2025-2026学年山东青岛西海岸新区高二下册期中学业水平检测数学试题 含答案

/数学满分150分.考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则A.4 B.5 C.6 D.72.下列导数运算正确的是（）A. B. C. D.3.已知随机变量的分布列为，则（）A. B. C. D.4.在的展开式中，若的系数为，则（）A. B. C. D.5.某质点沿直线运动，位移（单位:）与时间（单位：）之间的关系为:，则时的瞬时速度为（）A. B. C. D.6.高二某班级名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（）A. B. C. D.7.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的一人，则次传球后球在甲手中的概率为（）A. B. C. D.8.设函数，若恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，则（）A. B.C. D.除以的余数是10.某学校有两家餐厅，王同学第天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为，则王同学（）A.第天去餐厅的概率为B.第天去餐厅的概率为C.第天去了餐厅，则第天去餐厅的概率为D.第天去了餐厅，则第天去餐厅的概率为11.双曲正弦函数与型函数是两个重要的函数模型，它们在数学与信息学科中有着广泛的应用，其解析式分别为，则（）A.是增函数B.的值域为C.点是曲线的对称中心D.函数有且只有一个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.请写出函数的一个极值点_________．13.现要用种不同的颜色对一个四棱锥的个面进行着色，要求有公共边的两个面不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数是_________．14.若，其中，则_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值与最小值．16.已知，函数．（1）当时，证明：；（2）已知，证明：，．17.盒中有张相同的卡片，其中标记上号的有张，标记上号的有张．现从盒中取卡片，每次随机取一张且取后不放回，记表示第一次所取卡片的标号．（1）求的分布列；（2）若，求的值；（3）记表示第二次所取卡片的标号，求．18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在和上各恰有一个零点，求的取值范围．19.箱内有个除编号外都相同的小球，编号为．游戏规则如下：从箱中取出一个小球，记下编号并放回，重复这个过程，直至某次取到小球的编号小于或等于上一次取到小球的编号时，游戏停止．记游戏停止时，取球总次数为．（1）若，求和；（2）求，；（3）当为偶数时，记为偶数的概率为，证明：．

数学满分150分.考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则A.4 B.5 C.6 D.7答案：C解析：思路：由组合计算公式的性质得，再由计算公式构建方程，解得答案.解答过程：由题可知，或（舍）故选：C方法提示：本题考查由排列组合公式解方程，属于基础题.2.下列导数运算正确的是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确.3.已知随机变量的分布列为，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意，根据分布列的性质有，解得.4.在的展开式中，若的系数为，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：的展开式的通项为，令，得，所以，解得.5.某质点沿直线运动，位移（单位:）与时间（单位：）之间的关系为:，则时的瞬时速度为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：已知位移函数，对其求导得速度函数：，将代入得.因此时的瞬时速度为.6.高二某班级名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：直接由分步计数原理求解即可．解答过程：由甲同学不能报名足球，可得甲有2种报名方式，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，可得乙有3种报名方式，丙有2种报名方式，丁只有1种报名方式，由分步计数原理可得共有种．7.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的一人，则次传球后球在甲手中的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：设次传球后球在甲手中的概率为，则球不在甲手中的概率为；则次传球后球在甲手中的概率为，即；由题意知，，即数列是首项为，公比为的等比数列；，即;，即次传球后球在甲手中的概率为.8.设函数，若恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据给定条件，按分类讨论，确定函数的最小值并建立的关系，再构造函数并利用导数求出最大值.解答过程：当时，的定义域为，值域为，不恒成立，不合题意；当时，函数的定义域为，函数在上都单调递增，则函数在上单调递增，当时，，不合题意；当时，函数的定义域为，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，因此，解得，则，令函数，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，，所以的最大值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，则（）A. B.C. D.除以的余数是答案：ACD解析：解答过程：展开式的通项为.为展开式的常数项，由得，所以A正确；令，得，所以，所以B不正确；因为是的系数，所以当为奇数时，为负数；当为偶数时，为正数.令，得，所以，所以C正确；，因为均能被整除，所以除以的余数是，所以D正确.10.某学校有两家餐厅，王同学第天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为，则王同学（）A.第天去餐厅的概率为B.第天去餐厅的概率为C.第天去了餐厅，则第天去餐厅的概率为D.第天去了餐厅，则第天去餐厅的概率为答案：AD解析：思路：根据全概率公式求解判断A；再结合对立事件的概率公式求解判断B；根据条件概率公式求解判断CD.解答过程：设“第1天去餐厅用餐”，“第1天去餐厅用餐”，“第2天去餐厅用餐”，“第2天去餐厅用餐”，根据题意得，，，由全概率公式，得，即王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.7，故A正确；而王同学第2天去餐厅用餐的概率为，故B错误；对于C，，即王同学第天去了餐厅，则第天去餐厅的概率为，故C错误；对于D，由，则，，故D正确.11.双曲正弦函数与型函数是两个重要的函数模型，它们在数学与信息学科中有着广泛的应用，其解析式分别为，则（）A.是增函数B.的值域为C.点是曲线的对称中心D.函数有且只有一个零点答案：AD解析：思路：由在上为增函数，可判断A；由求值域可判断B；设，可得则对称中心为，进而可判断C；设，由利用单调性，可得结论判断D.解答过程：对于A项，由在上为增函数，可得在上为增函数，故A正确；对于B项，，因为，所以，所以，所以的值域为，故B错误；对于C项，设，则，因为，所以的对称中心为，故C错误；对于D项，设，则，因为，，所以，所以在上单调递增，又因为，，所以函数有且只有一个零点，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.请写出函数的一个极值点_________．答案：（或）解析：解答过程：对函数求导，根据乘积求导法则得：，令，解得或.当时，当时，故是极大值点；当时，当时，故是极小值点.综上，和均为函数的极值点，写出一个即可.13.现要用种不同的颜色对一个四棱锥的个面进行着色，要求有公共边的两个面不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数是_________．答案：解析：解答过程：如图，对四棱锥的个面进行着色.可先给底面选一种颜色，有种选择，再对侧面和侧面进行着色，若侧面和侧面同色，则有种选择，此时，侧面和侧面各有两种选择，因此，有种着色方法；若侧面和侧面不同色，则有种选择，此时，侧面和侧面只有一种选择，因此，有种着色方法.综上所述，共有种着色方法.14.若，其中，则_________．答案：解析：思路：令，利用二项式定理求和并确定即可计算得解.解答过程：令，由，得，当时，，，因此，由是正整数，得是正偶数，则是正偶数，又是正整数，于是是整数，由，得，则，，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值与最小值．答案：（1）单调增区间为，单调减区间为（2）最小值为，最大值为4．解析：思路：（1）求导后，利用导数的符号可得函数的单调区间；（2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，根据单调性可得最大最小值.（1）∵，∴，由，得或，由，得，∴函数的单调增区间为；单调减区间为．（2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，∴函数的最小值为，又，函数的最大值为4．∴函数在上的最小值为，最大值为4．16.已知，函数．（1）当时，证明：；（2）已知，证明：，．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）利用导数分析函数在上的单调性，从而求得的最小值，证得；（2）根据（1）的结论，结合已知即可证得原不等式成立.（1）函数，.因为，当时，，；当时，，.所以在上单调递减，在上单调递增.所以，所以.（2）由（1）可知，当且时，，即.令，因为，所以，所以.又，所以，所以所以.即，得证.17.盒中有张相同的卡片，其中标记上号的有张，标记上号的有张．现从盒中取卡片，每次随机取一张且取后不放回，记表示第一次所取卡片的标号．（1）求的分布列；（2）若，求的值；（3）记表示第二次所取卡片的标号，求．答案：（1）分布列见解析（2）（3）解析：思路：（1）根据古典概率模型的概率直接求出的值，即可得到分布列；（2）由（1）求得的数学期望，根据期望的性质列出方程，即可求出的值；（3）利用条件概率及全概率公式可求得．（1）的可能取值为，则，，，，则的分布列为：（2）由（1）可知，.因为，由期望的性质可得，即，解得.（3）记事件“第二次所取卡片的标号大于”，由（1）可知，所以，，所以，所以.18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在和上各恰有一个零点，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先算出切点,再求导算出斜率即可；（2）将的零点问题，转化为研究的零点，再对分，和讨论即可.（1）当时，，，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）函数与函数的零点相同．令，当时，若，恒成立，不合题意下面讨论的情形：此时，设，，当时，在区间上恒成立，又，即在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，所以，不合题意当时，易知在区间上单调递增，又因为，，所以存在唯一的使得当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增所以是的极小值点，所以又因为，，所以存在使得，即当时，，在区间上单调递增当时，，在区间上单调递减当时，，在区间上单调递增考虑函数，，得，所以在上单调递增，在单调递减，且时所以，，即，取，，又因为，所以当时，，故，且已证在内可取到负值，故在上存在唯一零点；即在上存在唯一零点同理，取，，又因为，所以当时，，故，所以在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，综上，的取值范围为.19.箱内有个除编号外都相同的小球，编号为．游戏规则如下：从箱中取出一个小球，记下编号并放回，重复这个过程，直至某次取到小球的编号小于或等于上一次取到小球的编号时，游戏