2025-2026学年宁夏吴忠市盐池中学高二下册期中考试数学试题 含答案

/数学总分150分答题时间120分钟一、单选题1.已知函数，则（）A. B. C. D.2.某中学为高二学生开设校本选修课，分别为人文社科、自然科学、艺术体育三个类别，其中人文社科类有门互不相同的课程，自然科学类有门互不相同的课程，艺术体育类有门互不相同的课程.若要求每位学生选择门课程，且门课程需来自不同的类别，则不同的选课方案种数为（）A. B. C. D.3.已知乘积展开后共有60项，则n的值为（）A.5 B.6 C.10 D.124.若，则（）A. B. C. D.5.4人同时被邀请参加一项活动，则至少有1人去参加活动的方法种数为（）A.4种 B.15种 C.16种 D.24种6.在的展开式中，常数项为（）A.15 B.40 C.60 D.807.的展开式中，系数最大的项是（）A.第6项 B.第3项 C.第3项和第6项 D.第5项和第7项8.已知函数的图象如下，则的解析式可能为（）A. B. C. D.二、多选题9.下面导数运算正确的是（）A. B.C. D.10.已知m，且，则下列等式正确的是（）A. B.C. D.11.已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.可能有三个极值点 B.若，则在上单调递减C.若，则的极大值点为 D.若，则三、填空题12.曲线在点处的切线与直线平行，则__________．13.即将暑假，小明一家5人计划开车回趟老家，车子前排有驾驶座和副驾驶座，后排有3个座位．家人中只有小明和哥哥不会开车，且小明未成年只能坐在后排，则一共有_____种不同的乘坐方式．14.________．四、解答题15.已知曲线在点处的切线方程是.（1）求，的值；（2）如果曲线的某一切线与直线：垂直，求切点坐标与切线的方程.16.（1）计算：；（2）计算：，求；（3）计算：，求.17.若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且.（1）求的系数；（2）求的值.18.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的单调区间；（3）若不等式恒成立，求的最大值.19.已知函数.（1）求函数的极值；（2）在坐标系中画出函数的简图（要含有必要的说明和体现必要的图象特征）；（3）讨论方程的实数解的个数.

数学总分150分答题时间120分钟一、单选题1.已知函数，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据导数的定义对函数求导代入计算即可.解答过程：易知，所以.故选：A.2.某中学为高二学生开设校本选修课，分别为人文社科、自然科学、艺术体育三个类别，其中人文社科类有门互不相同的课程，自然科学类有门互不相同的课程，艺术体育类有门互不相同的课程.若要求每位学生选择门课程，且门课程需来自不同的类别，则不同的选课方案种数为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：若选择的门课程为人文社科、自然科学，则有种选法，若选择的门课程为人文社科、艺术体育，则有种选法，若选择的门课程为自然科学、艺术体育，则有种选法，由分类计数原理可知，不同的选课方案种数为.3.已知乘积展开后共有60项，则n的值为（）A.5 B.6 C.10 D.12答案：C解析：思路：根据多项式相乘时，展开式的项数等于每个括号里的项数相乘求解即可.解答过程：因为第一个括号有2项，第二个括号有3项，第三个括号有项，所以展开式共有项，所以.故选：C4.若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先通过求导判断函数的单调性，再利用单调性比较和的大小．解答过程：因为．当时，，所以，所以在上为单调递减函数．故．故选：A.5.4人同时被邀请参加一项活动，则至少有1人去参加活动的方法种数为（）A.4种 B.15种 C.16种 D.24种答案：B解析：解答过程：4人同时被邀请参加一项活动，参加活动共有种方法，若没人去，则只有种，故至少有1人去参加活动的方法种数为.6.在的展开式中，常数项为（）A.15 B.40 C.60 D.80答案：C解析：思路：利用二项式定理的通项公式进行求解.解答过程：由题，展开式的通项为，令，所以展开式中常数项为.故选：C.7.的展开式中，系数最大的项是（）A.第6项 B.第3项 C.第3项和第6项 D.第5项和第7项答案：D解析：思路：结合通项公式写出展开式各项的系数，根据系数的正负性和二项式系数的性质即可得解.解答过程：因为的展开式的通项公式为，所以的展开式的各项系数分别为，第6项系数为，第5项和第7项系数分别为，且，所以系数最大的项是第5项和第7项.故选：D8.已知函数的图象如下，则的解析式可能为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由图像可知函数关于原点对称，是奇函数，对于选项C，，，故是偶函数，不符合，排除C；对于选项A，，求导得，故在上单调递增，不符合图像中时先增后减的趋势，排除A；

根据图像，极大值点在左侧，对于选项B，，求导得，令，得，10单调递增

单调递减故的极大值点为，不符合图像，排除B.二、多选题9.下面导数运算正确的是（）A. B.C. D.答案：BC解析：思路：由导数的四则运算逐项判断即可.解答过程：由导数的运算公式，得：，AD错误，BC正确．10.已知m，且，则下列等式正确的是（）A. B.C. D.答案：BC解析：思路：由排列与组合数的运算性质求解即可.解答过程：A错，，．B对，．C对，，，所以．D错，．故选：BC.11.已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.可能有三个极值点 B.若，则在上单调递减C.若，则的极大值点为 D.若，则答案：ABC解析：思路：根据导数的图象研究函数的单调性，结合极值点的概念和单调区间，逐项判定，即可求解.解答过程：由图可得，0，2是的零点，当时，有3个变号零点，所以可能有三个极值点，A正确．若，，由图可得当时，，单调递减，B正确．若，，由图可得当时，，当时，，所以的极大值点为，C正确．若，则，由图可得，得或，所以或，D错误．故选：ABC三、填空题12.曲线在点处的切线与直线平行，则__________．答案：解析：思路：求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由两直线平行斜率相等得到方程，解得即可.解答过程：因为，所以，则，直线的斜率为，依题意可得，解得.故13.即将暑假，小明一家5人计划开车回趟老家，车子前排有驾驶座和副驾驶座，后排有3个座位．家人中只有小明和哥哥不会开车，且小明未成年只能坐在后排，则一共有_____种不同的乘坐方式．答案：54解析：思路：考虑利用分布乘法计数原理的应用，结合“特殊元素（特殊位置）优先法”解决问题.解答过程：第一步：考虑小明只能坐在后排，所以小明的坐法有：种；第二步：考虑驾驶座的坐法，只能从3人中选1人，有：种；第三步：其他3人，还有3个位置，坐法有：种.根据分步乘法计数原理，一共有：种不同的乘坐方式.故5414.________．答案：256解析：思路：由二项展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和，则，可得答案.解答过程：因为,而二项展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和，所以，故．四、解答题15.已知曲线在点处的切线方程是.（1）求，的值；（2）如果曲线的某一切线与直线：垂直，求切点坐标与切线的方程.答案：（1）；（2）,或.解析：解答过程：试题分析：（1）先求出函数的导数，由导数的几何意义可得，，解方程可得的值；（2）设切点的坐标为，由两直线垂直的条件，斜率之积为，可得切线的斜率，解方程可得切点坐标，进而可得切线方程.试题解析：（1）∵的导数，由题意可得，，解得，.（2）∵切线与直线垂直，∴切线的斜率.设切点的坐标为，则，∴.由，可得，或.则切线方程为或.即或.16.（1）计算：；（2）计算：，求；（3）计算：，求.答案：（1）0；（2）；（3）或解析：思路：（1）利用排列数性质计算即可得；（2）利用组合数与排列数性质计算即可得；（3）利用组合数计算即可得.解答过程：（1）；（2）由已知可得，所以，所以，所以，解得或，又n+1≥2n−1≥2，即，故（3）由可得或，解方程，即，解得或，解方程，即，解得或，又因为、均为整数，且0≤x2−所以或符合要求，和均不符合要求.故或；17.若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且.（1）求的系数；（2）求的值.答案：（1）180（2）解析：思路：（1）应用已知条件利用二项式系数的性质求出，结合二项式定理求出.（2）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值.（1）第3项与第9项的二项式系数相等，则，解得，所以.所以的展开式中项为：，所以.（2）由（1）知，的展开式中，当时，，由二项展开式可得：所以都是正数，都是负数，所以当时，，所以.18.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的单调区间；（3）若不等式恒成立，求的最大值.答案：（1）（2）单调递增区间为，单调递减区间为（3）解析：思路：（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程求解即得；（2）通过导函数的符号判断函数的单调性即可；（3）依题将问题转化为不等式恒成立问题，设，利用求导得出该函数的最大值为，解对数不等式即可求得参数的范围.（1）当时，，则，得.又，故曲线在点处的切线方程为，即.（2）当时，，得，令，得或（舍去），当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，即的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）恒成立，即恒成立，即恒成立.令，则，当时，则，函数在上单调递增，因为，不符合题意；当时，由，得，则函数在上单调递增，由，得，则函数在上单调递减，故的最大值为，由和，解得.综上可得，的最大值为.19.已知函数.（1）求函数的极值；（2）在坐标系中画出函数的简图（要含有必要的说明和体现必要的图象特征）；（3）讨论方程的实数解的个数.答案：（1）极小值为，无极大值（2）作图见解析（3）答案见解析解析：思路：（1）求导后，根据正负可得单调区间；根据极值点定义可求得极值；（2）分析可知时，，由此可作出函数图象