2025-2026学年普通高校招生考试高三下册2026年5月冲刺压轴卷数学试题 含答案

/2026普通高等学校招生全国统一考试·冲刺压轴卷（五）数学全卷满分150分考试时间120分钟★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。2.作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∣−2<xA.{−1,0,1} B.{−1,0}C.{1} D.{0,1}2.若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂βA.相交 B.平行 C.异面 D.无公共点3.“样本数据2，a，10，12的平均数为8”是“logaA.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.已知函数f(x)=A.0,13 C.(0,3) D.(3,+∞)5.已知α为锐角，且sinβcos(αA.43 B.C.23 D.6.已知抛物线C:4x−myA.(0,1) B.(1,0)C.(−1,0) D.(0,−1)7.将数字1，2，3，4，5，6填入如图的6个方格中，每个方格填一个数字，每个方格中的数字均不相同，若每行中任意两个相邻数字之和为偶数，则不同的填法共有

A.36种 B.48种 C.72种 D.108种8.在锐角∆ABC中，已知12sin2BA.3 B.13C.133 D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知复数z=1+3i1+i（其中iA.z的虚部为1B.|C.z¯D.z¯是方程x10.已知函数f(A.f(B.f(C.f(xD.f(11.给定椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上有一动点P（不在坐标轴上），F1，FA.若|PA|=B.动点I的轨迹是一个椭圆C.直线IF1，D.内切圆I的面积无最大值也无最小值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若函数f(x)=x13.将函数f(x)=2sin2x+π3的图象向左平移φ14.如图，200道处于关闭状态的门从左到右依次贴有“1，2，3，…，200”的标签号，某人从第一道门出发，从左向右行进，每路过一道关闭的门就从1开始依次报一个数，报到奇数时把门打开。数完一轮后回到起点，再重复此过程，则最后一道关闭的门标签号为

。四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且（1）求数列{a（2）求数列1an·an16.(15分)拔河比赛起源于我国春秋时期，比赛采用三局两胜制，即每场比赛两支队伍最多比3局，率先胜2局比赛的队伍获得本场比赛胜利，比赛随即结束.甲、乙两队进行一场拔河比赛，已知每局比赛甲队胜的概率为23（1）求甲队获得本场比赛胜利的概率；（2）记X为本场比赛结束时比赛的局数，求X的分布列及数学期望E(17.(15分)如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，M是AD的中点，N（1）求证：MN∥平面PAB（2）若平面PMC⊥平面PAD，求证：CM（3）在（2）的条件下，且平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为58，求四棱锥P18.(17分)如图，设双曲线C:x2−y22=1的左顶点为P，直线l:y=kx+（1）求点P的坐标，及双曲线C的离心率；（2）若线段AB的中点为M(2,1)，求直线l（3）若以线段AB为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由。19.(17分)已知函数f(x)的定义域为(−1,+∞)，其导函数f'(x（1）求f'(（2）证明：当−1<a<0时，除点A外，曲线y=（3）若F(x)=(1+x)学校招生全国统一考试·冲刺压轴卷（五）数学·答案1.A因为A={x∣−2<x⩽1}，2.D由平面α∥平面β，得平面α，β无公共点，而直线a⊂α，直线b⊂β3.B由样本数据2，a，10，12的平均数为8，得2+a+10+124=8，解得a=8，当a=8时，loga10=log810>1；由loga10>1，知必有a>1成立，不等式loga4.A函数f(x)=lnx−3x+a(a∈R)的定义域为(0,+∞)5.A由sinβcos(α−β)−cosβsin(6.B由已知，圆M:(x−1)2+(y−2)2=1的圆心为M(1,2)，因为点M在抛物线C:4x−7.C由每行中任意两个相邻数字之和为偶数，即一个数为奇数，则另一个数需为奇数，或一个数为偶数，则另一个数需为偶数，因为共有6个数字，其中3个奇数、3个偶数，所以分两种情况：①第一行为奇数，第二行为偶数，②第一行为偶数，第二行为奇数，所以共有A38.B由12sin2B=cos2A−cos2C，可得12sin2B=cos2A−cos2C=1−sin2A−(1−sin2C)=sin9.ACDz=(1+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=1·1+1·(−i)+3i·1+3i·(−10.AC因为f(x)=xlnx−x的定义域为(0,+∞)，f'(x)=lnx，令f'(x)=0得x=1，所以当得极小值，A正确；因为f(x)=xlnx−x=x(lnx−1)，且x>0，所以当f(x)=0时，x=e，f(x)只有一个零点，B错误；因为f(x)在(0,1)内单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以当x=1时，f(x)取得极小值，也是最小值，故f(x)的最小值为f(1)=−1，C正确；令g(x)=f11.ACD若C是内切圆与x轴的切点，|PF1|+|PF2|=2a，|PA|=|PB|=12a，|AF1|=|CF1|，|BF2|=|CF2|，又|PA|+|AF1|+|PB|+|BF2|=2a，则|AF1|+|BF2|=a，即|CF1|+|CF2|=2c=a，所以离心率e=ca=1212.12f(x)的定义域为R，因为f(x)为奇函数，则f(0)=0，即m=013.π12将函数f(x)=2sin(2x+π3)的图象向左平移φ个单位长度，可得g(x)=2sin2(x+φ14.128第一轮报数，标签号中剔除奇数，剩余偶数，即2的倍数；第二轮报数，标签号2，4，6，⋯，200的报数结果分别为1，2，3，⋯，100，剔除标签号2，6，10，⋯，198，剩余的标签号为4的倍数；第三轮报数，标签号4，8，12，⋯，200的报数结果分别为1，2，3，⋯，50，剔除标签号4，12，20，⋯，196，剩余的标签号为8的倍数；重复以上步骤可得，当门数M∈[2k15.解：（1）设等差数列{an}的公差为d则由等差数列求和公式得：S10=10a又因为a1=2，所以可得10×2+45d即数列{an}的通项公式为a（2）由1an·所以Tn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分16.解：（1）甲队获得本场比赛胜利分：①甲队胜第一、二局，②甲队胜第一、三局，③甲队胜第二、三局，⋯⋯2分则甲队获得本场比赛胜利的概率P=(23(2)由题意知X可取:2，3，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分当X=2时，甲队胜的概率为：(23)2=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分当X=3时，P(X所以X的分布列为：X23P54⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分数学期望E(X)=2×17.解：（1）取PB的中点E，连接EA，EN，在∆PBC中，EN∥BC且EN=12BC所以EN∥AM，EN=AM，所以四边形ENMA是平行四边形，所以又MN⊄平面PAB，AE⊂平面所以MN∥平面PAB。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2）过点A作PM的垂线，垂足为H，因为平面PMC⊥平面PAD，平面PMC∩平面PAD=PM，AH⊥所以AH⊥平面PMC，又CM⊂平面PMC，所以因为PA⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，所以PA⊥因为PA∩AH=A，PA⊂平面PAD所以CM⊥平面PAD。又AD⊂平面PAD，所以CM（3）设AC∩BD=O，过O点作OZ⊥ABCD，以O点为坐标原点，因为CM⊥AD，M为AD的中点，所以设PA=a，BDP(0,−1,a)，B(3,0,0)，C(0,1,0)，D设平面PBC的一个法向量n取y1=3同理设平面PCD的法向量n取y2=3设平面PBC与平面PCD的夹角为θ，cosθ=|cos⟨所以a2S菱形VP18.解：（1）由题可得：a=1，b=2所以双曲线C的左顶点为P(−1,0)双曲线的离心率为e=（2）由{y=kx+m则Δ=(2km)设A(x1,y1)由M(2,1)为AB的中点，可得{解得k=4，m=−7，满足Δ>0所以直线l的方程为y=4x−7，即4（3）由（2）知，x1+x2=>−2kmk2则PA=(=(=>3因为以AB为直径的圆恒过点P，则有PA→即(3k+m)(k−m当m=k时，直线l:y=当m=−3k时，直线l:所以直线l过定点，该定点坐标为(3,0)。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分9.解：(1)∵x∈(−1,+∞)，令t=1+x，则设g(t)=>lntt>，当t∈(0,e)时，g'(t)>0，g(t)∴g(t)在t=e时取得最大值，最大值（2）∵l1为A(a,f(令h(x)=求导得h'(由（1）知，f'(x)=g(当−1<a<0时，0<1+a<1，则g(若a<x<0，即1+x>1+若−1<x<