2025-2026学年山东省济南第三中学等高一下册期中学情检测数学试题 含答案

/数学第Ⅰ卷选择题一、单选题:每小题5分，共40分.每题的四个选项，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（i为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C. D.2.下列命题正确的是（

）A.三个点可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面C.两条直线可以确定一个平面 D.长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体3.在中，内角、、的对边分别为、、，，，，则（）A. B. C.或 D.4.圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.5.已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.6.在中，若，，，则三角形解的个数为（）A.0个 B.1个 C.2个 D.不确定7.如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（）A. B. C. D.8.图1为迪拜世博会中国馆，建筑名为“华夏之光”，外观取自中国传统灯笼，寓意希望和光明.它的形状可视为内外两个同轴圆柱.某爱好者制作了一个迪拜世博会中国馆的实心模型（如图2），已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在同一个球面上若该模型的表面积为，则此模型外接球的体积为（）

A. B. C. D.二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数的实部为，则下列说法正确的是（）A.复数的虚部为 B.在复平面内对应的点位于第三象限C. D.复数的共轭复数10.已知向量，满足，，则下列结论正确的是（）A. B.C.存在非零实数，使得 D.向量与的夹角为11.如图，在棱长为1的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，点满足，，下列说法正确的是（）A.平面B.若Q，M，N，P四点共面，则C.若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为D.若，则以为顶点，以过M、N、Q三点作该正方体的截面为底面的棱锥的表面积为第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，若，则_________.13.如图，是水平放置的的直观图，则的周长为________．14.如图，在平面四边形中，，，，，则______，四边形的面积为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数．（1）若为纯虚数，求的值；（2）若为实数，求的值；（3）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．16.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点．（1）求证：BC∥AD；（2）求证：CE∥平面PAB．17.如图，已知正方形的边长为2，F为的中点，.（1）若，求的值；（2）求的取值范围.18.已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边,且，（1）求；（2）若，的面积为，求的周长；（3）若，求周长的取值范围.19.如图1，设半圆的半径为2，点三等分半圆，，，分别是，，的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥如图在图2中完成下列各题.（1）求在圆锥中的线段的长；（2）求四面体的体积；（3）若是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由.

数学第Ⅰ卷选择题一、单选题:每小题5分，共40分.每题的四个选项，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（i为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由复数的除法运算消去分母的即可求解.解答过程：由题意得，所以的虚部为.2.下列命题正确的是（

）A.三个点可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面C.两条直线可以确定一个平面 D.长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体答案：D解析：思路：根据平面的基本性质求解.解答过程：三个不共线的点可以确定一个平面，A错误；一条直线和直线外一点可以确定一个平面，B错误；两条异面直线不能确定平面，C错误.长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体，D正确.故选：D.3.在中，内角、、的对边分别为、、，，，，则（）A. B. C.或 D.答案：C解析：思路：利用正弦定理求解即可.解答过程：因为，，，则，故，由正弦定理得，由于，故或.4.圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设圆锥的底面圆半径为，由圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，得该三角形面积为，解得，圆锥的母线，所以该圆锥的侧面积为.5.已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：，，，向量在上的投影向量为.6.在中，若，，，则三角形解的个数为（）A.0个 B.1个 C.2个 D.不确定答案：C解析：思路：先求出，再由正弦定理求出角B即可得解.解答过程：由题，所以，又，所以，所以且由正弦定理，所以由得或，故三角形解的个数为2.故选：C.7.如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据向量线性运算先利用表示，再表示，再根据求结论.解答过程：因为是的中点，所以，因为是的靠近的三等分点，所以，所以．8.图1为迪拜世博会中国馆，建筑名为“华夏之光”，外观取自中国传统灯笼，寓意希望和光明.它的形状可视为内外两个同轴圆柱.某爱好者制作了一个迪拜世博会中国馆的实心模型（如图2），已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在同一个球面上若该模型的表面积为，则此模型外接球的体积为（）

A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据圆柱的外接球性质以及几何体的表面积列式可得球的半径，进而可得球的体积.解答过程：设内、外层圆柱的高分别为，外接球的半径为，由题意可得：，解得，所以此模型外接球的体积为.二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数的实部为，则下列说法正确的是（）A.复数的虚部为 B.在复平面内对应的点位于第三象限C. D.复数的共轭复数答案：ABC解析：思路：利用复数乘法运算，复数相关的概念，复数对应点的坐标的特性，复数模的计算公式和共轭复数的概念逐项分析即可.解答过程：因为，且复数的实部为，所以，解得：，所以，对于A，由，所以复数的虚部为，故A正确；对于B，由复数在复平面内对应的点为，该点位于第三象限，故B正确；对于C，由，故C正确；对于D，由复数的共轭复数，故D错误.10.已知向量，满足，，则下列结论正确的是（）A. B.C.存在非零实数，使得 D.向量与的夹角为答案：ABD解析：思路：由，可判定A正确；利用向量模的计算公式，可判定B正确；结合向量共线的坐标表示，列出方程，求得的值，可判定C不正确；利用向量的夹角公式，可判定D正确.解答过程：对于A，由，所以，所以A正确；对于B，由，，所以，所以B正确；对于C，由，若，可得，解得，所以不存在非零实数，使得，所以C错误；对于D，由，可得，且，设向量与的夹角为，可得，因为，所以，所以D正确.11.如图，在棱长为1的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，点满足，，下列说法正确的是（）A.平面B.若Q，M，N，P四点共面，则C.若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为D.若，则以为顶点，以过M、N、Q三点作该正方体的截面为底面的棱锥的表面积为答案：ACD解析：思路：对于A，由面面平行的性质可得；对于B，延展平面可得平面过的中点，可得；对于C，先找到的轨迹，再由几何关系算出长度；对于D，若，确定正六边形相关边长，进而求其表面积.解答过程：对于A，在正方体中平面平面，平面，故平面，故正确；对于B，延展平面，结合平面的基本性质及正方体的结构特征得截面如图（2），易知平面过的中点，所以，错误；对于C，如图（1），若，取的三等分点(靠近)，的中点，则，平面，平面，故平面，同理平面，又且都在平面，所以平面平面，当点在线段上时，平面，则满足平面，所以即为的轨迹，由，得，正确；对于D，如图（2），，则正六边形的面积为，的面积为，所以棱锥的表面积为，故正确.故选：ACD第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，若，则_________.答案：0解析：解答过程：因为向量，所以，若，则，解得.13.如图，是水平放置的的直观图，则的周长为________．答案：解析：思路：根据斜二测画法的规则得到直角三角形的直角边长，用勾股定理求出斜边长可得结果.解答过程：根据斜二测画法的规则可知，，，，所以，所以的周长为.故答案为.方法提示：关键点点睛：掌握斜二测画法的规则是解题关键.14.如图，在平面四边形中，，，，，则______，四边形的面积为______.答案：①.②.解析：思路：在中，利用余弦定理，求得和，得到，再由两角差的正弦公式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.解答过程：在中，，，且，由余弦定理得，可得,又由，可得因为，则，所以,，所以四边形的面积为.四、解答题：本大题共5小题，共77分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数．（1）若为纯虚数，求的值；（2）若为实数，求的值；（3）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．答案：（1）（2）或（3）解析：思路：（1）（2）（3）利用复数的定义，以及复数的几何意义，列出相应的关系式，即可求解.（1）由复数，因为复数为纯虚数，可得，解得．（2）由复数为实数，可得，解得或．（3）由复数在复平面内对应的点位于第二象限，则满足，解得，即的取值范围为．16.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点．（1）求证：BC∥AD；（2）求证：CE∥平面PAB．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）根据线面平行的性质定理即可证明；（2）取PA的中点F，连接EF，BF，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明．（1）在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD．（2）取PA的中点F，连接EF，BF，∵E是PD的中点，∴EF∥AD，，又由（1）可得BC∥AD，且，∴BC∥EF，BC＝EF，∴四边形BCEF是平行四边形，∴EC∥FB，∵EC⊄平面PAB，FB⊂平面PAB，∴EC∥平面PAB．17.如图，已知正方形的边长为2，F为的中点，.（1）若，求的值；（2）求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）建立平面直角坐标系，表示出，进而根据求解即可；（2）先结合（1）表示出，进而求解即可.（1）如图所示，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，，，，，所以，，因为，则，解得.（2）由（1）知，，，则，当时，，即的取值范围是.18.已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边,且，（1）求；（2）若，的面积为，求的周长；（3）若，求周长的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案；（2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长.（3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案.（1）在中，因为，所以，即，因为所以，故，则；（2）因为的面积为，即，所以.由余弦定理得.解得,所以周长为.（3）由正弦定理得，即，则，因为为锐角三角形，则，故，所以，则，故，故周长的取值范围为.19.如图1，设半圆的半径为2，点三等分半圆，，，分别是，，的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥如图在图2中完成下列各题.（1）求在圆锥中的线段的长；（2）求四面体的体积；（3）若是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由.答案：（1）（2）（3）在线段OB上存在点E，且=3，证明见解析解析：思路：（1）将此半圆以为母线卷成一个圆锥后，点、为圆锥的底面圆周的三等分点，为等边三角形，通过外接圆半径计算边长，再由计算中位线的长度；（2）将此半圆以为母线卷成一个圆锥后，母线长为原半圆半径，底面圆周长为原半圆弧长，计算出半径后