2025-2026学年福建莆田第二十四中学高一下册第一次月考数学试题 含答案

/数学一、单选题1.圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（）A. B. C. D.2.i是虚数单位，复数等于A. B. C. D.3.已知向量，，若与垂直，则实数（）A. B. C. D.4.记的内角的对边分别为，已知．则角（）A. B. C. D.5.如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（）A. B. C. D.6.中国古代四大名楼之首黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题《黄鹤楼》一诗而名扬四海.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为26，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度约为（）A.64 B.74 C.52 D.917.如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（）A. B. C.8 D.108.平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题9.已知复数，，则（）A.是纯虚数 B.在复平面内对应的点位于第二象限C. D.10.如图所示，圆锥的轴截面是面积为的正三角形，用平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截面圆与，分别交于点，，且，则（）A.圆锥的表面积为B.圆台的高为C.圆锥的体积为D.从点出发沿着该圆锥侧面到达中点的最短路程为511.对于有如下命题，其中正确的是（）A.若，则为钝角三角形B.若，且有两解，则的取值范围是C.在锐角中，不等式恒成立D.在中，若，则必是等边三角形三、填空题12.设是虚数单位，则的值为________.13.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上､下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为__________.14.已知向量满足，，向量与的夹角为，则___．四、解答题-问答题15.已知复数，（），（1）若z为纯虚数，求m的值；（2）若复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围；（3）若复数z对应的点位于直线上，求复数z.16.已知向量（1）求;（2）若向量，试用表示；（3）若求实数k的值.17.如图，在直三棱柱中，，分别为的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）若，，求a；（3）若，求△ABC面积的最大值.19.在中，角的对边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，求周长的最小值；（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.

数学一、单选题1.圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据给定条件，利用圆柱的体积公式计算即得.解答过程：圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积.故选：D2.i是虚数单位，复数等于A. B. C. D.答案：B解析：思路：直接利用复数的除法运算进行化简计算．解答过程：．故选B．方法提示：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．3.已知向量，，若与垂直，则实数（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由，则求解．解答过程：解：因为与垂直，所以，则，得，故选：A4.记的内角的对边分别为，已知．则角（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：直接利用余弦定理计算可得.解答过程：依题意由余弦定理得，又，所以.故选：D5.如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据平面向量的线性运算求解即可.解答过程.故选：D.6.中国古代四大名楼之首黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题《黄鹤楼》一诗而名扬四海.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为26，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度约为（）A.64 B.74 C.52 D.91答案：C解析：思路：求出，，，在中，由正弦定理求出，从而得到的长度.解答过程：在中，，，，在中，，由，，在中，m.故选：C.7.如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（）A. B. C.8 D.10答案：D解析：思路：由斜二测画法可知原四边形且，，利用勾股定理可求得，由此可求得平行四边形的周长.解答过程：由斜二测画法可知原四边形中且，所以原四边形为平行四边形，而，则原四边形中，故，综上，四边形的周长为.故选：D.8.平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：建立平面直角坐标系，设，把的取值范围转化为求二次函数的值域问题，即可求得本题答案.解答过程：作，垂足为，以点为原点，所在直线为轴，轴建立如下图的平面直角坐标系.因为，而,所以，在直角中，因为，，所以，，则，设，所以，所以，因为二次函数开口向上，对称轴为，且，所以当时，取最小值，当时，取最大值，所以的取值范围是.故选：C二、多选题9.已知复数，，则（）A.是纯虚数 B.在复平面内对应的点位于第二象限C. D.答案：AC解析：思路：根据复数的概念可判定A，利用复数的除法运算及几何意义可判定B，根据共轭复数的定义可判定C，利用复数的模长公式可判定D.解答过程：因为是纯虚数，所以A正确；因为，所以在复平面内对应的点位于第三象限，故B不正确；因为的共轭复数为，所以C正确；因为，所以D不正确．故选：AC10.如图所示，圆锥的轴截面是面积为的正三角形，用平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截面圆与，分别交于点，，且，则（）A.圆锥的表面积为B.圆台的高为C.圆锥的体积为D.从点出发沿着该圆锥侧面到达中点的最短路程为5答案：ABD解析：思路：由轴截面面积求出底面半径，再由圆锥表面积公式得解判断A，根据平行线分线段成比例可得判断B，由圆锥的体积公式求解判断C，利用侧面展开图转化为线段求解判断D.解答过程：对于A，设的边长为，由已知得，解得，所以圆锥的表面积为，故A正确；对于B，因为，所以，又，所以，故B正确；对于C，圆锥的体积为，故C错误；对于D，由已知得圆锥的侧面展开图的圆心角，设的中点为，连接，如图，可得，，，则，故D正确.故选：ABD11.对于有如下命题，其中正确的是（）A.若，则为钝角三角形B.若，且有两解，则的取值范围是C.在锐角中，不等式恒成立D.在中，若，则必是等边三角形答案：AD解析：思路：由正弦定理将角化边，再由余弦定理可得，判断出角为钝角，判断A；由三角形有两解的充要条件列表达式，可得的范围，判断B；由锐角三角形的性质判断出与的关系，判断C；由余弦定理可得，判断出的形状，判断D．解答过程：A中，，即，由正弦定理可得，由余弦定理可得，因为，所以，即为钝角，所以该三角形为钝角三角形，故A正确；B中，若，且有两解，则，即，即的范围为，所以B错误；C中，在锐角中，只有时，不等式才恒成立，所以C不正确；D中，若，由余弦定理可得，即，即，所以，所以必是等边三角形，故D正确．故选：AD．三、填空题12.设是虚数单位，则的值为________.答案：解析：解答过程：由题得1−i13.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上､下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为__________.答案：193解析：思路：运用台体体积公式求解即可解答过程：由题意可知，该四棱台的上､下底面边长分别为，故该香料收纳罐的容积为．故193.14.已知向量满足，，向量与的夹角为，则___．答案：解析：思路：由题，先求得的值，再求得，最后开方可得答案.解答过程：，故答案为方法提示：本题考查了向量的模长的求法，熟悉向量数量积的运算以及性质的运用是解题的关键，属于基础题.四、解答题-问答题15.已知复数，（），（1）若z为纯虚数，求m的值；（2）若复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围；（3）若复数z对应的点位于直线上，求复数z.答案：（1）（2）（3）或解析：思路：（1）按照复数的相关概念列方程组求解；（2）利用复数的几何意义列不等式组求解；（3）将复数z对应的点的坐标代入直线方程求解.解答过程：（1）若z为纯虚数，则，解得；（2）若复数z对应的点位于第二象限，则，解得；（3）若复数z对应的点位于直线上，则，解得或，则或.16.已知向量（1）求;（2）若向量，试用表示；（3）若求实数k的值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）先写出的坐标，再计算模长即可；（2）按照向量的坐标运算解方程即可；（3）先求出向量的坐标，再结合的坐标按照向量共线解方程即可.（1）因为，，所以，所以.（2）由题可知与不共线，故设()，即，所以，解得，．因此.（3）由题意得．因为，所以，解得.17.如图，在直三棱柱中，，分别为的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）取的中点，连接，判断四边形为平行四边形，进而可求证；（2）由点到平面的距离等于点到平面的距离，得到，进而可求解.（1）取的中点，连接，∵为的中点，∴且，∵为的中点，∴且，∴且，∴四边形为平行四边形，∴.又∵平面平面，∴平面.（2）∵，∴，∴.在直三棱柱，易知平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，∴，又∵平面，∴.18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）若，，求a；（3）若，求△ABC面积的最大值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理化简，再由求解即可.（2）由余弦定理求解即可.（3）由余弦定理以及基本不等式求解即可.（1）由及正弦定理得，．因为，所以，则，即．因为，所以．（2）根据余弦定理得，即，解得或（舍去），故．（3）由余弦定理得，∴，解得，当且仅当时取等号，的面积，所以面积最大值为.19.在中，角的对边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，求周长的最小值；（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值