2027届高考数学一轮总复习8.4直线与圆、圆与圆的位置关系【课件】

第4节直线与圆、圆与圆的位置关系课标解读

1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.强基础•固本增分1.直线与圆的位置关系设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.位置关系方法几何法代数法相交d

r

Δ

0

相切d

r

Δ

0

相离d

r

Δ

0

<>==><位置关系方法几何法:圆心距d与r1,r2的关系代数法:两圆方程联立组成方程组的解的情况外离

实数解

外切

实数解

相交

实数解

内切d=|r1-r2|(r1≠r2)

内含0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)

d>r1+r2无d=r1+r2一组|r1-r2|<d<r1+r2两组不同的

一组实数解无实数解3.几个常用结论(1)圆的切线方程的常用结论①过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.③过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线的方程为x0x+y0y=r2.(2)圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交时,公共弦所在直线的方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.[自主诊断]1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.(

)(2)若两圆没有公共点,则两圆一定外离.(

)(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.(

)(4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2(r1,r2分别为两圆半径,d为圆心距).(

)×解析

直线与圆有公共点,则直线与圆相切或相交,故错误.×解析

两圆没有公共点,则两圆外离或内含,故错误.×解析

若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;若两圆有且只有一个公共点,则两圆外切或内切,故错误.√2.(人A选一教材习题改编)直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为(

)A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离B

3.(人A选一教材例题改编)圆x2+y2-2y=0与x2+y2-4=0的位置关系是(

)A.相交

B.内切C.外切

D.内含B解析

两圆方程可化为x2+(y-1)2=1,x2+y2=4.两圆圆心分别为O1(0,1),O2(0,0),半径分别为r1=1,r2=2.因为|O1O2|=1=r2-r1,所以两圆内切.故选B.

B

6.已知圆O1:x2+y2=5与圆O2:x2+y2-2x-4y=0相交于A,B两点,则|AB|=

.

研考点•精准突破考点一直线与圆的位置关系例1

(多选题)(2021·新高考Ⅱ,11)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(

)A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切ABD

规律方法

判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d与半径r的关系.(2)代数法:联立方程之后利用解的情况判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.[对点训练1](2026·湖北武汉模拟)已知直线l:ax+by=r2,圆C:x2+y2=r2(r>0),则“点P(a,b)在圆C外”是“直线l与圆C相交”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C

考点二圆的弦长、切线问题

C

规律方法

直线被圆截得的弦长的两种方法

B

角度2

切线问题例3

(1)(多选题)(2025·河北邯郸一模)已知直线l过点(2,1),且直线l与圆C:x2+y2-2x+2y-2=0相切,则直线l的方程可能是(

)A.y=1 B.x=2C.4x+3y-11=0 D.3x-4y+3=0AC

B

规律方法

求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,再求切线方程.若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时注意斜率不存在的切线.

A

B

教考衔接(人A选一教材习题)已知圆x2+y2=4,直线l:y=x+b.b为何值时,圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1?

A

规律方法

1.涉及圆上点到定直线距离的点的个数问题,解题关键是先确定圆心坐标、半径及圆心到定直线的距离,再根据圆上点到直线距离的分布规律,通过列d与r的不等式(或等式)求解参数取值范围.2.涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题,解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式,利用求函数值域的方法求得结果