2025-2026学年福建宁德市高二下册适应性练习数学试题 含答案

/数学（练习时间：150分钟）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则为（）A. B. C. D.2.已知某质点的位移与时间满足函数关系式，则当趋近于0时，趋近于（）A.3 B.4 C.5 D.63.如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（）A.B.C.D.4.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（）A. B.C. D.5.已知函数在处有极值，则（）A. B. C. D.或6.已知四点共面，则的最大值为（）A. B. C.1 D.27.已知函数是增函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.8.函数的零点的个数为（）A. B. C. D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错得0分.9.已知空间向量（）A.当时，B.当为钝角时，且C.存在实数，使得D.存在实数，使得为空间的一组基底10.设函数，则（）A.当时，有三个零点B.当时，是的极大值点C.存在，使得点为曲线的对称中心D.存在，使得过点可作曲线的切线有三条11.“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如图所示，曲线在点处的切线方程为．易知，除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有．显然，选择的切点不同，所得不等式也不同．请根据以上材料，判断下列命题中正确的是（）A.，B.，C.，D.，三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.点关于坐标平面对称的点的坐标是__________.13.曲线过点的切线方程为______________________.14.在空间直角坐标系中，曲线的方程为x=ty=lnt+1−1z=t2，（为参数，），点在曲线上，直线过坐标原点且的一个方向向量，则点四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，已知四棱柱的底面是正方形，，.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求的长.16.已知函数.（1）求在点处的切线方程；（2）设函数，求的单调区间；（3）求的极值点个数.17.某工厂生产正四棱锥形状的精密零件，为防止运输时磕碰损坏，需要给每个零件定制专用的球形保护包装盒，要求正四棱锥的所有顶点都在球面上（即正四棱锥内接于该球），已知球形包装盒的半径为3，正四棱锥的侧棱长满足.（1）用侧棱长表示该零件的体积；（2）在保证零件完全适配球形包装盒的前提下，如何设计侧棱长，使得零件的体积最大？求出此时零件的体积及对应的侧棱长.18.如图，在三棱锥中，底面，，，，为棱上的点，.（1）求证：平面；（2）设与底面所成角的正切值为.（i）求面与面所成的二面角的正弦值；（ii）棱上是否存在点，使得点到面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围；（3）设，证明.

数学（练习时间：150分钟）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据空间向量的坐标运算法则求解.解答过程：已知，，，分别计算三个坐标：坐标：坐标：坐标：因此.2.已知某质点的位移与时间满足函数关系式，则当趋近于0时，趋近于（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：B解析：解答过程：，，，所以当趋近于0时，趋近于．3.如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（）A.B.C.D.答案：B解析：解答过程：由，得，由，得，所以，对于A，假设共线，则，无解，A错误；对于B，，所以与共线，B正确；对于C，假设共线，则，无解，C错误；对于D，假设共线，则，无解，D错误；4.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据导数图像的变化特点进行分析即可.解答过程：结合图象可知，在从最大值逐渐减小到最小值，所以切线斜率从趋近于0逐渐到最小，斜率绝对值逐渐增大，因此下降越来越快，在从最小值逐渐增加到0，所以切线斜率从最小值（负值）逐渐趋近于0，斜率绝对值逐渐减小，因此下降越来越平缓，D符合这个性质.5.已知函数在处有极值，则（）A. B. C. D.或答案：C解析：思路：先利用极值点的必要条件，即函数值与导数值在处分别为和，列方程组求出参数，再验证导数为的点是否为真正的极值点，排除不符合条件的解，最后代入有效参数计算的值．解答过程：，因为函数在处有极值，所以，解得或，若，时，，判别式，所以是极值点，满足条件；若，时，，函数在处没有极值，不满足条件．综上，所以．6.已知四点共面，则的最大值为（）A. B. C.1 D.2答案：A解析：思路：利用四点共面可得，由此解得，再利用基本不等式即可求解．解答过程：由题可知，存在实数，使得，又，，，所以，解得，，所以，当且仅当时取等号．7.已知函数是增函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先由函数为增函数，得到其导函数在定义域内恒非负，分离参数转化为在上恒成立，再通过求导判断的单调性，求出其值域，进而确定的取值范围．解答过程：，的定义域为，根据题意得，整理得，令，,因为，所以，，因此，所以在上单调递增，所以在上的值域为，所以．8.函数的零点的个数为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先确定函数定义域，再求导并分区间分析导数符号，通过放缩证明导数在整个定义域恒负，得到函数单调递减，最后结合端点特殊值判断零点个数．解答过程：方法一：函数的定义域为，，设，，当时，，，所以，所以在上单调递增，则当时，，当时，因，则，综上，时，，所以函数在上单调递减，因为，，所以函数在上只有一个零点．方法二：函数的零点的个数，即函数与函数图象交点的个数，则因，则，所以在单调递减，且经过原点，当,；当,,，作出两函数的图象：由图可知两函数交点个数是一个．二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错得0分.9.已知空间向量（）A.当时，B.当为钝角时，且C.存在实数，使得D.存在实数，使得为空间的一组基底答案：ACD解析：思路：选项A，根据向量平行建立关于的方程求解判断；选项B，结合向量夹角为钝角的充要条件，计算的范围，再排除反向共线的情况；选项C，根据空间向量垂直的充要条件，建立关于的方程，判断方程是否有解；选项D，根据共面向量基本定理建立关于的方程，判断是否存在使方程成立.解答过程：选项A，若，则存在实数使得，对应坐标满足：，解得，，代入验证所有等式成立，因此正确，A正确；选项B，若为钝角，等价于且不反向平行，，得；若，显然，则对应坐标成比例：，由得，代入验证，不存在使得，即时夹角仍为钝角，不需要排除，B错误；选项C，若，，解得或，存在实数满足条件，C正确；选项D，能作为空间的一组基，等价于三个向量不共面，根据共面向量基本定理，若三个向量共面，则存在实数使得，代入坐标得方程组：，整理方程(2)(3)得：消元解得.将代入方程(1)：，因此方程(1)化简为，即：当且仅当时，三个向量共面；当时，三个向量不共面，可以作为空间的一组基底，D正确.10.设函数，则（）A.当时，有三个零点B.当时，是的极大值点C.存在，使得点为曲线的对称中心D.存在，使得过点可作曲线的切线有三条答案：BC解析：思路：先求导分析三次函数的单调性与极值，判断A，B选项，再根据中心对称定义验证C选项，最后设切点并代入点的坐标，转化为方程解的个数问题判断D选项，完成所有选项的正误判断．解答过程：对于A，，，令，得或，若，则，令，得或，令，得，当时，取极大值，当时，取极小值，因为在时趋向，在时趋向，且两个极值点的函数值都小于，所以只有一个零点，A错误；对于B，根据已有分析可知若，令，得或，令，得，所以是极大值点，B正确；对于C，若为曲线的对称中心，则，，，，所以，化简得，要使对任意都成立，需使．当时，，此时，满足中心对称条件，故为曲线的对称中心，C正确；对于D，设切点为，切线斜率为，所以切线方程为，将点代入切线方程，所以，化简得，令，则，在上单调递增，方程只有一个解，即切线只有一条，D错误．11.“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如图所示，曲线在点处的切线方程为．易知，除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有．显然，选择的切点不同，所得不等式也不同．请根据以上材料，判断下列命题中正确的是（）A.，B.，C.，D.，答案：ABD解析：思路：先利用题目给出的切线放缩核心结论，推导验证A选项；再用该结论结合函数单调性分析B选项，通过特殊值排除C选项，最后对D选项构造函数求最小值并利用导数研究其单调性与最值完成判断．解答过程：对于A，令，代入得，整理得，A正确；对于B，由得，令，则时，，所以在上单调递增，所以，B正确；对于C，存在，使得不成立，C错误；对于D，令，由，得，因为，所以，因此只需证：，只需证明不等式：，由A得，即，所以，即证，令，则，D正确．三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.点关于坐标平面对称的点的坐标是__________.答案：解析：解答过程：在空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标规律是：坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数按照这个规律，对称点的坐标为．13.曲线过点的切线方程为______________________.答案：解析：思路：求出导函数，设切点为，表示出切线方程，由切线过点，代入求出，再代入即可.解答过程：因为，所以，设切点为，则，所以切线方程为，又切线过点，所以，解得，所以切线方程为即.

故14.在空间直角坐标系中，曲线的方程为，（为参数，），点在曲线上，直线过坐标原点且的一个方向向量，则点到直线的最短距离为__________.答案：解析：思路：先将曲线参数方程上的点表示为参数形式，用空间向量投影公式写出点到直线的距离表达式，转化为单变量函数求最值问题，再通过求导分析单调性，找到函数最小值，进而得到最短距离．解答过程：Pt,ln在上的投影长m=OP⋅点到直线的距离d=|OP记gt由g′令h(t)=t当，，当，，，所以在上递减，在上单调递增，在上取得最小值，所以，所以t∈−1,0,所以g(所以时，.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，已知四棱柱的底面是正方形，，.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求的长.答案：（1）（2）解析：思路：以为基底，用它们表示与，通过计算向量点积判断垂直，得出异面直线所成角；再利用向量模长公式计算，得到的长度．（1），，因为，所以，所以异面直线与所成角为；（2）因为，所以的长为.16.已知函数.（1）求在点处的切线方程；（2）设函数，求的单调区间；（3）求的极值点个数.答案：（1）（2）单调递增区间为，单调递减区间为（3）1个解析：思路：（1）先求函数在该点的函数值，再求导得到切线斜率，用点斜式写出切线方程．（2）先写出的表达式，再对求导，根据导数符号判断单调区间．（3）通过分析的单调性、最值和极限趋势，判断其零点个数，进而得到的极值点个数．（1），，因为，，所以在点处的切线方程，即；（2），定义域为，，令得，单调递增；单调递减，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（3）由（2）得在上单调递增，，又，则；，所以在上有一个极值点，又由（2）得在上单调递减，，，所以当时，，即该区间上没有零点，所以在上无极值点，综上所述，的极值点个数是1个．17.某工厂生产正四棱锥形状的精密零件，为防止运输时磕碰损坏，需要给每个零件定制专用的球形保护包装盒，要求正四棱锥的所有顶点都在球面上（即正四棱锥内接于该球），已知球形包装盒的半径为3，正四棱锥的侧棱长满足.（1）用侧棱长表示该零件的体积；（2）在保证零件完全适配球形包装盒的前提下，如何设计侧棱长，使得零件的体积最大？求出此时零件的体积及对应的侧棱长.答案：（1）（2）当侧棱长为时，零件的体积最大，此时体积为解析：思路：（1）先设正四棱锥的高与底面边长，结合外接球半径与侧棱长的几何关系联立方程，解出高与底面边长关于侧棱长的表达式，再代入棱锥体积公式化简，得到体积关于侧棱长的函数．（2）对体积函数换元，构造辅助函数，通过求导分析单调性，找到函数最大值点，反求对应的侧棱长，进而得到最大体积．（1）设该正四棱锥的高为，底面正方形的边长为，由题意可知，联立以上方程组可得，又该正四棱锥体积；（2）令，则，构造，，令得或（舍去），24+0-单调递增最大单调递减所以，，此时由得，所以当侧棱长为时，零件的体积最大，此时体积为．18.如图，在三棱锥中，底面，，，，为棱上的点，.（1）求证：平面；（2）设与底面所成角的正切值为.（i）求面与面所成的二面角的正弦值；（ii）棱上是否存在点，使得点到面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.答案：（1）证明见解析（2）（i）；（ii）存在，为的中点解析：思路：（1）先由底面得，再取中点证，算出并由勾股定理得，最后依据线面垂直判定定理证平面；（2）（i）由线面角定义得，求出后建空间直角坐标系，求平面法向量与平面法向量，用向量夹角公式算余弦值，再求正弦值；（ii）设，利用点到平面距离公式列方程求，确定为中点．（1）因为底面，面，所以，又为棱上的点，，取的中点，所以，又，所以，又因为，，所以，所以，所以，所以，所以，又，平面，所以平面；（2）（i）因为底面，所以与底面所成角为，所以在中，，又，所以，如图，以为轴，轴，轴，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向