2025-2026学年福建厦门第一中学高一下册期中考试数学试题 含答案

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若球的表面积扩大到原来的9倍，那么该球的体积扩大到原来的（）倍A.9 B.27 C.81 D.7292.如图所示，已知正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为（）A. B.C. D.3.已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.复数的值是（）A. B.1 C. D.5.已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（）A.1 B.2 C. D.6.如图，和分别为圆台上下底面中心，且，在轴截面中，为正三角形.若，则圆台的表面积为（

）A. B. C. D.7.在中，，是中点，中线，则面积的最大值是（

）A.3 B.4 C.6 D.88.如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，正四棱台中，下列说法正确的是（）A.和异面 B.和共面C.平面平面 D.平面与平交10.一货轮在A处，测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时24的速度继续沿正北方向匀速航行，40分钟后到达处，此时测得货轮与灯塔S相距，则灯塔S可能在处的（）A.北偏东方向 B.南偏东方向C.北偏东方向 D.南偏东方向11.满足下列条件的四面体存在的是（）A.1条棱长为，其余5条棱长均为1 B.1条棱长为1，其余5条棱长均为C.2条棱长为，其余4条棱长均为1 D.2条棱长为1，其余4条棱长均为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知i是虚数单位，2＋i是关于x的方程（其中a，b）的一个根，则______．13.某校学生兴趣小组想要测量校内一座雕像的高度，他们选取与雕像底部在同一平面内的三个在一条直线上的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶点的仰角分别为，，，米，则雕像高为________米.14.蜜蜂将窝造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择，旨在最大化资源的利用，同时确保蜂巢的结构稳定性和功能性，小明作出它的部分平面图（三个全等的正六边形），若，则______________；若，则______________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在复平面内，复数对应的点为.（1）若为纯虚数，求的值；（2）设为坐标原点，为虚轴负半轴上任意一点，若向量与的夹角为锐角，求的取值范围.16.如图，在正四棱柱中，，，H，G，E分别为AD，AB，BC的中点.（1）求证：平面；（2）求点B到平面的距离.17.现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），，分别是上、下底面的中心，且满足.（1）若，求该几何体的体积.（2）若正四棱锥的侧面是正三角形①求正四棱锥的侧面积.②若，分别是线段，上的动点，求的最小值.18.在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质四棱锥模型，为正三角形，，，为线段的中点．（1）求证：平面；（2）过点的平面交于点，沿平面将木质四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，请你完成以下两件事情：①在木料表面应该怎样画线？（在答题卡的图上画线要保留辅助线，并写出作图步骤）；②在木质四棱锥模型中确定点的位置，求的值．19.在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记的内角所对的边分别为，平面内一点到三边的距离满足，称点为的“莱莫恩点”.（1）若在中，，求常数的值；（2）求证：；（3）若，试判断的形状，并说明理由.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若球的表面积扩大到原来的9倍，那么该球的体积扩大到原来的（）倍A.9 B.27 C.81 D.729答案：B解析：思路：由球的表面积和体积公式可知，球的表面积之比为半径比的平方，体积比为半径比的立方.解答过程：设扩大后球半径分别为，而球原来的半径为，由表面积之比为，得，则体积之比为.故选：B.2.如图所示，已知正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据斜二测画法还原图形，结合图形求解.解答过程：根据斜二测画法还原得下图：因为四边形是边长为的正方形，则，所以，，又因为，，则，同理可得，，因此，原图形的周长为.故选：B.3.已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：，，所以当时，成立，即充分性成立；当时，不一定成立，可能是异面直线，故必要性不成立；所以是的充分不必要条件，故选：A4.复数的值是（）A. B.1 C. D.答案：A解析：思路：由复数的乘方运算可得答案.解答过程：=.故选：A．5.已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（）A.1 B.2 C. D.答案：C解析：思路：根据题意，由投影向量的定义可得，再由向量的模长公式代入计算，即可得到结果.解答过程：因为向量在向量上的投影向量为，即，所以，又，则，又，则，所以.

故选：C6.如图，和分别为圆台上下底面中心，且，在轴截面中，为正三角形.若，则圆台的表面积为（

）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为为正三角形，，所以，又因为，所以，即圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，圆台的高为，可得圆台的母线长为，所以圆台的表面积为.7.在中，，是中点，中线，则面积的最大值是（

）A.3 B.4 C.6 D.8答案：C解析：思路：解法1，设，利用余弦定理可得，令，可得，利用三角变换和三角函数性质求得，得解；解法2，作，则是的重心，设，可得，，根据运算，结合三角函数性质得解；解法3，作，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，设，，可得，由三角形面积公式结合基本不等式求解.解答过程：解法1：令，在内由余弦定理，可知，化简得：，故，所以的面积，令，所以，又，所以，所以，所以，当且仅当时，取等号.解法2：如图，作，垂足为，交于，则是的重心，，设，所以，，故的面积等于，所以的面积，当且仅当时取等号.解法3：如图，作，垂足为，以为原点，为轴建立平面直角坐标系.设，，则，，所以的面积，当且仅当时取等号.8.如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用转化法求得数量积，即可得最值.解答过程：如图所示，易知，，，过点作于点，则四边形为矩形，则，又，所以，即的最大值为，故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，正四棱台中，下列说法正确的是（）A.和异面 B.和共面C.平面平面 D.平面与平交答案：ABD解析：思路：对于A，由异面直线的性质可判断；对于B，由基本事实1的推论可判断；对于CD，由基本事实3判断.解答过程：对于A，在四棱台中，，所以与确定平面，因为与相交，且与平交，由所以和异面，故A正确；对于B，在正四棱台中，，所以与确定平面，所以和共面，故B正确；对于C，因为面，而面，面，由基本事实3可知，平面与平交，故C错误；对于D，因为在正四棱台中，，所以与可以确定一个平面，又因为，所以与交于一点设为，所以，而平面，所以平面，又，而平面，所以平面，由基本事实3可知，平面与平交，故D正确.故选：ABD10.一货轮在A处，测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时24的速度继续沿正北方向匀速航行，40分钟后到达处，此时测得货轮与灯塔S相距，则灯塔S可能在处的（）A.北偏东方向 B.南偏东方向C.北偏东方向 D.南偏东方向答案：BC解析：思路：根据题意利用正弦定理运算求解.解答过程：如图所示，由题意得，，，则，解得，且，所以或，如图所示：则有：当货轮在处时，，所以；当货轮在处时，，所以；综上所述：灯塔S在处的北偏东或南偏东方向.故选：BC.11.满足下列条件的四面体存在的是（）A.1条棱长为，其余5条棱长均为1 B.1条棱长为1，其余5条棱长均为C.2条棱长为，其余4条棱长均为1 D.2条棱长为1，其余4条棱长均为答案：BCD解析：思路：对于选项A和B，作图，设棱，取其对棱的中点，在中利用三边关系列式子，求出的范围，从而判断四面体是否存在.对于选项C和D，分两种情况讨论，①当长为的两条棱为相对棱时，取的中点，在中利用三边关系列式子，求出的范围；②当长为的两条棱有公共顶点时，取的中点，在中利用三边关系列式子，求出的范围；从而判断四面体是否存在.解答过程：选项A：设四面体有1条棱长为，5条棱长为1，如图1，四面体满足，，取的中点，连接，，则，由三角形的三边关系知，，所以，即，故A错误；选项B：与选项A同理可得，当四面体有1条棱长为，5条棱长为时，因为，所以B正确；选项C：设四面体有2条棱长为，4条棱长为1，分两种情况：①当长为的两条棱为相对棱时，如图2，不妨设为，，取的中点，连接，，则，由三角形的三边关系知，，所以，解得，不符合题意；②当长为的两条棱有公共顶点时，如图3，不妨设，取的中点，连接，，则，，由三角形的三边关系知，，所以，解得；综上可知，.因为，所以C正确；选项D：与选项C同理可得，当四面体有2条棱长为，4条棱长为时，，因为，所以D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知i是虚数单位，2＋i是关于x的方程（其中a，b）的一个根，则______．答案：1解析：思路：根据题意，方程的另一个根为，再结合韦达定理求解即可．解答过程：由是关于x的方程的一个根，则另一个根为，，解得，所以．13.某校学生兴趣小组想要测量校内一座雕像的高度，他们选取与雕像底部在同一平面内的三个在一条直线上的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶点的仰角分别为，，，米，则雕像高为________米.答案：解析：解答过程：令，由在处测得雕像顶点的仰角分别为，垂直于地面，得，在与中，，因此，整理得，解得，所以雕像高为米.14.蜜蜂将窝造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择，旨在最大化资源的利用，同时确保蜂巢的结构稳定性和功能性，小明作出它的部分平面图（三个全等的正六边形），若，则______________；若，则______________．答案：①.②.解析：思路：结合正六边形的性质以及平面向量的线性运算即可得到结果；再将分别用表示出来，结合向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果.解答过程：观察图形可知，三点共线，且，因为，且，则，所以，即；由正六边形的性质可得，所以.故；四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在复平面内，复数对应的点为.（1）若为纯虚数，求的值；（2）设为坐标原点，为虚轴负半轴上任意一点，若向量与的夹角为锐角，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据条件得，再利用复数的分类，即可求解；（2）设，根据条件，利用向量的夹角公式，得，即可求解.（1）由已知得，为纯虚数，，解得.（2）设，则，又，由，夹角为锐角得：，且与不共线，，解得且，故的取值范围为.16.如图，在正四棱柱中，，，H，G，E分别为AD，AB，BC的中点.（1）求证：平面；（2）求点B到平面的距离.答案：（1）证明见解析；（2）.解析：思路：（1）连接HE，先证四边形为平行四边形得，再由线面平行的判定定理证明结论；（2）应用等体积法有，利用棱锥的体积公式列方程求点面距离.（1）连接HE，因为四边形ABCD是正方形，且H，E分别为AD，BC的中点所以且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）由题设，在中，，，得，，，设点B到平面的距离为h，又，所以，则，从而.17.现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），，分别是上、下底面的中心，且满足.（1）若，求该几何体的体积.（2）若正四棱锥的侧面是正三角形①求正四棱锥的侧面积.②若，分别是线段，上的动点，求的最小值.答案：（1）312（2）①；②解析：思路：（1）利用锥体、柱体体积公式计算得解.（2）①利用正棱锥的侧面积公式计算即可；②将矩形，正和展开置于同一平面内，利用两点间距离最短求解.（1）依题意，正四棱柱的高，则正四棱柱的体积为，正四棱锥的体积为，所以该几何体的体积为.（2）①设，则，而，且为正三角形，则，由，得，正四棱锥侧面的高为，所以正四棱锥的侧面积为.②将长方形，和展开在一个平面，，，，，由几何意义知，，当且仅当重合于点时，最短，所以的最小值为.18.在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质四棱锥模型，为正三角形，，，为线段的中点．（1）求证：平面；（2）过点的平面交于点，沿平面将木质四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，请你完成以下两件事情：①在木料表面应该怎样画线？（在答题卡的图上画线要保留辅助线，并写出作图步骤）；②在木质四棱锥模型中确定点的位置，求的值．答案：（1）证明见解析（2）①答案见解析；②位置见解析，解析：思路：（1）取为的中点，连接，，由题意可证，平面，平面，即可得：平面平面，再利用面面平行证线面平行即可；（2）①根据平面的基本性质即可确定在木料表面应该怎样画线；②过点作交于点，由题意可证四点共面，再根据平行线所截线段成比例即可求解.（1）记为的中点，连接，，如图，因为分别为的中点，所以为的中位线，所以，因为平面平面，所以平面；又因为为正三角形，所以，又为中点，所以，又为等腰三角形，，所以，所