地一天中不同的走法种数为（）A.17 B.30 C.66 D.108答案：A解析：解答过程：由分类加法计数原理可得，从甲地到乙地无论哪种交通工具都能到达，故不同的走法有：种.2.已知，则等于（）A.1 B.4 C.1或3 D.3或4答案：C解析：思路：根据组合数的性质计算可得.解答过程：因为，所以或，解得或，经检验符合题意.故选：C3.多项式展开后的项数为（）A.5 B.6 C.7 D.8答案：D解析：解答过程：根据分步乘法计数原理，展开后的项数有：项.4.已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（）A.0 B.3 C. D.答案：C解析：思路：求导函数，令恒成立，变量分离转化为求新函数的最大值.解答过程：，令，得，令，若函数在上单调递减，则，当时，，所以函数在上单调递增，则，所以.故选：C5.展开式中的系数为A. B.C. D.答案：C解析：思路：化简已知代数式，利用二项式展开式的通项公式可以求出展开式中的系数．解答过程：因为，则展开式中含的项为；展开式中含的项为，故的系数为，故选：C．6.已知数列满足，，则下列结论正确的是（）A.数列是公差为的等差数列B.数列是公差为2的等差数列C.数列是公比为的等比数列D.数列是公比为2的等比数列答案：C解析：思路：根据递推关系式，化简变形可得即可判断数列是公比为的等比数列.解答过程：∵，∴，既不是等比数列也不是等差数列；∴，∴数列是公比为的等比数列．故选：C7.已知随机事件A，B，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据对立事件先求出，再根据乘法公式求出，从而可求.解答过程：因为，故，而，故，故，同理，故，故选：B.8.已知，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：观察值之间的关系，可作差构造函数，通过求导分析函数单调性，确定大小关系.解答过程：设（），则，在上单调递增，所以，当时，，取，得，即；设（），则，在上单调递减，所以，所以当时，，取，得，即.故.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.在上单调递减 B.当时，取得极大值C.当时，取得极小值 D.是在上的最大值答案：ABC解析：思路：根据导函数图象的正负判断函数的增减与极值、最值，依此判断各个选项即可.解答过程：对于A，由题图可知时，，单调递减，故A正确；对于B，C，由题图易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，故BC，正确；对于D，在上的最大值应是与中的较大者，故D错误.10.下列说法正确的是（）A.B.被8除的余数为1C.甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙、丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有120种排法D.现有6本不同的书，分成三份，每份2本，共有90种分法答案：AC解析：解答过程：对于选项A：由组合数性质可知，所以A正确；对于选项B：因为，所以即被8除的余数为7，所以B错误；对于选项C：先从6个位置中选3个位置给甲、乙、丙，由于三人的相对顺序固定，这3个位置的排法只有1种，剩下3个位置排其他3人，有种排法．根据组合数公式，总排法种数为，所以C正确；对于选项D：根据题意，分法共有种，所以D错误．11.已知函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依此为，则以下说法正确的是（）A. B.C.成等差数列 D.成等比数列答案：ABD解析：思路：根据导数分类讨论求最值，然后数形结合，利用指数与对数之间的转化求解即可.解答过程：对于AB，，当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，由，当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，于是有，因此选项AB正确，对于CD，两个函数图像如下图所示：

由数形结合思想可知：当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，不妨设，且，由，又，又当时，单调递增，所以，又，又，又当时，单调递减，所以，，，于是有，且，所以选项C错误，D正确，故选：ABD方法提示：关键点睛：利用数形结合思想，结合等式是解题的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则的值为__________.答案：解析：思路：求导可得，令即可求解.解答过程：由题意知，，所以，解得.故13.给如图所示的花圃中四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花．则不同的种法总数为___________．答案：630解析：思路：分区域的花同色和不同色两种情况，根据分步计数原理从到区域依次选择花的种类，然后两种情况再相加即可.解答过程：分两种情况：第一种情况，区域的花同色.区域的花有6种选择，区域相邻，所以区域的花有5种选择，区域虽然相邻，但是此时区域的花同色，所以区域的花有1种选择，区域虽然与区域相邻，但是由于区域的花同色，所以区域的花有5种选择，所以不同的种法有种；第二种情况，区域的花不同色.区域的花有6种选择，区域相邻，所以区域的花有5种选择，区域相邻，且此时区域的花不同色，所以区域的花有4种选择，区域与区域相邻，所以区域的花有4种选择，所以不同的种法有种.综上两种情况，花圃不同的种法总数为种.14.已知数列的前项和满足，则的最小值为______.答案：##解析：思路：由与的关系，得到数列是等比数列，求出的表达式，结合表达式求出最小值.解答过程：因为，当时，，得.当时，，即，整理可得，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，.当为奇数时，，，，且随着的增大而减小，而，此时；当为偶数时，，，，且随着的增大而增大，而，此时.则的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数在处取得极大值为9.（1）求的值;（2）求函数在区间上的最大值.答案：（1）（2）9．解析：思路：（1）先求出函数的导函数，极值点导函数的值为0，联立此处函数值为极大值，求解的值。（2）求出导函数，由导函数正负求函数单调区间，由单调性得出对应区间的最值。（1），依题意得，即，解得．检验，当时，∴当时，，单调递增；当时，，单调递减.满足题意，所以.（2）由（1）得，，令，得；令，得或，在上的单调递减区间是，单调递增区间为．，函数在区间上的最大值为9．16.已知其中，，，，.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大.（1）求值及二项式系数最大项；（2）求（用数值作答）；（3）求的值（用数值作答）.答案：（1）；（2）6561（3）3281解析：思路：（1）根据题意结合二项式系数最大时求出的值，再计算即可；（2）利用赋值法，令，求出即可；（3）利用赋值法，分别令和，得出两式，相加即可得.（1）因为展开式中仅有第5项的二项式系数最大，当为偶数时，仅有中间一项的二项式系数最大，即，所以，故.即，二项式系数最大项为第5项：；（2）令，得，所以.（3）令，得，令，得.两式相加可得.17.已知各项均为正数的等差数列满足，．（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）依题意可得，即可得到是以1为首项，2为公差的等差数列，再根据等差数列的通项公式计算可得；（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可．（1）解：各项均为正数的等差数列满足，，整理得，由于，所以，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．所以．（2）解：由（1）可得，所以．18.一个盒子中有6个外形相同的小球，其中2个白球，4个黑球．从盒子中随机取出一个小球（不放回），然后再从盒子中随机取出一个小球．（1）在第一次取到白球的条件下，求第二次取到黑球的概率；（2）在第二次取到黑球的条件下，求第一次取到白球的概率；（3）设表示两次取球取到白球的个数，求的分布列和均值．答案：（1）（2）（3）分布列见解析，解析：思路：（1）设相应事件，求，根据条件概率直接求解即可；（2）结合（1）的结果根据条件概率直接求解即可；（3）根据题意的取值可能有0，1，2，再根据排列组合求出对应概率，写出分布列并计算期望.（1）设第一次取到白球为事件，第二次取到黑球为事件，则PA所以.（2）PB=2×4+4×3（3）根据题意的取值可能有0，1，2，PX=0=A4则的分布列为：012且.19.已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若在上有两个零点，求实数的取值范围；（3）若函数有两个极值点，，证明：．答案：（1）时，在上单调递增，时，在上单调递减，在上单调递增（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）求出导数，分类讨论的取值情况来判断单调性；（2）分离参数，求解新函数的极值可求答案；（3）设，把目标