2025-2026学年宁夏回族自治区银川市唐徕中学高三下册考前模拟考试数学试题 含答案

/数学本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知（，为虚数单位），则实数的值为（）A.0 B.1 C.2 D.32.已知全集小于20的质数，若，则（）A. B.C. D.3.某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（）A. B.C. D.4.已知圆台的上､下底面面积分别为，且，圆台的高为3，轴截面面积为9，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.5.若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则6.已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（）A. B. C. D.7.已知，，是球的球面上的三个点，且，球心到平面的距离为1，则球的表面积为（）A. B. C. D.8.在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（）A.点的轨迹为圆 B.点到原点最短距离为2C.点的轨迹是一个正方形 D.点的轨迹所围成的图形面积为24二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，，则10.函数的图象可能是（）A. B.C. D.11.下列说法正确的是（）A.随机事件，相互独立的充要条件是B.一组样本数据，，…，的方差，若，则这组样本数据的方差为1C.将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差D.若，记函数，，则的图象关于点对称三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡相应位置上．12.从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取2张，记事件A为“抽到的2张卡片编号之和为偶数”，事件B为“抽到的2张卡片编号均为偶数”，则_________．13.已知，则________；________．14.已知是边长为8的等边三角形，点D在边上（异于B，C），若，则__________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的首项，前项和为，且数列是公差为的等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．16.如图，棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．（1）求点到直线的距离；（2）证明：直线平面，并求直线到平面的距离．17.已知函数．（1）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值；（2）若函数在内不单调，求实数的取值范围．18.蝗虫会对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关．现收集到一只蝗虫的产卵数（单位：个）和温度（单位：）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型：①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．整理收集到的数据，得到下表：242.964616842268850.470308表中（1）根据残差图，模型（填“①”或“②”）的拟合效果更好，说明理由．根据所选的模型，利用上表中的数据，求出关于的回归方程．（2）据统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年内恰好需要2次人工防治的概率为．①求取得最大值时对应的概率；②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差．附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．19.由半个椭圆和两个相同的半圆组成的形如心脏的曲线称为“类心脏曲线”．如图，在平面直角坐标系中，类心脏曲线的两个半圆和的圆心恰好分别是半椭圆的左、右焦点和，且点，分别为的左、右顶点．已知半圆和的半径均为1．（1）求半椭圆的方程和离心率；（2）若直线交曲线C于A，B两点，动点S在曲线C上，求面积的最大值；（3）如图，分别过点，作两条平行线，，分别与，和，交于点M，N和点P，Q，求的最小值．

数学本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知（，为虚数单位），则实数的值为（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：C解析：思路：由复数的乘法运算和复数相等可求得a，b，由此可求得答案.解答过程：解：∵，∴，∴，解得，则实数，故选：C.2.已知全集小于20的质数，若，则（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：小于20的质数.因为，所以.3.某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：在频率分布直方图中，中位数左右两边面积相等，平均数受极端值影响，偏向长尾方向.直方图左偏（左边拖尾长，右边集中）,如D选项→平均数中位数；直方图右偏（右边拖尾长，左边集中），如B选项→平均数中位数；直方图对称，如AC选项→平均数≈中位数.故此题选D.4.已知圆台的上､下底面面积分别为，且，圆台的高为3，轴截面面积为9，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：设圆台的上下底面半径为，因为，所以，则，则轴截面面积为，得，则该圆台的体积为5.若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：C解析：思路：根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误.解答过程：对于A，若，则可平行或异面，故A错误；对于B，若，则，故B错误；对于C，若，则存在直线，，所以由可得，故，故C正确；对于D，，则与可平行或相交或，故D错误；故选：C.6.已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由两圆位置关系构造不等式求解即可.解答过程：由题可得，解得：．故选：B7.已知，，是球的球面上的三个点，且，球心到平面的距离为1，则球的表面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据正弦定理求解外接圆的半径，即可根据球的性质求解球半径，由表面积公式求解即可.解答过程：设球O的半径为R，外接圆的半径为r，则.因为球心O到平面ABC的距离为1，所以，从而球O的表面积为.故选：B8.在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（）A.点的轨迹为圆 B.点到原点最短距离为2C.点的轨迹是一个正方形 D.点的轨迹所围成的图形面积为24答案：D解析：思路：设点的坐标为，由已知条件结合向量的坐标运算用表示出，结合可得的关系，从而可求出点的轨迹方程，再逐个分析判断.解答过程：设点的坐标为，因为，动点满足，所以，得，因为，所以，即点的轨迹方程为，当时，方程为，当时，方程为，当时，方程为，当时，方程为，所以点对应的轨迹如图所示，且，,所以点的轨迹为菱形，所以AC错误，原点到直线的距离为，所以B错误，点的轨迹所围成的图形面积为，所以D正确.故选：D二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，，则答案：BD解析：思路：对于选项A，可根据已知不等式判断的取值情况，再结合不等式性质判断与的大小关系；对于选项B，可根据不等式两边同时平方的性质判断与的大小关系；对于选项C，可通过作差法比较与的大小；对于选项D，可根据不等式的性质求出的取值范围．解答过程：选项A，已知，因为，当时，，不满足，所以，则．不等式两边同时除以，不等号方向不变，可得．当时，满足，但此时，所以选项A错误．选项B，已知，因为和都有意义，所以．不等式两边同时平方，不等号方向不变，可得，即。因为函数在上单调递增，所以由可得，选项B正确。选项C，，因为，所以，，则，所以，即，选项C错误．选项D，已知，不等式两边同时乘以，不等号方向改变，可得，又因为，根据不等式的性质，两个不等式相加，不等号方向不变，可得，即，选项D正确．10.函数的图象可能是（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：根据原函数的图象、导函数等知识进行分析，从而确定正确答案.解答过程：因为，所以.由，可知有两个极值点，且，，不妨设，且，则AC选项错误.所以在区间上，递增；在区间上，递减.BD选项符合.故选：BD11.下列说法正确的是（）A.随机事件，相互独立的充要条件是B.一组样本数据，，…，的方差，若，则这组样本数据的方差为1C.将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差D.若，记函数，，则的图象关于点对称答案：ABD解析：思路：根据独立事件的定义判断A的正误，根据方差公式计算出均值后判断B的正误，根据总体方差的计算公式计算后判断C的正误，根据正态分布的对称性可判断D的正误.解答过程：对于A，若，因为，故，从而，故独立，若独立，则也相互独立，故，故，相互独立的充要条件是，故A正确；对于B，由题设有，故，故，故，故B正确；对于C，若两层的样本容量分别为，则总体均值为，则总体方差，若，则，故C错误；对于D，因为，故，故，故的图象关于点对称，故D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡相应位置上．12.从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取2张，记事件A为“抽到的2张卡片编号之和为偶数”，事件B为“抽到的2张卡片编号均为偶数”，则_________．答案：##0.5解析：解答过程：从6张卡片中随机抽取2张的组合数为：，事件的组合数为：，事件B的组合数为：，则，，，．13.已知，则________；________．答案：①.②.解析：思路：利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值.解答过程：令，则，又，故，令，则，令，则，故故答案为.14.已知是边长为8的等边三角形，点D在边上（异于B，C），若，则__________．答案：解析：思路：利用正弦定理推导与的比值，结合长度求出，再在中通过余弦定理计算即可.解答过程：在与中，由正弦定理，，，因为为等边三角形，故，即，因此，又，解得，在中，由余弦定理，，故.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的首项，前项和为，且数列是公差为的等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）由为等差数列，可得，然后由可得答案；（2）由（1）讨论的正负性，然后由可得答案.（1）因，则为首项为23，公差为的等差数列，则.又，则，时，,又满足，则；（2）由（1），当时，令，可得；.则当时，；当时，.综上.16.如图，棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．（1）求点到直线的距离；（2）证明：直线平面，并求直线到平面的距离．答案：（1）（2）证明见解析，解析：思路：（1）建立空间直角坐标系如下，使用空间中点到直线距离公式即可求得点到直线的距离；（2）由且A，E，F，四点不共线，所以，由线面平行的判定即可求证直线平面，再使用空间中点到平面距离公式即可求得到平面的距离.（1）以D为原点，DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，因为，，，所以，所以点到直线的距离为．（2），又A，E，F，四点不共线，所以，又平面，平面，所以平面，可知直线到平面的距离等于到平面的距离，因为，设是平面的法向量，则，所以，所以，取，则，于是是平面的法向量．又因为所以，点到平面的距离为，即直线到平面的距离为．17.已知函数．（1）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值；（2）若函数在内不单调，求实数的取值范围．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）由与直线斜率相等可得答案；（2）注意到，函数在上不单调等价于在上有变号零点，据此可得答案.（1），.因，则直线斜率为，由题可得；（2），因在上不单调等价于在上有变号零点，又，令，由在上有变号零点，可得方程在上有解，因，则，结合在上单调，从而.又注意到当时，在上单调递增，不满足题意，综上可得.18.蝗虫会对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关．现收集到一只蝗虫的产卵数（单位：个）和温度（单位：）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型：①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．整理收集到的数据，得到下表：242.964616842268850.470308表中（1）根据残差图，模型（填“①”或“②”）的拟合效果更好，说明理由．根据所选的模型，利用上表中的数据，求出关于的回归方程．（2）据统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年内恰好需要2次人工防治的概率为．①求取得最大值时对应的概率；②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差．附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．答案：（1）①，理由见解析；.（2）①；②，．解析：思路：（1）根据残差可选模型①，再根据题设中的数据和公式可求回归方程；（2）①根据二项分布可求，利用导数可求其最大值；②利用二项分布可求期望和方差.（1）①理由如下：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄，所以模型①的拟合效果更好．令，则，，所以，因此关于的线性回归方程为，所以产卵数关于温度的回归方程为