2025-2026学年甘肃省金昌市金川区联考高二下册期中考试数学试题 含答案

/数学一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1.已知数列的通项公式，则的值为（）A. B.0 C. D.12.在等差数列中，，则公差（）A. B.12 C. D.113.已知具有相关关系的变量，它们之间的一组数据如表所示，若关于的回归方程为，则（）A. B. C. D.4.已知函数，则（）A. B. C. D.5.已知正项数列是公比不为1的等比数列，，则（）A.8 B. C. D.6.曲线在点处的切线方程为，则（）A. B.0 C.1 D.27.设等比数列的前n项和为，若，则（）A. B. C. D.8.若函数无极值点，则a的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）9.下列命题不正确的是（）A.若，则B.设函数，且，则C.已知函数，则D.10.已知数列的前n项和，则（）A. B.为递减数列C.不等式的解集为有限集 D.当或4时，取最大值11.已知函数，则（）A. B.C.在上单调递增 D.不等式的解集为三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12.已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为________.13.已知正项等比数列满足，，则______．14.已知定义在R上的函数满足，且，则不等式的解集为______．四、解答题（共5小题，共77分）15.已知函数，且．（1）求实数的值；（2）求函数的单调区间．16.已知等差数列中，，.（1）求数列的通项公式及前n项和Sn；（2）设，求证：数列的前项和.17.下表是某品牌净化器的年销售量与年份的统计表．年份20212022202320242025年份代码x12345年销售量у（万台）23.52.589（1）用计算器计算净化器的年销售量y关于年份代码x的线性回归方程；（回归系数计算结果保留两位小数）（2）为了调查A、B两地区人群对该品牌净化器的了解情况，调查机构在A、B两地区的人群中分别进行品牌知晓情况的问卷调查．统计知晓与不知晓的人数，得到如下2×2列联表．

知晓不知晓合计A地区8020100B地区4060100合计12080200试根据表中数据判断A、B两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况是否有显著差异．（规定显著水平）附：关于回归方程，回归系数的计算公式，其中为样本点的中心；的计算公式；0.050.010.001k3.8416.63510.82818.在数列中，．（1）求证：数列为等比数列；（2）设，求数列的前项和．19.已知函数（且）．（1）当时，求函数的极值；（2）若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标；（3）若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围．

数学一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1.已知数列的通项公式，则的值为（）A. B.0 C. D.1答案：B解析：思路：将代入计算即可得结果.解答过程：因为数列的通项公式，所以.故选：B2.在等差数列中，，则公差（）A. B.12 C. D.11答案：D解析：思路：由等差数列的项之间的关系即可求得公差.解答过程：等差数列中，公差故选：D.3.已知具有相关关系的变量，它们之间的一组数据如表所示，若关于的回归方程为，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，，代入回归方程后可得，故.4.已知函数，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：通过导数的四则运算求导，再令，得到，进而可求解.解答过程：求导得：，令，得，解得，所以所以．5.已知正项数列是公比不为1的等比数列，，则（）A.8 B. C. D.答案：A解析：解答过程：已知正项数列是公比不为1的等比数列，设的公比为，则，由，得，则，即，，解得．6.曲线在点处的切线方程为，则（）A. B.0 C.1 D.2答案：C解析：解答过程：由题可知，且曲线在点处的切线方程为，即，所以，所以7.设等比数列的前n项和为，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：解法一：结合已知条件利用等比数列前n项和的基本量运算求解即可；解法二：利用等比数列前n项和的性质求解即可.解答过程：解法一：因为等比数列的前n项和为，，则公比，否则，，，不符题意；所以，解得，所以．所以．解法二：由，不妨设，，而，，也成等比数列，则，即，求得，故，所以．8.若函数无极值点，则a的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由，得，则没有变号零点，即没有变号零点，令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，当时，，当时，，当时，的增长速率远远比的要大，所以，作出的图象，如图所示，所以．二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）9.下列命题不正确的是（）A.若，则B.设函数，且，则C.已知函数，则D.答案：AC解析：思路：根据导数的四则运算求出各项的导数后，再逐项代入判断即可.解答过程：对于A，，故A错误；对于B，，令，所以，所以，解得，故B正确；对于C，f′(x对于D，xx故选：AC．10.已知数列的前n项和，则（）A. B.为递减数列C.不等式的解集为有限集 D.当或4时，取最大值答案：ACD解析：思路：计算判断A；举反例判断B；求出通项公式即可求解不等式判断C；根据数列项的符号求解最大值判断D.解答过程：根据题意，数列的前项和，当时，有，故A正确；当时，，对于B，，显然不满足为递减数列，故B错误；对于C，显然，当时，令，解得，所以不等式的解集为，为有限集，故C正确；对于D，由于，所以当或4时，取得最大值，故D正确.故选：ACD．11.已知函数，则（）A. B.C.在上单调递增 D.不等式的解集为答案：ACD解析：解答过程：已知函数，则，所以，，当且仅当时，即当时等号成立，所以函数在上为增函数；由，得.因为函数在上为增函数，由可得.故不等式的解集为，ACD都对，B错.三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12.已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为________.答案：##解析：思路：应用导数的几何意义求切线的斜率，即可得直线的斜率.解答过程：由题设，则，所以与曲线在点处的切线垂直的直线斜率为.故13.已知正项等比数列满足，，则______．答案：32解析：思路：根据等比数列定义及其通项公式列方程组即可求得结果.解答过程：设正项等比数列的公比为，可知；因此可得，两式相除可得，解得或；可得或（舍）；因此.故14.已知定义在R上的函数满足，且，则不等式的解集为______．答案：解析：思路：构造，问题化为求的解集，利用导数研究单调性，进而有求解集.解答过程：由题设，令，不等式化为，因为，所以，所以在R上单调递减，又，则，故不等式的解集为.四、解答题（共5小题，共77分）15.已知函数，且．（1）求实数的值；（2）求函数的单调区间．答案：（1）（2）单调递减区间为，单调递增区间为．解析：思路：（1）由题意得，解出即可；（2）由（Ⅰ）得，利用导数研究单调性即可求解.（1）由，解得；（2）由（Ⅰ）得，则，令，解得，又，故当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以的单调递减区间为，单调递增区间为．16.已知等差数列中，，.（1）求数列的通项公式及前n项和Sn；（2）设，求证：数列的前项和.答案：（1），（2）证明见解析解析：思路：（1）利用等差数列通项公式和前项和公式计算即可；（2）利用裂项相消法来求和，再用放缩法，不等式即可得证.（1）由题意可知，等差数列的公差为，所以，又所以；（2）因为，所以,即.17.下表是某品牌净化器的年销售量与年份的统计表．年份20212022202320242025年份代码x12345年销售量у（万台）23.52.589（1）用计算器计算净化器的年销售量y关于年份代码x的线性回归方程；（回归系数计算结果保留两位小数）（2）为了调查A、B两地区人群对该品牌净化器的了解情况，调查机构在A、B两地区的人群中分别进行品牌知晓情况的问卷调查．统计知晓与不知晓的人数，得到如下2×2列联表．

知晓不知晓合计A地区8020100B地区4060100合计12080200试根据表中数据判断A、B两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况是否有显著差异．（规定显著水平）附：关于回归方程，回归系数的计算公式，其中为样本点的中心；的计算公式；0.050.010.001k3.8416.63510.828答案：（1）（2）在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为A、B两地区的人群对该品牌净化的知晓情况有显著差异解析：思路：（1）计算出样本中心以及回归系数和，即可求解；（2）利用列联表中的数据，代入公式计算观测值，并与临界值3.841进行比较，从而判断两个分类变量是否有关.（1）由表可知，样本中心为：..则.所以，净化器的年销售量关于年份代码的线性回归方程为.（2）根据列联表中的数据，计算的观测值：.因为，所以，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为A、B两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况有显著差异.18.在数列中，．（1）求证：数列为等比数列；（2）设，求数列的前项和．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）利用等比数列的定义证明.（2）利用分组求和法求数列的前项和.（1）因为，且，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）得，.所以.所以.19.已知函数（且）．（1）当时，求函数的极值；（2）若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标；（3）若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围．答案：（1）极大值，无极小值（2），切点坐标为（3）的取值范围解析：思路：（1）求导找单调性变化点，进而确定极值；（2）先求导得到切线斜率公式，再根据“切点在曲线、切线上，且切线斜率等于导数”列三个方程，联立消元求解，试根得到切点横坐标，最终算出和切点坐标；（3）将两函数交点问题转化为方程根的问题，用导数分析函数单调性，再根据零点存在性求参数范围．（1）当时，，的定义域为，，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以在处取极大值，无极小值．（2），设切点为，切线