2025-2026学年辽西重点高中高三下册考前模拟考试数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则（）A. B. C.3 D.53.函数的图象可能是（）A. B.C. D.4.两个粒子，从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量的长度为（）A. B. C. D.25.已知函数是中心对称图形，则（）A. B.C. D.6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，则的面积为（）A. B. C. D.37.如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是（）A. B. C. D.8.已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，在空间四边形中，，分别是的中点，分别在上，且，则下列说法正确的是（

）A.当时，四边形是一个正方形B.当时，C.当时，四点共面D.当时，直线相交于一点10.一个正四面体的四个面上分别标以数字1，2，3，4，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：“”，事件：“”，事件：“”，事件：“”，则（）A.与互斥 B.C. D.与相互独立11.已知函数及其导函数均为定义在上的连续函数，且，且，设，则下列说法中正确的是（）A. B.C.有极大值 D.有极小值三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，，，，成等比数列，记，则的最小值为_______.13.已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，若对于任意正整数恒成立，则的最小值为___________．14.已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上且在x轴上方，，O为坐标原点，以PO为直径的圆被直线PF所截得的弦长为________．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.在中，内角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围.16.已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.17.如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点分别为线段和上的动点，且，其中.（1）求四棱锥的体积与正三棱柱的体积之比；（2）若二面角的大小为，求的值.18.甲､乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为，同学乙每次击中目标的概率为，且两人是否击中目标相互独立.（1）射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行.（i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率；（ii）记第次射击由同学甲进行的概率为，求的值.（2）新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束.若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率.19.定义函数（）为的“伴生函数”，其中为的导函数．若区间满足，都有成立，则称在上具有“伴生性质”且为的“伴生区间”．已知（），设的“伴生函数”为．（1）请求出的一个“伴生区间”；（2）若方程有两个不同的实数解，（）．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：．（参考数据：，）

数学满分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为集合，所以集合，所以.2.已知复数，则（）A. B. C.3 D.5答案：B解析：思路：将复数分母实数化写成的形式，利用计算结果．解答过程：因为；故．3.函数的图象可能是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据函数的奇偶性、函数值等进行分析，从而确定正确答案.解答过程：设，的定义域关于原点对称，，所以是偶函数，图象关于轴对称，所以D选项错误.当时，，所以BC选项错误.综上所述，A选项正确.4.两个粒子，从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量的长度为（）A. B. C. D.2答案：C解析：思路：根据投影向量的定义即可求解.解答过程：因为，所以在上的投影向量的长度为.5.已知函数是中心对称图形，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据对称性，结合定义域可知对称中心为，再根据定义式求出即可判断A；代入计算即可判断B；利用函数单调性判断CD即可．解答过程：因为函数的定义域是，所以，所以，所以A错误；因为，所以，所以B正确；，又在上单调递增，在上也单调递增，所以是增函数，又，所以，所以C错误；因为，所以，又因为，所以，所以D错误．6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，则的面积为（）A. B. C. D.3答案：C解析：解答过程：由结合正弦定理可知.因为，则.即，结合正弦定理得，即得.将上式代入，得，故，又，.所以，，.所以的面积为.7.如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先根据正三角形面积比等于边长比的平方求出上下底面积比，再利用棱台体积公式求出棱台体积，最后通过三棱锥体积公式求出两部分体积并计算体积比.解答过程：已知正三角形面积比为边长比的平方，又因为正三棱台上、下底面边长为和，因此上下底面积比，设上底面积，则下底面积，设棱台的高，即上下底面的距离为，根据棱台体积公式可得：

，​又因为​在上底面，到下底面的距离就是棱台的高，因此：，​，

因此体积比.8.已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：如图所示：若是定点，则直线与圆相切时，最大，此时，又，所以最小时，最大，又P为椭圆E：（）上的动点，所以最小时，点为椭圆的短轴的端点，又因为的最大值为，所以的最大值为，所以，所以，所以E的离心率为二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，在空间四边形中，，分别是的中点，分别在上，且，则下列说法正确的是（

）A.当时，四边形是一个正方形B.当时，C.当时，四点共面D.当时，直线相交于一点答案：BCD解析：思路：根据线线平行得出平行四边形及菱形判断A，B，根据平行得出四点共面判断C，应用平面的基本性质得出三线共点判断D.解答过程：因为分别是的中点，所以，当时，，所以，四边形是一个平行四边形，且，易得，所以四边形是一个菱形，则，不能得出四边形是一个正方形，所以A错误，B正确；对于C，当时，，，则，所以四点共面，C正确；对于D，当时，，但，而，所以但不相等，所以四边形是一个梯形，假设相交于点，因为平面，平面，又平面平面，所以，从而可得直线相交于一点，D正确，故选：BCD.10.一个正四面体的四个面上分别标以数字1，2，3，4，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：“”，事件：“”，事件：“”，事件：“”，则（）A.与互斥 B.C. D.与相互独立答案：BD解析：解答过程：由题意可知：，，，，对于选项A：因为，所以与不互斥，故A错误；对于选项B：因为，故B正确；对于选项C：因为，故C错误；对于选项D：因为，设样本空间为，则，，，可得，，，因为，所以与相互独立，故D正确.11.已知函数及其导函数均为定义在上的连续函数，且，且，设，则下列说法中正确的是（）A. B.C.有极大值 D.有极小值答案：ABD解析：思路：利用赋值法可判断A的真假；求导可判断B的真假；利用得到，对该式求导分析其正负，最后结合得到在处取得极小值，即可判断CD.解答过程：对A：因为，令，可得，A正确；对B：因为，所以，B正确；由和可得，，设，则，所以单调递增，又，所以当时，，即，单调递减，当时，即，单调递增，又，故在处取得极小值，C错误，D正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，，，，成等比数列，记，则的最小值为_______.答案：解析：思路：先利用等差数列前项和公式与等比中项性质求解首项和公差，再推导、的表达式，进而得到的表达式，通过计算正整数对应的取值得到最小值．解答过程：设等差数列的公差为，，由，根据等差数列前项和公式，得：，化简得①，由成等比数列，根据等比中项性质得，将各项用展开：，整理得，因，故②，联立①②，将代入②，解得，。因此通项公式，前项和．代入得，计算不同的取值：时，，，故；时，；时，；时，；时，；时，，，故，综上，的最小值为．13.已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，若对于任意正整数恒成立，则的最小值为___________．答案：解析：思路：先求的通项公式，再求和的表达式，并确定的最小值解答过程：设的公差为，则，所以，所以，，且当时，，所以为使若对于任意正整数恒成立，则，则的最小值为．14.已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上且在x轴上方，，O为坐标原点，以PO为直径的圆被直线PF所截得的弦长为________．答案：解析：思路：根据题意结合抛物线的定义可得，进而可得圆心和半径，以及直线的方程，结合垂径定理求弦长.解答过程：由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，设，，因为，则，可得，则，即，可知以PO为直径的圆的圆心为，半径，且直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，所以所截得的弦长为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.在中，内角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，进而分析求解；（2）利用余弦定理整理可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再根据正弦函数有界性运算求解.（1）因为，由正弦定理可得，则，即，又因为，则，即，且，则，即，可得，又因为，则，可得，所以.（2）由正弦定理得，则，由余弦定理得，即，可得，又因为，因为为锐角三角形，则，解得，则，可得，则，可得，即，所以的取值范围为.16.已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.答案：（1），bn（2）解析：思路：（1）需先根据数列前项和公式求的通项公式，再利用函数性质及倒序相加法求的通项公式；（2）先得出的表达式，再用错位相减法求前项和.（1）由题意，当时，，当时，，∵当时，也满足上式，∴，，对于数列：由，可得两式相加，可得，.（2）由（1），可得，则两式相减，可得∴.17.如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点分别为线段和上的动点，且，其中.（1）求四棱锥的体积与正三棱柱的体积之比；（2）若二面角的大小为，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）取中点，结合锥体和柱体的体积公式运算求解；（2）建系并标点，求平面和平面的法向量，利用空间向量求二面角，列式求解即可.（1）在正三棱柱中，取中点，则四棱锥的体积，正三棱柱的体积，四棱锥的体积与正三棱柱的体积之比为.（2）在正三棱柱中，取的中点，连结，因为，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，且平面，所以平面，且，故以为坐标原点，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则，因为，则，可得设平面的一个法向量为，则，令，则，可得，由题意可知：平面的一个法向量为，因为二面角的大小为，则，整理得，解得.18.甲､乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为，同学乙每次击中目标的概率为，且两人是否击中目标相互独立.（1）射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行.（i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率；（ii）记第次射击由同学甲进行的概率为，求的值.（2）新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束.若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率.答案：（1）（i）；（ii）（2）.解析：思路：（1）（i）设三次射击中同学甲击中的次数多于同学乙击中的次数为事件，由题设求解即可.（ii）第次由同学甲进行射击的概率为，则第次由同学甲进行射击的概率为，可得化简后可得数列为等比数列，由此求解即可.（2）设表示由同学甲开始射击，最终同学乙获胜的概率，表示由同学乙开始射击，最终同学乙获胜的概率，分别求解，即可.（1）（i）设三次射击中同学甲击中的次数多于同学乙击中的次数为事件，可得.（ii）因为第次由同学甲进行射击的概率为，则第次由同学甲进行射击的概率为，所以，即.，令，得，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，所以.（2）表示由同学甲开始射击，最终同学乙获胜的概率，表示由同学乙开始射击，最终同学乙获胜的概率，则①，②，联立①②解得，最终同学乙获胜的概率为.19.定义函数（）为的“伴生函数”，其中为的导函数．若区间满足，都有成立，则称在上具有“伴生性质”且为的“伴生区间”．已知（），设的“伴生函数”为．（1）请求出的一个“伴生区间”；（2）若方程有两个不同的实数解，（）．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：．（参考数据：，）答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析解析：思路：（1）根据“伴生函数”定义，先求的导函数，再计算，结合“伴生性质”的条件，直接得出时满足，因此是一个伴