2025-2026学年辽宁省沈阳市东北育才高中高一下册期中考试数学试题 含答案

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.与角终边相同的最小正角是（）A. B. C. D.2.半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角是（）A. B. C. D.3.设，则的值可表示为（）A. B. C. D.4.在中，“”是“是锐角三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（）A.直角三角形 B.等腰非等边三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形6.若，则（）.A. B. C. D.7.函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为（）A.2 B. C. D.8.已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合．当时，，则（）A. B. C. D.二．多选题9.的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，，则有两解C.若，且，则为等边三角形D.若，，则面积的最大值为10.函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的有（）A.是的一条对称轴B.在上单调递增C.的一个对称中心为D.是偶函数11.如图，在四边形中，，则（）A.当时， B.当时，C.的取值范围是 D.的取值范围为三．填空题12.已知，则__________.13.关于的方程的解集为______________．14.已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，其中向量相互垂直，且满足，则的取值范围是__________.四、解答题：15.（1）已知化简求值：；（2）已知且求的值.16.从①；②asinB−3bcosBcosC=（1）求角的大小；（2）求取值范围；17.如图，在矩形中，点在边上，且是线段上一动点.（1），求的值；（2）若，求的最小值.18.已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象．（i）若在区间上没有对称轴，求的取值范围；（ii）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围．19.已知函数.（1）若，求的值域；（2）若，求在上的所有零点；（3）若对于满足的所有，都存在使得，求正实数的最小值.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.与角终边相同的最小正角是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由终边相同的角运算求解即可.解答过程：与角终边相同的角为，令，解得，且，则的最小值为1，所以与角终边相同的最小正角是，即为.故选：C.2.半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据弧长公式求出圆心角的弧度数，再转换为角度.解答过程：由得，所以圆心角为.3.设，则的值可表示为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由，再利用诱导公式计算可得；解答过程：解：∵，且，∴.故选：C方法提示：本题考查诱导公式及反三角函数的应用，属于基础题.4.在中，“”是“是锐角三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：根据向量的数量积运算律可得角为锐角，结合充分、必要条件分析判断.解答过程：若，即，整理可得，可知，且，可知角为锐角，所以，等价于角为锐角，因为角为锐角不能推出是锐角三角形，但是锐角三角形可以推出角为锐角，所以“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件.5.在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（）A.直角三角形 B.等腰非等边三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形答案：C解析：解答过程：在中，，又可得，从而；利用余弦定理和面积公式可将化为，所以，从而，故是等边三角形.6.若，则（）.A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据诱导公式、两角和的余弦公式、二倍角公式及同角关系的齐次转化求解即可.解答过程：可得.因为所以.7.函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为（）A.2 B. C. D.答案：C解析：思路：化简得到，得到的最大值为，最小值为，设的中点为，得到点和点都在轴上，由，得出，设的最小正周期为，列出关于的方程，求得，进而得到的值.解答过程：由函数，其中，可得函数的最大值为，最小值为，因为点为图象的最高点，可得，点为图象最低点，可得，点是图象与轴的交点，可得，设的中点为，因为和的纵坐标互为相反数，所以，所以点和点都在轴上，在中，因为，所以，且为的中点，根据直角三角形的性质，可得，过点分别作的平行线，交于点，则，设函数的最小正周期为，可得，，因为，可得，解得，所以.8.已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合．当时，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合．可得是函数的周期的整数倍.即，即，又，则，故，当时，，则在上单调递减，由，得，即，则.二．多选题9.的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，，则有两解C.若，且，则为等边三角形D.若，，则面积的最大值为答案：ACD解析：思路：对于A，由正弦定理即可判断，对于B，由正弦定理结合大边对大角可判断，对于C，根据向量线性关系及数量积的几何意义可判断，对于D，由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可判定.解答过程：A选项，在中，由得，即，所以；B选项，由正弦定理得即，解得，又因为，所以，所以只能是锐角，所以只有一解，B错误；C选项，和分别表示与和同方向的单位向量，以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，又由结合菱形性质知的角平分线与垂直，所以是等腰三角形且，又因为，且，所以，所以是等边三角形，C正确；D选项，因为，，所以由余弦定理得，当且仅当时取等号，即，所以，D正确.10.函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的有（）A.是的一条对称轴B.在上单调递增C.的一个对称中心为D.是偶函数答案：AD解析：思路：先由图象得出，再由三角函数性质逐一判定即可得出结论．解答过程：由图知，则，，所以，则，即因为，所以，，即，因为，得，所以所以对于选项A：当时，，故A对对于选项B：的单调递增区间为，解得，当时，故在上单调递增，在上单调递减，故B错对于选项C：，故C错对于选项D：，所以是偶函数，故D对，故选：AD．11.如图，在四边形中，，则（）A.当时， B.当时，C.的取值范围是 D.的取值范围为答案：AD解析：思路：建系，确定各点坐标，结合向量数量积的坐标表示，及两点间距离公式逐项判断即可.解答过程：由题意如图建系，可得，过点作轴，垂足为，因为，则，又，所以，又，，所以直角直角，即，则选项A，当

时，，则

​，A正确；选项B，当

时，，则

，，故

，B错误；选项C，，，则：

，因为，由二次函数单调性可得

，C错误；选项D，，则：

，时，二次函数对称轴为，由单调性可知，即的取值范围是

，D正确.三．填空题12.已知，则__________.答案：解析：思路：由三角函数的值域和已知条件可得，取，求解即可.解答过程：因为，且，所以，不妨取，则，所以.13.关于的方程的解集为______________．答案：或解析：思路：结合余弦的二倍角公式将方程转化为，进一步转化为解方程即可得答案.解答过程：因为，所以，所以或显然无解；方程的解为或所以，原方程的解为或14.已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，其中向量相互垂直，且满足，则的取值范围是__________.答案：解析：思路：设出向量的坐标，并由已知判断出分别与的夹角范围，从而求解.解答过程：因为，所以，故.由，得，所以有，即，.由题不妨可设，，，由，知,由可得，同理可得，可得，所以，所以，而，所以，即.四、解答题：15.（1）已知化简求值：；（2）已知且求的值.答案：（1）；（2）解析：思路：（1）根据诱导公式，将所求进行化简，再分子分母同时除以，计算求值，即可得答案.（2）根据条件，求出的范围，根据同角三角函数的关系，可得，的值，根据两角差的余弦公式，化简计算，即可得答案.解答过程：（1）由诱导公式得.（2）因为，所以，因为，，所以，，则.16.从①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在锐角中，分别是角的对边，若________________．（1）求角的大小；（2）求取值范围；答案：（1）（2）32思路：（1）若选①，由题设结合正弦定理边角互化可得，化简后可得答案；若选②，由题设结合正弦定理边角互化可得，据此可得答案；若选③，由题设结合切弦互化，正弦定理边角互化可得，据此可得答案；（2）由（1）结合题设可得，然后利用三角函数恒等变换知识可得sinA+（1）若选①：由正弦定理得

，即

，因为

，所以

，所以

，整理得

，又因为

，则

，所以

；若选：因为

asinB由正弦定理得

sinA即

，所以

，由

，得

，所以

，即

，因为

，所以

；若选③：因为

，所以

，即

，又因为

，所以

，又因为

sinA>0,sin因为

，所以

；（2）在锐角

中，由（1）得

，所以

，所以

，由

，所以

，所以

的取值范围为

.17.如图，在矩形中，点在边上，且是线段上一动点.（1），求的值；（2）若，求的最小值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由题意利用平面向量的线性运算可得，从而可求解.（2）由题意可先求出，，设，则得，从而可求解.（1）因为，化简得，所以，，所以.（2）因为，，所以所以，则，又，所以，设，则，，因为二次函数开口向上，故最小值在对称轴处取得，即时，，所以的最小值为.18.已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象．（i）若在区间上没有对称轴，求的取值范围；（ii）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围．答案：（1）（2）（i）；（ii）或．解析：思路：（1）利用降幂公式以及辅助角公式把合并，然后利用最小正周期计算公式可得答案；（2）利用平移伸缩法则可得到的解析式，（i）法一：利用，得到的范围，然后使它在相邻两条对称轴之间即可，法二：求出的对称轴，使区间在相邻两条对称轴之间即可，（ii）利用三角恒等变换化简，令，然后把问题转化为关于的不等式有解问题，法一：利用二次函数实根分布可得答案；法二：从反面入手，把能成立问题转化为恒成立问题，然后利用实根分布可得答案；法三：利用分离参数，把问题转化为求函数最值问题.（1），函数的最小正周期为；（2）（i）将函数的图象向左平移个单位长度，得到将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数（i）（法一），而，..解得.又，当时，；当时，综上可知，的取值范围是.（法二）令，则的对称轴方程为，.又在区间上没有对称轴，，解得，（后同法一）；（ii）由，可得，即，．即，即，其中，因为，则，令，则关于的不等式在上有解，（法一）设，则或，解得或；（法二）依题意先研究：当在上恒成立时的取值范围，再求其补集即可．设，则即.解得满足题意的的取值范围是或．.（法三）由可得，当，即时，不等式不成立，舍去；.当，即时，有解，设，令，则在上单调递增，所以当时，即可，解得；当，即时，有解，此时，而在上单调递增，所以当时，即可，解得；综上可知，或．19.已知函数.（1）若，求的值域；（2）若，求在上的所有零点；（3）若对于满足的所有，都存在使得，求正实数的最小值.答案：（1）；（2）唯一一个零点；（3）的最小值为.解析：思路：（1）利用特殊值代入将原函数化简为常数与正弦型函数的复合，通过分析