2025-2026学年山东临沂市莒南县高二下册期中学业质量检测数学试题 含答案

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.乘积展开后共有（）项.A.60 B.80 C.30 D.452.已知函数，则（）A. B. C. D.3.（）A. B. C. D.4.已知随机变量，，则值为（）A. B. C. D.5.对于事件，则（）A. B. C. D.6.如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第行中从左至右第个数与第个数的比为，则（）A. B. C. D.7.随机变量的分布列如表：则的取值范围是（）012A. B. C. D.8.有4副手套，左右手分别编号为1，2，3，4，将这8只手套随机放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中，每个盒内放两只，则每个盒子内恰好只有一只手套编号与盒子编号相同的放法有（）A.128种 B.144种 C.224种 D.256种二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.10.已知，且展开式中所有的二项式系数和为，则（）A.B.C.D.11.甲乙两机器人进行某项智能比赛（比赛结果没有平局），甲每局获胜的概率均为，且每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记甲和乙两机器人积分之差的绝对值为，当时，比赛结束且总积分多者获胜．下列说法正确的是（）A.若，则比赛结束时总局数不可能是3B.若，则恰好4局结束比赛且甲获胜的概率为C.若，则在不超过5局比赛结束的条件下，甲以4：1获胜的概率为D.若，比赛进行一段时间后，则继续比赛甲最终获胜的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则___________．13.若函数，则的单调递减区间为________．14.正方体的8个顶点中任意两点可以连线，则可以连成___________个三棱锥．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数在处取得极大值．（1）求a，b的值；（2）求函数的零点的个数．16.某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单：（1）三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？（2）唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？（3）由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？17.学生甲每天都会去体育馆锻炼，若当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为，选择篮球的概率为；若当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目．已知甲第一天等可能地选择一项运动进行锻炼．（1）求甲第2天选择羽毛球锻炼的概率；（2）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系．18.已知函数，其中.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围；（3）若在上存在两个极值点，求的取值范围.19.在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立．（1）经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁．（ⅰ）求甲获得第四名的概率；（ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望．（2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.乘积展开后共有（）项.A.60 B.80 C.30 D.45答案：A解析：思路：根据分步乘法计数原理，展开式的每一项都是从三个括号中各取一个项相乘得到的，因此总项数等于每个括号中项数的乘积.解答过程：因为展开式的每一项都是从三个括号中各取一个项相乘得到的，因此总项数等于每个括号中项数的乘积第一个括号有3项；第二个括号有5项；第三个括号有4项.故总项数为.2.已知函数，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：，故.3.（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程.4.已知随机变量，，则值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用正态密度曲线的对称性求解即可.解答过程：因为随机变量，，所以和的平均数为，即，解得.5.对于事件，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题设有，故.6.如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第行中从左至右第个数与第个数的比为，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据二项式定理可知第行第个数为，可列方程，解方程即可.解答过程：由二项式定理可知第行第个数为，则第行中从左至右第个数与第个数分别为，，又比值为，即，化简可得，解得，故选：C.7.随机变量的分布列如表：则的取值范围是（）012A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题设，故，故，而即，故，故.8.有4副手套，左右手分别编号为1，2，3，4，将这8只手套随机放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中，每个盒内放两只，则每个盒子内恰好只有一只手套编号与盒子编号相同的放法有（）A.128种 B.144种 C.224种 D.256种答案：B解析：解答过程：先在每个盒子中放入与盒子编号相同编号的手套（在左手、右手中选择一只），则有种放法，再将剩余编号为的手套错排放入4个盒子中，（1）编号为1的手套放入编号为的某一个盒子，有3种放法，（2）把余下编号为2,3,4的手套放入余下的3个盒子中，满足手套编号与盒子编号不同时有3种放法，故每个盒子内恰好只有一只手套编号与盒子编号相同的放法有种.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.答案：BD解析：解答过程：对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.10.已知，且展开式中所有的二项式系数和为，则（）A.B.C.D.答案：ACD解析：思路：根据二项式系数和求得，再利用赋值法判断BCD的正误.解答过程：因为展开式中所有的二项式系数和为，故即，故A正确；由可得，令，则，两边求导后得，令，则，故B错误；令，则，再令，则，故，故C正确；令，则，故，故D正确.11.甲乙两机器人进行某项智能比赛（比赛结果没有平局），甲每局获胜的概率均为，且每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记甲和乙两机器人积分之差的绝对值为，当时，比赛结束且总积分多者获胜．下列说法正确的是（）A.若，则比赛结束时总局数不可能是3B.若，则恰好4局结束比赛且甲获胜的概率为C.若，则在不超过5局比赛结束的条件下，甲以4：1获胜的概率为D.若，比赛进行一段时间后，则继续比赛甲最终获胜的概率为答案：ACD解析：思路：对于A，根据局数为奇数可判断其正误，对于B，根据独立事件的概率公式可求恰好4局结束比赛且甲获胜的概率，从而判断其正误，对于C，根据条件概率公式结合互斥事件、独立事件的概率公式求解后可判断其正误，对于D，利用动态转移结合递推数列可求甲最终获胜的概率，从而可判断其正误.解答过程：设局比赛中甲胜了局，则乙胜了局，故.对于A，若，若比赛结束时总局数为，则为奇数，故不可能为，故A正确；对于B，若，设为“恰好4局结束比赛且甲获胜”，因为，故或，因甲获胜，故，且前两局一胜一负，故，故B错误；对于C，若，此时，故奇数，设为“不超过5局比赛结束”，为“甲以4：1获胜”，因为不超过局，故或.若局结束比赛，因为，故甲连胜3局或乙连胜局，故此时比赛结束的概率为；若局结束比赛，则前局为甲（或乙）3胜负且无3连胜，第局甲（或乙）胜，故此时比赛结束的概率为，故，而故，故C正确；对于D，若，比赛进行一段时间后，此后设为甲的得分与乙的得分的差，则，记时甲最终获胜的概率为，则，Pγ=3=1，又，故，故，利用叠乘可得，故，同理，故，而Pγ=3故，故.故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则___________．答案：解析：解答过程：因为，故，故.13.若函数，则的单调递减区间为________．答案：解析：思路：利用导数求出函数的单调递减区间即可.解答过程：函数，定义域为，求导得，令，则，解得，又，则，所以的单调递减区间为.14.正方体的8个顶点中任意两点可以连线，则可以连成___________个三棱锥．答案：解析：解答过程：从个顶点中任取个点，如果个点共面，则它们来自正方体的6个面或6个对角面，此时它们不构成三棱锥，故三棱锥的个数为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数在处取得极大值．（1）求a，b的值；（2）求函数的零点的个数．答案：（1），（2）函数的零点的个数为1解析：思路：（1）根据极大值点导数为0及列方程求解，再检验即可；（2）利用导数分析函数的单调性，结合零点存在性定理即可得解.（1）对求导得，由，且，解得，．经检验，，符合题意，所以，．（2）由，令或令，所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．所以可得函数的极小值为，又极大值为，而，综上所述，函数的零点的个数为1，且零点位于区间内．16.某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单：（1）三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？（2）唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？（3）由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）将三个舞蹈节目看成整体，先排剩下4个节目，再把三个舞蹈节目放入不含两端的3个空中，据此可得答案；（2）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，然后把小品放入舞蹈歌曲整体排布产生的空中可得答案.（3）将新增两个节目放入7个节目排布产生的空中，分放入同一个空和放入两个不同的空两种情况，据此可得答案.（1）将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法．再将剩下4个节目全排列，有种排法．最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中，有3种排法，故共有种排法；（2）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法．再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法．则共有种排法．（3）将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中．若两个节目放入同一个空，有种排法，若两个节目不放入同一个空，有种排法，故共有种排法．17.学生甲每天都会去体育馆锻炼，若当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为，选择篮球的概率为；若当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目．已知甲第一天等可能地选择一项运动进行锻炼．（1）求甲第2天选择羽毛球锻炼的概率；（2）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系．答案：（1）（2）.解析：思路：（1）利用全概率公式计算求解即可.（2）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得.（1）设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为，则且两两互斥，依题意，，，且，由全概率公式得：.（2）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为，由无论前一天选择什么，后一天选择乒乓球的概率均为，得对所有均成立，从而甲第天选择篮球的概率为，当时，由全概率公式，得的递推关系为，而，，化简得，.18.已知函数，其中.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围；（3）若在上存在两个极值点，求的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）把问题转化为恒成立，即恒成立，利用基本不等式即可求解；（3）根据极值点的定义及韦达定理得到，并求出的范围，令并求出的范围，最后把转化为的函数，最后利用导数判断函数的单调性即可求解.（1）当时，，定义域为，所以，所以，又，所以函数在处的切线方程为，即.（2）的定义域是，函数在定义域上单调递增，则对恒成立，即，因为，当且仅当时等号成立，所以时，恒成立，即在上单调递增.（3）在上有两个极值点，则，即在上有两个不等实数根，解得，且，此时，，令，则，所以在上单调递减，又由，由可知，即。联立解得，所以。且所以的取值范围是.19.在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制