2025-2026学年福建名校联盟高中毕业班适应性练习数学试题 含答案

/数学本试卷共4页，19小题，考试时间120分钟，总分150分.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，A=xx2−xA. B. C. D.2.若，则（）A. B. C. D.3.已知样本数据7，8，9，10，a的平均数为8，则该样本的中位数为（）A.7 B.8 C.9 D.104.若曲线在处的切线的倾斜角为，则（）A. B.2 C. D.5.已知函数（），则“，”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充分必要条件6.已知数列是首项为，公差为的等差数列，则数列的前项和为（）A. B. C. D.7.在正三棱柱中，D，E分别满足，，点F在棱上，若平面将该三棱柱分割成体积相等的两部分，则（）A.1 B.2 C.3 D.48.在平面直角坐标系中，已知，若圆上存在点，满足，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知抛物线（）的焦点为，设为坐标原点，记的准线与轴的交点为，动点在上，则（）A.的方程为B.若，则到轴的距离为C.若，则的面积为D.若，则直线与相切10.已知为定义在R上的偶函数，且的图象关于直线对称，当时，，则（）A.B.C.关于x的方程恰有3个不同的实数解D.不等式fxsin11.将4个红球，4个蓝球，2个白球随机摆成一排，再从左到右依次编号为1，2，…，．设红球的编号分别为，，，（）；蓝球的编号分别为，，，（）；白球的编号分别为，（），则（）A. B.C.Py1−z1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数fx=sinax+π3（）的最小正周期为，点是曲线13.已知向量在向量方向的投影向量是，且，，______.14.已知数量充足的白色卡片分别标有连续正整数1，2，3，…的序号，按如下规则对卡片进行若干轮染色：每轮被染色的卡片序号均为连续奇数或连续偶数；若第（为任意正整数）轮染色张卡片，且被染色卡片的最大序号为m，则第轮染色张卡片，且被染色卡片的最小序号为.若第1轮仅染色序号为1的卡片，并将所有被染色的卡片按序号递增的顺序摆放，则第2026张被染色卡片在第______轮染色，其序号为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角C的大小；（2）已知D为边上的一点，，且.记，的面积分别为，，若，求的面积.16.某体能测试共有m种力量测试项目和n种敏捷性测试项目，已知甲每种力量测试项目测试合格的概率均为，每种敏捷性测试项目测试合格的概率均为（）.（1）已知在某种力量测试项目的训练中，甲需累计达到两次测试合格则停止训练，求当停止训练时，甲恰好进行了四次测试的概率；（2）甲在某次模拟测试中，每次在所有测试项目中随机抽取一项进行测试，共测试两次.若，且甲至少有一次测试合格的概率为，求的值.17.如图，在四棱锥中，，，，四棱锥的体积为.（1）若，证明：平面平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角余弦值的最大值.18.已知函数fx（1）若为单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）设、为的两个极值点，证明：x1+x219.已知双曲线Cn:x2−y23=14n−1的左，右顶点分别为，（），异于（1）求的坐标；（2）证明：，，三点共线；（3）设的面积为，判断是否存在正整数p，q，使得.若存在，求出p，q的值；若不存在，请说明理由.

数学本试卷共4页，19小题，考试时间120分钟，总分150分.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，A=xx2−xA. B. C. D.答案：D解析：思路：先解一元二次不等式得到集合，再根据集合补集的定义得到，进而根据集合交集运算即可求解．解答过程：由，解得，或，则A=所以∁U又B=所以．2.若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由，得到，所以.3.已知样本数据7，8，9，10，a的平均数为8，则该样本的中位数为（）A.7 B.8 C.9 D.10答案：B解析：思路：根据样本数据的平均数得出，再用中位数的定义计算求解.解答过程：样本数据7，8，9，10，a的平均数为8，则，所以，则样本数据从小到大排列，则该样本的中位数为.4.若曲线在处的切线的倾斜角为，则（）A. B.2 C. D.答案：C解析：思路：先求复合函数的导数，再应用倾斜角得出斜率，计算求参即可.解答过程：因为曲线y=ax+y'在处的切线的倾斜角为，则tan3π4则.5.已知函数（），则“，”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充分必要条件答案：D解析：思路：根据充分必要条件的定义，结合二次函数的图象及性质即可得到答案．解答过程：由函数是开口向上的二次函数，且，若，，即方程有正实根，则Δ=m2若，则，即方程有实根，又二次函数的对称轴，即该方程必有正实根，即，，所以必要性成立，故“，”是“”的充分必要条件．6.已知数列是首项为，公差为的等差数列，则数列的前项和为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据条件，利用等差数列的通项公式求出，进而可得，利用裂项相消法，即可求解.解答过程：因为数列是首项为，公差为的等差数列，则，得到，则，所以数列的前项和为.7.在正三棱柱中，D，E分别满足，，点F在棱上，若平面将该三棱柱分割成体积相等的两部分，则（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：将平面下方的几何体拆分成棱锥或棱柱，列体积方程求解即可解答过程：设三棱柱高为，底面积为，则体积为，平面将三棱柱体积平分后每部分体积为12Sh，设FC因为D，E分别满足，，有AD=13过点，垂足为，过点作DH⊥CC1，垂足为，连接，将平面下方的几何体体积VABC−DEF拆分为三棱柱ABC−由题意VABC−DEF=1可得VABC因为GH×DI=2S，所以代入解得8.在平面直角坐标系中，已知，若圆上存在点，满足，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先利用向量坐标关系求出点的轨迹方程，再将问题转化为圆与点的轨迹方程有公共点问题，最后利用参数表示轨迹方程上的点与圆的距离关系，结合二次函数性质分析求解即可.解答过程：设点，由，，为坐标原点，则x,y=又因为，所以x+2y42即点的轨迹为椭圆，则可将问题转化为圆与椭圆有公共点，设椭圆上任意一点，则它到圆心的距离的平方为：d2=41−令t=sinθ令ft该二次函数开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递减，所以fft也即d2所以，即的取值范围为1,2213二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知抛物线（）的焦点为，设为坐标原点，记的准线与轴的交点为，动点在上，则（）A.的方程为B.若，则到轴的距离为C.若，则的面积为D.若，则直线与相切答案：ACD解析：思路：先根据焦点坐标求出抛物线参数，确定抛物线方程、准线方程及点坐标，再结合抛物线定义、三角形面积公式、直线与抛物线位置关系逐一判断选项即可.解答过程：由抛物线的焦点为，得，故，则抛物线方程为，准线，准线与轴交点M(−1,0)，对于A，准线的方程为，故A正确；对于B，根据抛物线定义，若|PF|=3，则的横坐标xP=3−1=2，即到轴距离为，故B错误；对于C，当|PF|=3时，，代入抛物线得yP2=8，|y对于D，|MF|=1−(−1)=2，故|PF|=2，由抛物线定义得以为例，直线的方程为，联立得，判别式，直线与抛物线相切；同理P(1,−2)时直线也与抛物线相切，故D正确.10.已知为定义在R上的偶函数，且的图象关于直线对称，当时，，则（）A.B.C.关于x的方程恰有3个不同的实数解D.不等式fxsin答案：BD解析：思路：由对称性即可判断A选项，结合对称性和偶函数特征可推导出函数的周期随即判断B选项，根据周期性以及函数的值域可判断只有在时才可能存在解，分段求解即可判断C选项，结合函数值域以及正弦函数性质可判断D选项.解答过程：因为为定义在R上的偶函数，所以，又因为的图象关于直线对称，所以，所以f3因为，所以f(x所以B正确；因为，所以函数是周期为4的周期函数，当时，，所以在，，所以当，，结合周期性可知函数恒成立，对于方程，由于，所以仅当时可能存在解，当时，，解得或，当时，由且4−x∈0,2，可得，所以，解得或3，当时，，因为，所以无解，综上所述，关于x的方程恰有4个不同的实数解，所以C错误；因为，所以fxsinπx≥0等价于sinπ但的点只有x=2k,k解得2k≤x11.将4个红球，4个蓝球，2个白球随机摆成一排，再从左到右依次编号为1，2，…，．设红球的编号分别为，，，（）；蓝球的编号分别为，，，（）；白球的编号分别为，（），则（）A. B.C.Py1−z1答案：BCD解析：思路：根据已知条件，利用红、蓝球数量相等，且位置对称，得出Px4>y4解答过程：已知红球最大编号，蓝球最大编号，比较8个红、蓝球的最大位置，红、蓝球数量均为4，且位置对称，故Px表示第个位置为红球，前9个位置选3个红球：个位置放4个红球总情况数为：，第位置固定红球，前9个位置选3个红球的情况为：，∴P表示第6位为红球，前5位有3个红球，2个空位，后4位剩余4个空位，红球分布情况为：，白球分布情况为：，蓝球分布情况为：，满足要求白球最小位置，蓝球最小位置，仅前5位相邻空位有：1,2,2,3,∴P随机从个位置不放回抽取4个，则的可能取值为，若位置为，则前3个红球位于前个位置内，故Px故E．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数fx=sinax+π3（）的最小正周期为，点是曲线答案：##解析：思路：先由正弦型函数的周期公式求出参数的值，再根据正弦函数对称中心的性质得到的表达式，进而求得|m|的最小值.解答过程：由于f(x)=则根据T=2πa=又因为函数的对称中心为(kπ令，解得x=k依题意，m=当时，m=−π6，当取其余整数时，|m|均大于，因此|m|的最小值为13.已知向量在向量方向的投影向量是，且，，______.答案：1解析：思路：把平方转化为数量积的运算可得.解答过程：由题意，所以，，则，所以.14.已知数量充足的白色卡片分别标有连续正整数1，2，3，…的序号，按如下规则对卡片进行若干轮染色：每轮被染色的卡片序号均为连续奇数或连续偶数；若第（为任意正整数）轮染色张卡片，且被染色卡片的最大序号为m，则第轮染色张卡片，且被染色卡片的最小序号为.若第1轮仅染色序号为1的卡片，并将所有被染色的卡片按序号递增的顺序摆放，则第2026张被染色卡片在第______轮染色，其序号为______.答案：①.11②.4041解析：思路：先找出每轮染色的卡片张数规律，进而得到前轮的总张数表达式，根据总张数2026反推出所在轮次，再根据该轮中卡片的序号规律（连续奇数或偶数，且最小序号与轮次的关系）计算出具体序号.解答过程：根据题意，第轮染色的卡片张数为，所以前轮总张数，由得，因为，，所以第2026张被染色卡片在第11轮被染色，前10轮共张，第11轮有张，第2026张是第11轮的第2026−1023=1003张，设第轮的最小序号为，该轮染色张数为，由于每轮染色连续奇数或连续偶数，公差为2，故最大序号bn=an由规则，下一轮的最小序号为上一轮最大序号加1，即an所以，即，因为，累加可得，即，所以a11因为是奇数，且该轮染色连续奇数，公差为2，所以第张的序号为2037+2×(1003−1)=2037+2004=4041，因此，第张被染色的卡片在第11轮染色，序号为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角C的大小；（2）已知D为边上的一点，，且.记，的面积分别为，，若，求的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意利用正弦定理化角为边，然后由余弦定理求解；（2）根据题意由角平分线定理得，结合三角形面积之间的关系分析求得，再由面积公式计算.（1）因为，所以由正弦定理得，即，所以，又，所以；（2）因为，所以为角的平分线，由（1）知，所以，所以，，因为，所以，所以，在和中，由余弦定理得：，，由角平分线定理得，所以，即，将代入得，解得，则，所以.16.某体能测试共有m种力量测试项目和n种敏捷性测试项目，已知甲每种力量测试项目测试合格的概率均为，每种敏捷性测试项目测试合格的概率均为（）.（1）已知在某种力量测试项目的训练中，甲需累计达到两次测试合格则停止训练，求当停止训练时，甲恰好进行了四次测试的概率；（2）甲在某次模拟测试中，每次在所有测试项目中随机抽取一项进行测试，共测试两次.若，且甲至少有一次测试合格的概率为，求的值.答案：（1）427（2）解析：（1）甲需累计达到两次测试合格则停止训练，当停止训练时，甲恰好进行了四次测试，等价于甲第4次测试合格，且前3次测试中恰好有1次合格，所以当停止训练时，甲恰好进行了四次测试的概率为.（2）因为，所以总测试项目数为，因此随机抽取一项时，抽到力量测试项目的概率为，抽到敏捷性测试项目的概率为，设单次测试合格的概率为，，“两次测试至少有一次合格”的对立事件为“两次测试都不合格”，即，代入可得，解得.17.如图，在四棱锥中，，，，四棱锥的体积为.（1）若，证明：平面平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角余弦值的最大值.答案：（1）证明见详解；（2）解析：思路：（1）取中点,连接，通过几何法分别证明，，则有面，从而得到平面平面.（2）以为坐标原点，DA，DC，DZ分别为轴正方向建立空间直角坐标系,由平面平面，可得的投影在线段上，列出点坐标，分别计算出平面与平面的法向量即可求解.（1），，∴AC=A且∠又，∴AB=2DC=62在中，BC=A在中，，即.取中点O，连接，∵PA=PC=又底面为直角梯形，∴VP−解得，即为四棱锥的高，面，面，又，面，面又面，平面平面（2）以为坐标原点，DA，DC，DZ平面平面，的投影在线段上，结合（1）可设Px,x,33，则AP=x−32设面的一个法向量为，则AP⋅m=0令，则m→由（1）知，CB=32所以cos，当时，cos<CB,m>即平面与平面夹角余弦值的最大值为.18.已知函数fx（1）若为单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）设、为的两个极值点，证明：x1+x2答案：（1）（2）由（1）知f′x=2x2即，由，则2x13−a∴ffx∴f已知三次方程有两个正根，设第三个根是，则2x故−2mx1x2令，则，，由基本不等式，x1代入得，化简得，∴f∴x令Fs求导得F′令us=−128当时，u's故在上单调递减，故us<u故F's=s⋅∴F即x1解析：思路：（1）求导，结合为单调递