2025-2026学年宁夏青铜峡市第一中学高二下册期中考试试卷（A卷）数学试题 含答案

/数学一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的把答案填涂在答题卡上）1.已知函数在处的导数为2，则（）A.－2 B.2 C.－1 D.12.邮递员把两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则不同的投入方法共有（）A.6种 B.8种 C.9种 D.10种3.展开式中的第项是（）A. B. C. D.4.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（）A. B. C.-2 D.5.如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（）A.当时，取得极大值 B.在上是增函数C.当时，取得极大值 D.在上是增函数，在上是减函数6.若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.7.某班上午有5节课，分别安排语文､数学､英语､物理､化学各1节课，要求语文与化学相邻，且数学不排在第一节课，则不同的排课法的种数是（）A.36 B.24 C.18 D.128.已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.已知，则（）A. B.C. D.10.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、通用技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（）A.若任意选择三门课程，则选法总数为B.若物理和化学至少选一门，则选法总数为C.若物理和历史不能同时选，则选法总数为D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为11.已知函数，则（）A.是函数的极小值点B.对，方程恒有两个不同的实数解C.D.存在，使得直线与曲线相切三、填空题（本大题3题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上）12.在如图所示的四个区域中，有5种不同的花卉可选，每个区域只能种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法共有_________种（用数字作答）13.在二项式的展开式中，常数项为______.14.定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上恒成立，则称函数在区间上为"凸函数.已知在区间上为“凸函数”，则实数的取值范围为________.四、解答题（本大题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数，当时，取得极值．（1）求的解析式；（2）求在区间上的最值．16.在以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；条件②：只有第5项的二项式系数最大；条件③：所有项的二项式系数的和为256.问题：在的展开式中，_________.（1）求的值；（2）若展开式中的常数项为112，求展开式中的系数.17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．（3）若，数列的前n项和为，求证：19.已知函数．（1）求函数在处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性；（3）当时，，求的取值范围．

数学一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的把答案填涂在答题卡上）1.已知函数在处的导数为2，则（）A.－2 B.2 C.－1 D.1答案：B解析：思路：利用导数的定义即得.解答过程：∵函数在处的导数为2，∴.故选：B.2.邮递员把两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则不同的投入方法共有（）A.6种 B.8种 C.9种 D.10种答案：C解析：思路：根据分步乘法计数原理求解即可.解答过程：第一步先投一封信有3种不同的投法，第二步投剩余的一封信也有3种不同的投法，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的投法.故选：C3.展开式中的第项是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据展开式通项公式写出第项即可.解答过程：由题意可得二项式展开式的通项为：，将代入上式，可得：，所以展开式中的第项是.故选：A.4.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（）A. B. C.-2 D.答案：A解析：思路：利用导数的几何意义，即可求解.解答过程：，由题意可知，切线的斜率，则，解得：，，所以.故选：A5.如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（）A.当时，取得极大值 B.在上是增函数C.当时，取得极大值 D.在上是增函数，在上是减函数答案：D解析：思路：由导函数的图象，确定导函数的正负，由此得到函数的单调性，由极值的定义判断函数的极值，由此判断四个选项即可.解答过程：根据导函数的图象可知，当时，，当时，，可知在内单调递减，在单调递增，所以当时，取得极小值，当时，取得极大值，当时，取得极小值，故ABC错误，D正确.故选：D.6.若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：求导，可得对恒成立，可得对恒成立，求得的最大值即可.解答过程：由，可得，因为函数在区间上单调递增，所以对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，令，则，因为，所以，所以在上单调递减，所以，所以，所以实数k的取值范围是.故选：D.7.某班上午有5节课，分别安排语文､数学､英语､物理､化学各1节课，要求语文与化学相邻，且数学不排在第一节课，则不同的排课法的种数是（）A.36 B.24 C.18 D.12答案：A解析：思路：先将语文和化学捆绑、与英语，物理全排列，再将数学插空，由分步乘法计数原理计算即可.解答过程：将语文和化学捆绑、与英语，物理全排列有种排法，数学不排在第一节课，将数学插空有种，由分步乘法计数原理可得不同的排课法的种数是种，故选：A.8.已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：问题转化为：在上的最大值不大于在上的最大值，然后根据导数及二次函数的性质求最值即得.解答过程：由题意，在上的最大值不大于在上的最大值.对：因为，所以，由，所以函数在上单调递增，又，所以在上单调递增，所以在上的最大值为.对：当时，，因为，故满足题意；当时，因为的对称轴为，所以在上单调递增，所以在上的最大值为，由.所以；当时，在上单调递减，所以在上的最大值为，由，结合得.综上可知，实数的取值范围为.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.已知，则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：利用赋值法求二项展开式的系数即可.解答过程：对于A，令，，故A正确；对于B，令，，故B错误；对于C，令，，结合，所以，故C正确；对于D，令，，故D正确；故选：ACD.10.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、通用技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（）A.若任意选择三门课程，则选法总数为B.若物理和化学至少选一门，则选法总数为C.若物理和历史不能同时选，则选法总数为D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为答案：BD解析：思路：根据组合数判断A，分物理和化学选一门、两门判断B，利用间接法判断C，对三个科目分类讨论，即可判断D.解答过程：A选项，若任意选择三门课程，则选法总数为，所以A正确.B选项，若物理和化学至少选一门，则选法总数为，所以B错误.C选项，若物理和历史不能同时选，则选法总数为，所以C正确.D选项，只选物理、不选化学和历史，选法为；只选化学、不选物理，选法为；物理化学同时选、不选历史，选法为.所以选法总数是，所以D错误.故选：BD11.已知函数，则（）A.是函数的极小值点B.对，方程恒有两个不同的实数解C.D.存在，使得直线与曲线相切答案：AB解析：思路：对于A选项，利用导数即可求出极小值；对于B选项，将问题转化为与有两个交点即可；对于C，根据在上单调递增，可得，代入化简即可判断；对于D，设切点为，则切线方程为：，将点，代入化简得：，令，利用导数研究函数的取值范围即可判断D选项.解答过程：函数​的定义域为，且，令，解得当时，，所以，单调递减；当时，，所以，单调递增；则是函数的极小值点，故A正确；对于B，的极小值为，当时，，，当时，，结合图像可知对，方程恒有两个不同解成立，故B正确；对于C，由于当时，单调递增，所以，则，即,所以，故C不正确；对于D，设切点为，切线斜率为，切线方程为：，因为切线过，代入得：化简得：，整理得：，即，令，，则，所以在和上单调递增，所以当时，，当时，，则当时，无解，即不存在，使得直线与曲线相切，故D不正确；三、填空题（本大题3题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上）12.在如图所示的四个区域中，有5种不同的花卉可选，每个区域只能种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法共有_________种（用数字作答）答案：240解析：思路：直接利用分步乘法计数原理即可求出结果.解答过程：由分步乘法计数原理得种,故240.13.在二项式的展开式中，常数项为______.答案：解析：思路：对二项式变形，然后利用的通项公式，赋值求解即可.解答过程.因为的通项公式为，所以在中，当时不满足；在中，当时，，则常数项为.故14.定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上恒成立，则称函数在区间上为"凸函数.已知在区间上为“凸函数”，则实数的取值范围为________.答案：解析：思路：根据题意对函数求二阶导函数，令在区间恒成立，分离参数，解得实数的取值范围即可.解答过程：，在区间上为“凸函数”在上恒成立在上恒成立设，，则当且仅当，即时取得最大值，只需.故答案为.四、解答题（本大题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数，当时，取得极值．（1）求的解析式；（2）求在区间上的最值．答案：（1）（2）的最小值为，最大值为.解析：思路：（1）利用极值定义可求得，可得解析式；（2）利用导函数判断出函数在区间上的单调性，比较端点处的值可得结论.（1）依题意可得，又当时，取得极值，所以，即；解得；所以；（2）由（1）可知，令，可得或，当变化时，的变化情况如下表所示：单调递增单调递减单调递增因此，在区间上，的最小值为，最大值为.16.在以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；条件②：只有第5项的二项式系数最大；条件③：所有项的二项式系数的和为256.问题：在的展开式中，_________.（1）求的值；（2）若展开式中的常数项为112，求展开式中的系数.答案：（1）8（2）解析：思路：（1）分别选择这三个条件，利用二项式系数的性质，求的值；（2）根据的值和展开式中的常数项为112，利用二项式求得的值，再求展开式中的系数.（1）选①，，；选②，∵只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，；选③，∵所有项的二项式系数的和为256，，.（2）二项式的展开式的通项公式为，令得，∴展开式中的常数项为，得，又，的展开式的通项公式为，令得，，∴展开式中的系数为.17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果.（1）底面为矩形，所以，又因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，可知平面平面；（2）由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：易知，则，设平面的法向量为，则，令，可得，可得，所以；因此直线与平面所成角的正弦值为.18.已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．（3）若，数列的前n项和为，求证：答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）根据等差数列前n项和公式及等比中项性质，求出的值，代入公式，即可得答案（2）由（1）得，根据分组求和法，结合等差、等比数列的前n项和公式，即可得答案.（3）由（1）得，根据裂项相消求和法，可得表达式，分析即可