2025-2026学年福建福州第四中学高二下册第二学段数学试题 含答案

/数学一、单选题：（每题5分，共40分）1.已知直线：，：，若，则的值是（）A.或 B. C. D.2.已知点，，．则在上的投影向量为（）A. B. C. D.3.已知空间中三点，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.4.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，且，则（）A.6 B.5 C.4 D.35.已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含项的系数是A.-40 B.-20 C.20 D.406.工厂制造某种机器零件的尺寸，任取10000个零件时，尺寸在内的个数约为（）（附：若，则，，）A.2718 B.1359 C.430 D.2157.一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（

）A. B. C. D.8.已知，，，，则（）A. B. C.或 D.或二、多选题：（每题6分，共18分）9.为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答.设事件为“第1次抽到选择题”，事件为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.10.设函数，下列说法正确的是（）A.当时，的图象关于直线对称B.当时，在上是增函数C.若在上的最小值为，则的取值范围为D.若在上恰有2个零点，则的取值范围为11.如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（）A.三棱锥的体积是定值B.存在点P，使得与所成的角为C.直线与平面所成角的正弦值的取值范围为D.若，则P的轨迹的长度为三、填空题：（每题5分，共15分）12.过点作圆的切线，则切线方程为______.13.6位学生排成一排拍照，要求甲乙不相邻，且丙丁相邻，则不同的排法共有______种.（结果用数值表示）14.甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为_____，该次品来自乙机床的概率为_____．四、解答题：（共77分）15.在锐角中，分别为内角的对边，满足（1）求角的大小；（2）求的取值范围．16.已知数列的前项和为，，且．（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求．17.某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差；（3）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？18.已知函数，其中．（1）当时，求函数的单调区间；（2）①若恒成立，求的最小值；②证明：，其中.19.已知平面直角坐标系中动点P满足：P到定点的距离与P到直线的距离之比等于，设动点P的轨迹为曲线C．过点F作直线l与曲线C交于A、B两点，点M的坐标为．（1）求动点P的轨迹方程（即曲线C的方程）；（2）当直线l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（3）设O为坐标原点，证明：．

数学一、单选题：（每题5分，共40分）1.已知直线：，：，若，则的值是（）A.或 B. C. D.答案：D解析：思路：利用两条直线的位置关系求解.解答过程：因为直线：，：，且，所以，解得，故选：D2.已知点，，．则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据向量的坐标公式，结合投影向量的定义进行求解即可.解答过程：因为，，．所以，，，所以向量与的夹角为钝角，因此量在上的投影向量与方向相反，而，，所以在上的投影向量为，故选：C3.已知空间中三点，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据空间中点到直线的距离的向量公式求解.解答过程：因为依题意得，，则点到直线的距离为.故选：A.4.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，且，则（）A.6 B.5 C.4 D.3答案：A解析：思路：由二项分布的方差公式可求出或，又因为可得，所以可求出，再由二项分布的期望即可求出答案.解答过程：解：由二项分布的方差公式有，解得:或.而即，解得:所以，从而.故选:A5.已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含项的系数是A.-40 B.-20 C.20 D.40答案：D解析：思路：由题意先求得a＝﹣1，再把（2x+a）5按照二项式定理展开，即可得含x3项的系数．解答过程：令x＝1，可得（x+1）（2x+a）5的展开式中各项系数和为2•（2+a）5＝2，∴a＝﹣1．二项式（x+1）（2x+a）5＝（x+1）（2x﹣1）5＝（x+1）（32x5﹣80x4+80x3﹣40x2+10x﹣1），故展开式中含x3项的系数是﹣40+80＝40故选D．方法提示：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6.工厂制造某种机器零件的尺寸，任取10000个零件时，尺寸在内的个数约为（）（附：若，则，，）A.2718 B.1359 C.430 D.215答案：B解析：解答过程：由X∼N100,0.01，得=1所以任取10000个零件时，尺寸在99.8,99.9内的个数约为．7.一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（

）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用条件概率公式即可解出答案.解答过程：设事件为“从箱子中任取两球均为红色”，事件为“从箱子中任取两球至少有一球为红色”．则由题意知，,，所求概率为.故选：B．8.已知，，，，则（）A. B. C.或 D.或答案：B解析：思路：先根据角的范围及平方关系求出和，然后可算出，进而可求出解答过程：因为，，，所以，，所以，所以因为，所以故选：B方法提示：在由三角函数的值求角时，应根据角的范围选择合适的三角函数，以免产生多的解.二、多选题：（每题6分，共18分）9.为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答.设事件为“第1次抽到选择题”，事件为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.答案：AB解析：思路：A选项，根据古典概型求概率公式得到A正确；B选项，根据得到答案；C选项，在AB选项基础上，利用条件概率公式求出答案；D选项，求出，，从而利用条件概率公式得到答案.解答过程：A选项，决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答，故，A正确；B选项，从5道题中不放回地随机抽取两次，故，B正确；C选项，，C错误；D选项，因为，所以，又，故，D错误.故选：AB.10.设函数，下列说法正确的是（）A.当时，的图象关于直线对称B.当时，在上是增函数C.若在上的最小值为，则的取值范围为D.若在上恰有2个零点，则的取值范围为答案：AC解析：思路：根据正弦型函数的对称性、单调性、最值的性质、零点的性质逐一判断即可.解答过程：当时，，所以是图象的一条对称轴，即A正确；当时，若，则，则，所以不单调，即B错误；若，则，由题意，可知，解得，即C正确；若，则，由题意，可知，解得，即D错误.故选：AC11.如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（）A.三棱锥的体积是定值B.存在点P，使得与所成的角为C.直线与平面所成角的正弦值的取值范围为D.若，则P的轨迹的长度为答案：ACD解析：思路：利用等体积转换即可求得体积为定值判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解判断B；求平面的法向量，利用向量夹角公式求解判断C；由，可得，即可求解判断D.解答过程：对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，是定值，A正确；以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则对于B，，使得与所成的角满足：，因为，故，故，而，B错误；对于C，平面的法向量，所以直线与平面所成角的正弦值为：，因为，故故，而，，故即的取值范围为，C正确；对于D，，由，可得，化简可得，在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为，D正确；故选：ACD.三、填空题：（每题5分，共15分）12.过点作圆的切线，则切线方程为______.答案：或解析：思路：分斜率存在与不存在进行讨论，当斜率不存在时，符合要求，当直线斜率存在时，设出斜率，借助点到直线的距离公式与切线性质计算即可得.解答过程：由题意可知，，故P在圆外，则过点P做圆O的切线有两条，由圆心到直线的距离为，且点在直线上，故符合要求；当切线的斜率存在时，设为，设切线为，即，则圆心到直线的距离，解得，故切线方程为.故或.13.6位学生排成一排拍照，要求甲乙不相邻，且丙丁相邻，则不同的排法共有______种.（结果用数值表示）答案：144解析：思路：根据捆绑法和插空法，即可求解.解答过程：丙丁相邻，捆绑在一起，与另外2人全排列，共有种排法，再在3个元素形成的4个空中，插入甲乙，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有排法.故14414.甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为_____，该次品来自乙机床的概率为_____．答案：①.0.1##②.0.3##解析：思路：利用全概率公式和贝叶斯公式求解即可.解答过程：记为事件“零件为第台车床加工”，则，，，B为事件“任取一个零件为次品”，由全概率公式得：，由贝叶斯公式得.故0.1；0.3.四、解答题：（共77分）15.在锐角中，分别为内角的对边，满足（1）求角的大小；（2）求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用数量积的定义及正弦定理边化角变形，再利用和角的正弦公式化简求解.（2）由（1）的结论求出的范围，再利用差角的正弦公式及辅助角公式化简，并利用正弦函数性质求出范围.（1）在中，由，得，即ccosA=b由正弦定理得sinCcosA即，而，则，又，所以.（2）由（1）得，由锐角，得，解得，因此sinA由A+π6∈(π所以的范围是．16.已知数列的前项和为，，且．（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用来变形，可得数列是常数列，进而即可求得其通项；（2）结合（1），再利用错位相减即可求出．（1）因为，所以，两式相减可得，所以，所以数列是常数列，又，所以，所以，所以．（2）结合（1）得，则，两边乘以4可得：，两式相减得：，，即．17.某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差；（3）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？答案：（1）；（2）分布列见解析，数学期望为，方差为；（3）甲公司竞标成功的可能性更大.解析：思路：（1）将甲乙共答对2道题的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用相互独立事件的概率，结合古典概率求解作答.（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列，求出期望和方差作答.（3）求出乙公司答对题数的期望和方差，与甲公司的比对作答.（1）记“甲、乙两家公司共答对2道题”的事件为，它是甲乙各答对1道题的事件、甲答对2题乙没答对题的事件和，它们互斥，则有，所以甲、乙两家公司共答对2道题目的概率是.（2）设甲公司答对题数为，则的取值分别为，，则的分布列为：123期望，方差.（3）设乙公司答对题数为，则的取值分别为，，，则的分布列为：0123期望，方差，显然，所以甲公司竞标成功的可能性更大.18.已知函数，其中．（1）当时，求函数的单调区间；（2）①若恒成立，求的最小值；②证明：，其中.答案：（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）①1；②证明见解析解析：思路：（1）求出函数的导数，在定义域