2025-2026学年安徽滁州市定远育才学校高二下册期中考试数学试题 含答案

/数学一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.已知空间向量满足，则向量的夹角为（

）A. B. C. D.2.在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.3.已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（）A. B.C. D.4.如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（）A.4 B.5 C.6 D.5.已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（）A.5 B. C. D.206.已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点，并且与抛物线交于、两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若，则（）A. B. C. D.7.如图，已知、双曲线的左、右焦点，A、B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.8.两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则（）A. B. C. D.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.在平面直角坐标系中，圆，直线与圆相交于不同的两点，且弦的中点为，则下列选项正确的有（）A.弦长的最大值为B.实数的取值范围为C.若，则D.存在定点，使得为定值10.设等比数列的公比为，则下列结论不正确的是（）A.数列是公比为的等比数列B.数列是公比为的等比数列C.数列是公比为的等比数列D.数列是公比为的等比数列11.已知棱长为的正方体，点满足，，点是线段的中点，则下列说法正确的是（）A.当时，B.点是底面上的动点，且，则最大值为C.的中点到平面的距离为D.与平面所成角的正弦值的取值范围为三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.等比数列{}的各项均为实数，其前项为，已知=，=，则=_____．13.在长方体中，已知，，为的中点，则异面直线与所成角的大小为________．14.已知椭圆的右焦点为F，P，Q在椭圆上且关于原点对称，则的取值范围是__________．四、解答题(本大题共5小题，共77分)15.设等比数列{an}满足，．（1）求{an}的通项公式；（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．16.已知圆C经过点和，且圆心C在直线：上．（1）求圆C的标准方程；（2）已知过点的直线被圆C所截得的弦长为8，求直线的方程．（3）圆C关于直线的对称圆是圆Q，设、是圆Q上的两个动点，点M关于原点的对称点为，点M关于x轴的对称点为，如果直线、与y轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，棱，且底面，点，．（1）证明：平面；（2）若点，且，证明：平面；（3）求平面与平面的夹角的大小．18.已知抛物线的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与交于A，B两点，（点O为坐标原点）的面积为2.（1）求抛物线C的方程；（2）若过点的两直线的倾斜角互补，直线与抛物线C交于M，N两点，直线与抛物线交于P，Q两点，与的面积相等，求实数的取值范围.19.已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；（3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值．

数学一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.已知空间向量满足，则向量的夹角为（

）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.解答过程：由向量，因为，可得，解得，所以.又因为，所以.故选：D．2.在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用正方体建系，分别求出相关点和向量的坐标，计算出平面APQ的法向量坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得.解答过程：如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，平面的中心，平面的中心，于是，，设平面的法向量为，则，取，得，则点B到平面APQ的距离为.故选：B3.已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：先利用对称点的性质求出点坐标，再结合图象求解即可.解答过程：设，因为点关于直线的对称点为，所以，的中点一定在上，且设中点为，由中点坐标公式得，将其代入中，得到，而可化为，则其斜率为，可得到，解得，，故得，我们把的斜率记为，的斜率记为，由斜率公式得，，如图，我们得到直线的斜率的取值范围为，故B正确.故选：B4.如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（）A.4 B.5 C.6 D.答案：B解析：思路：根据，计算可求数量积.解答过程：.故选：B.5.已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（）A.5 B. C. D.20答案：D解析：思路：由题意，直线l过圆心，有，则，利用配方法求最小值.解答过程：圆的圆心坐标为，圆C上存在两点关于直线l对称，则直线l过圆心，即，有，，当时，有最小值20.故选：D6.已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点，并且与抛物线交于、两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设准线与轴的交点为，过作准线的垂线，垂足为，，根据抛物线的定义以及三角形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得答案.解答过程：当在第一象限时，设准线与轴的交点为，过作准线的垂线，垂足为，因为，且为的中点，所以为三角形的中位线，即，所以，又根据抛物线的定义，所以，所以在直角三角形中，，所以，此时，根据对称性，当在第四象限时，，故选：D.7.如图，已知、双曲线的左、右焦点，A、B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：连接，得矩形，在直角中用表示出，，然后由双曲线的定义列式后求得离心率．解答过程：连接，由及双曲线的对称性知是矩形，由，，，则，，∴，∴离心率为，故选：A．方法提示：本题考查求双曲线的离心率，列出关于关系式是䚟题关键．本题利用双曲线的对称性构造矩形，然后结合双曲线定义得出关系式，求得离心率．8.两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用等差中项及等差数列的前项公式变形求值即可.解答过程：由等差数列的性质可得，，故选：C．二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.在平面直角坐标系中，圆，直线与圆相交于不同的两点，且弦的中点为，则下列选项正确的有（）A.弦长的最大值为B.实数的取值范围为C.若，则D.存在定点，使得为定值答案：ABD解析：思路：利用直径为最长弦判定A；利用圆心到直线的距离小于半径，解不等式求得实数a的取值范围，判定B；根据已知判定P在直线l上，且在圆外，再取特值，当直线经过圆心的特殊情况下进行计算，可以否定C；根据垂径定理得到点Q的轨迹为圆的一部分，取D为圆心既满足选项D中的条件，从而判定D正确.解答过程：由题意知圆的圆心为，半径为；当时，过圆心，则弦长最大为，故A正确；圆心到的距离，解得，故B正确；因为，所以点在圆外.因为,所有点在直线上.所以向量同向，取当时，过圆心，所以，不一定是1，故C错；因为，则的轨迹为以中点为圆心，为半径的圆（在已知圆内的一部分），则存在，使得，故D正确.故选：ABD.10.设等比数列的公比为，则下列结论不正确的是（）A.数列是公比为的等比数列B.数列是公比为的等比数列C.数列是公比为的等比数列D.数列是公比为的等比数列答案：ABC解析：解答过程：由题意可得，对于数列，可知，所以选项A错误；对于数列，当时，，此时不符合题意，所以B错误；对于数列，可知当时，an−a对于数列，可知，所以D正确.11.已知棱长为的正方体，点满足，，点是线段的中点，则下列说法正确的是（）A.当时，B.点是底面上的动点，且，则最大值为C.的中点到平面的距离为D.与平面所成角的正弦值的取值范围为答案：BD解析：思路：根据向量线性关系计算判定A，以点为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，设的坐标，根据垂直关系列方程求出轨迹方程，计算判定B，证明为平面的法向量，根据点到平面的距离公式，判断C，应用线面角定义证明为直线与平面所成角，计算得出正弦值范围判定D.解答过程：对于A：当时，，，，A错误；对于B：以点为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，因为点是底面上的动点，故可设，，所以，，因为，所以，故，所以点的轨迹为线段，的最大值为，B正确；对于C：因为，所以，，所以，，所以向量为平面的一个法向量，取线段的中点，则，，所以点到平面的距离，所以的中点到平面的距离为，C错误；对于D：因为平面，所以为直线与平面所成角，所以与平面所成角的正弦值为，又时，取最大值，此时与平面所成角的正弦值取最小值，当时，取最小值，此时与平面所成角的正弦值取最大值，所以与平面所成角的正弦值的取值范围为，D正确；故选：BD.三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.等比数列{}的各项均为实数，其前项为，已知=，=，则=_____．答案：32解析：解答过程：由题意可得，所以两式相除得代入得，填32．13.在长方体中，已知，，为的中点，则异面直线与所成角的大小为________．答案：解析：思路：若为的中点，连接，易得异面直线与所成角，即为直线与所成角，根据已知及余弦定理求角的大小.解答过程：若为的中点，连接，又为的中点，根据长方体的结构特征易知为平行四边形，则，所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，由题设，在中，且，则，故.故14.已知椭圆的右焦点为F，P，Q在椭圆上且关于原点对称，则的取值范围是__________．答案：解析：思路：由椭圆性质，有，，，则，利用构造函数的方法求取值范围.解答过程：由椭圆方程可知，，左焦点为，设，，由对称性可知，由，得，则有，，令，设，由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，，，，则，所以.故答案为.四、解答题(本大题共5小题，共77分)15.设等比数列{an}满足，．（1）求{an}的通项公式；（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出的通项公式，利用等差数列求和公式求得，根据已知列出关于的等量关系式，求得结果.解答过程：（1）设等比数列的公比为，根据题意，有，解得，所以；（2）令，所以，根据，可得，整理得，因为，所以，方法提示：本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.16.已知圆C经过点和，且圆心C在直线：上．（1）求圆C的标准方程；（2）已知过点的直线被圆C所截得的弦长为8，求直线的方程．（3）圆C关于直线的对称圆是圆Q，设、是圆Q上的两个动点，点M关于原点的对称点为，点M关于x轴的对称点为，如果直线、与y轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.答案：（1）.（2）或.（3）是，25.解析：思路：（1）利用圆的标准方程，结合题目条件，得圆心C的坐标和半径，从而得结论；（2）利用垂径定理得圆心到直线的距离为3，再利用直线与圆的位置关系，结合对斜率是否存在的讨论和点到直线的距离公式，计算得结论；（3）利用关于直线对称的圆的方程得圆Q的方程，再利用题目条件得、，且得到，，再利用直线的点斜式方程得直线和的方程，令得m与n，最后利用圆Q的方程，计算得结论．（1）解：因为圆心C在直线：上，所以设．又因为圆C经过点和，所以，且半径，解得，，因此圆C的标准方程为．（2）解：因为直线被圆C所截得的弦长为8，所以由垂径定理得圆心到直线的距离为．当直线的斜率不存在时，直线：满足要求；当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为，即，由圆心到直线的距离，解得，因此直线的方程为．综上所述，直线的方程为或．（3）解：因为关于直线的对称点为，而圆C关于直线的对称圆是圆Q，所以圆Q的方程为．因为点关于原点和x轴的对称点分别为、，所以、．又因为，当时，点的坐标为，则直线与x轴垂直，不满足题意，所以．当时，点的坐标为，则直线与x轴垂直，不满足题意，所以，因此直线的方程为，直线的方程为．在方程中，令得，即．在方程中，令得，即．又因为、是圆Q上的两个动点，所以，，因此，因此为定值．17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，棱，且底面，点，．（1）证明：平面；（2）若点，且，证明：平面；（3）求平面与平面的夹角的大小．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）由题意可证，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量法可证平面；（2）利用向量法可证，进而结合已知可证结论；（3）求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法可求平面与平面的夹角.（1）在四棱锥中，，底面，，，由底面是正方形，得，以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为得，，而平面，平面；（2）由（1）知，，由，得，又，则，且，，平面，平面；（3）由（1）知，，且，，设平面的法向量为，则，取，则，所以平面的一个法向量为，，，而，则，，即，，则平面的一个法向量为，，设平面与平面的夹角为，则，，，平面与平面的夹角为．18.已知抛物线的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与交于A，B两点，（点O为坐标原点）的面积为2.（1）求抛物线C的方程；（2）若过点的两直线的倾斜角互补，直线与抛物线C交于M，N两点，直线与抛物线交于P，Q两点，与的面积相等，求实数的取值范围.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据题意可得的坐标分别为，则，解得的值，即可求得抛物线的方程；（2）设直线，点，联立椭圆的方程，可得，结合韦达定理可得，由弦长公式可得，由点到直线的距离公式可得焦点F到直线的距离，得，同理可得|，由，得到，解出的取值范围.解答过程：（1）由题意，抛物线的焦点，所以A，B的坐标分别为，所以，解得，所以抛物线的方程为.（Ⅱ）由题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线，设点，联立方程组，整理得，所以，且，所以，焦点F到直线的距离＝2，所以，设直线的方程为，联立方程组，整理得，可得，将用代换，可得，由，可得2，化简可得，两边平方得，所以，解得，又由且，可得或，可知所以，即，所以，所以实数的取值范围是.方法提示：直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问