2025-2026学年山东省德州市高二下册期中考试数学试题 含答案

/数学第I卷选择题（共58分）一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.已知函数在处的导数为1，则（）A. B. C.1 D.22.已知等差数列的前项和为，若，则（）A. B. C.39 D.783.下列求导正确的是（）A. B.C. D.4.下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量（单位：t）与相应的生产能耗（单位：t标准煤）的几组数据：4567标准煤3.23.85.3根据数据可得到的回归方程为，则（）A.4.6 B.4.55 C.4.5 D.4.355.敦煌莫高窟的藻井图案具有独特的几何美感.某藻井图案的构造规则如下：最外层（第1层）是一个边长为4的正方形，连接该正方形各边的中点得到第2层正方形，再连接第2层正方形各边的中点得到第3层正方形⋯，以此类推.则第6层正方形的边长为（）A. B. C.1 D.6.已知等差数列的前项和为，则（）A.2 B.5 C.7 D.87.已知等比数列中，，函数，则（）A.256 B.512 C.1024 D.20488.已知数列中，，若成立，则正整数的最大值为（）A.6 B.8 C.10 D.12二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列选项正确的是（）A.若回归方程为，则当变量增加1个单位时，增加3个单位B.设具有相关关系的两个变量x、y的相关系数为r，越接近于1，说明两个变量之间的线性相关性越强C.利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关性越弱D.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为，若其中一个散点坐标为，则10.已知数列满足，则（）A.B.的前项和为C.的前99项和为99D.若数列满足，则的前50项和为213211.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：且（为正整数），设数列的前项和为，则（）A.若，则B.若，则C.若，要经过12步雹程使得D.若，则所有可能的取值集合为第II卷非选择题（共92分）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.如图，函数的图象在点处的切线方程是，则__________.13.已知等比数列的前项和为，若，则__________.14.将闭区间均分为五段，去掉中间的区间段，余下的区间段长度之和为，再将余下的四个区间分别均分为五段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度之和为.以此类推，不断地将余下各个区间均分为五段，并各自去掉中间的区间段.重复这一过程，记数列表示第次操作后余下的区间段长度之和.则__________；若，都有恒成立，则实数的取值范围是__________.（区间段长度是指数轴上一个区间的两个端点之间的距离，如的区间段长度为）.四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知数列的前项和为，数列是等差数列，且.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.16.已知，其中为实数，曲线在处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）若曲线是曲线的切线，且经过点，求的方程.17.某车企计划在A市优化无人快递车的投放量，为测试运行稳定性，并确定投放规模，进行如下调查.（1）为了测试无人快递车的运行稳定性，随机抽取了200辆进行运行测试，得到部分数据，请完成列联表，并回答：有的把握认为无人快递车故障与是否维保有关吗？维保未维保合计故障1240未故障合计120200（2）对过去的投放量（单位：百辆）与服务次数（单位：万次）的数据进行了统计，得到如下表格：123456751332792005011259拟用函数模型或对两个变量的关系进行拟合.请问哪个模型更适宜作为投放量与服务次数的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程.参考公式：，其中..参考数据：0.10.050.012.7063.8416.635.298.41.91326264.4218.已知数列满足，且.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.19.已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求证：；（3）设，数列的前项和为.若对恒成立，求实数的取值范围.

数学第I卷选择题（共58分）一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.已知函数在处的导数为1，则（）A. B. C.1 D.2答案：C解析：思路：根据导数的概念即可求解.解答过程：因为函数在处的导数为1，即，而，所以.2.已知等差数列的前项和为，若，则（）A. B. C.39 D.78答案：C解析：思路：根据等差数列的性质“若，则”求出即可求解.解答过程：因为是等差数列，所以，而，所以，解得.所以.3.下列求导正确的是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：本题需要根据导数的基本公式和运算法则，分别对选项中的函数求导，再判断其正确性.解答过程：对于A，因为是常数，所以，所以A错误；对于B，，所以B正确；对于C，，所以C错误；对于D，，所以D错误.4.下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量（单位：t）与相应的生产能耗（单位：t标准煤）的几组数据：4567标准煤3.23.85.3根据数据可得到的回归方程为，则（）A.4.6 B.4.55 C.4.5 D.4.35答案：C解析：思路：求出，根据回归直线必过样本中心点，代入求解即可.解答过程：依题意，，，因为回归直线必过样本中心点，所以，解得.5.敦煌莫高窟的藻井图案具有独特的几何美感.某藻井图案的构造规则如下：最外层（第1层）是一个边长为4的正方形，连接该正方形各边的中点得到第2层正方形，再连接第2层正方形各边的中点得到第3层正方形⋯，以此类推.则第6层正方形的边长为（）A. B. C.1 D.答案：B解析：解答过程：设第层正方形边长为，则，即，可知数列是以为首项，为公比的等比数列，则，可得.6.已知等差数列的前项和为，则（）A.2 B.5 C.7 D.8答案：A解析：思路：根据等差数列前项和定义，求出，进而得到，再根据，求出，利用求得答案.解答过程：依题意，，所以公差，又，所以，即，又，解得.7.已知等比数列中，，函数，则（）A.256 B.512 C.1024 D.2048答案：A解析：解答过程：根据积的求导法则，，则，等比数列中，，则，所以.8.已知数列中，，若成立，则正整数的最大值为（）A.6 B.8 C.10 D.12答案：D解析：思路：根据递推公式得出数列是等差数列，根据它的通项公式可得到的通项公式，进而得到的表达式，根据已知不等式得到一个关于n的不等式，解不等式即可求解.解答过程：因为，所以，又，所以，即数列是正数列，所以，即，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，所以.所以，所以，所以，即，解得.所以正整数的最大值为12.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列选项正确的是（）A.若回归方程为，则当变量增加1个单位时，增加3个单位B.设具有相关关系的两个变量x、y的相关系数为r，越接近于1，说明两个变量之间的线性相关性越强C.利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关性越弱D.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为，若其中一个散点坐标为，则答案：AB解析：解答过程：对于选项A：因为回归方程为，所以当变量增加1个单位时，增加3个单位，故A正确；对于选项B：越接近于1，说明两个变量之间的线性相关性越强，故B正确；对于选项C：的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关，故C错误；对于选项D：回归直线不一定经过样本点，无法求参数的值，故D错误.10.已知数列满足，则（）A.B.的前项和为C.的前99项和为99D.若数列满足，则的前50项和为2132答案：ABD解析：思路：对于A，构造，相减求通项；对于B，根据通项证得为等差数列，进而求得前项和；对于C，两项并一项，并项为常数列求和；对于D，分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出.解答过程：由，当时，，两式相减得，，即，当时，也适合上式.所以，故A正确；因为，故数列是以3为首项，2为公差的等差数列，所以的前项和为，故B正确；数列的前项和为，故C错误；，则前项和为，故D正确.11.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：且（为正整数），设数列的前项和为，则（）A.若，则B.若，则C.若，要经过12步雹程使得D.若，则所有可能的取值集合为答案：AC解析：思路：该题以冰雹猜想递推关系为背景,考查数列周期性、求和与逆向推理.解答过程：选项A：若，则，，，，易得周期为3，即，故A正确；选项B：周期为3，一个周期和为，因为，故，B错误；选项C：，依次得：，

共12步到1，C正确；选项D：逆推，依次往前推得所有可能初始值：已知，由后往前推.逆推规则：设，若为偶数，则；若能被3整除且结果为正奇数，则,所以递推如下：①由：，②由：，③由：或，(1)取，④由：，⑤由：或，⑥分两种情况：若，则；或，若，则；或；(2)

取，，；，；①

②，的所有可能取值为，D错误.第II卷非选择题（共92分）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.如图，函数的图象在点处的切线方程是，则__________.答案：3解析：思路：借助导数的几何意义计算即可得.解答过程：，，则.13.已知等比数列的前项和为，若，则__________.答案：150解析：解答过程：由等比数列前n项和的性质可知，仍然成等比数列，所以可看作是这个数列的前4项的和，由，可知.14.将闭区间均分为五段，去掉中间的区间段，余下的区间段长度之和为，再将余下的四个区间分别均分为五段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度之和为.以此类推，不断地将余下各个区间均分为五段，并各自去掉中间的区间段.重复这一过程，记数列表示第次操作后余下的区间段长度之和.则__________；若，都有恒成立，则实数的取值范围是__________.（区间段长度是指数轴上一个区间的两个端点之间的距离，如的区间段长度为）.答案：①.；②.解析：思路：求出，且只需，构造数列，求出数列的最大值，得到取值范围解答过程：，，，故为公比为的等比数列，，又，，故，即，则只需，设，则，令得，即，解得，又，故，此时，令得，又，即当时，，所以的最大值为，所以，实数的取值范围是四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知数列的前项和为，数列是等差数列，且.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.答案：（1），（2）解析：思路：（1）由的关系求数列的通项公式，根据等差数列的定义求的通项公式；（2）根据等差数列、等比数列的求和公式，利用分组求和得解.（1）当时，，当时，，经检验，时符合上式，所以，.由上可知，，设的公差为，则，所以，，即.（2）由（1）得，则数列的前项和为：，，，，所以，数列的前项和.16.已知，其中为实数，曲线在处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）若曲线是曲线的切线，且经过点，求的方程.答案：（1），（2）或解析：（1），由曲线在点处的切线方程为，切点为，斜率，可得，即，，解得．（2）曲线，求导得，设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率，所以切线方程为，由于切线过点，得，化简为，即，解得或，故所求的切线方程为或．方法提示：易错归纳：需注意，切线过点，这个点不一定是切点．17.某车企计划在A市优化无人快递车的投放量，为测试运行稳定性，并确定投放规模，进行如下调查.（1）为了测试无人快递车的运行稳定性，随机抽取了200辆进行运行测试，得到部分数据，请完成列联表，并回答：有的把握认为无人快递车故障与是否维保有关吗？维保未维保合计故障1240未故障合计120200（2）对过去的投放量（单位：百辆）与服务次数（单位：万次）的数据进行了统计，得到如下表格：123456751332792005011259拟用函数模型或对两个变量的关系进行拟合.请问哪个模型更适宜作为投放量与服务次数的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程.参考公式：，其中..参考数据：0.10.050.012.7063.8416.635.298.41.91326264.42答案：（1）维保未维保合计故障122840未故障10852160合计12080200有的把握认为故障与维保有关（2）适宜，解析：（1）补充列联表如下：维保未维保合计故障122840未故障10852160合计12080200则，有的把握认为故障与维保有关．（