第9讲 指数与指数函数的图像与性质【16个核心题型归纳】【原卷版及解析】2027届高三数学一轮复习

2027届高考数学一轮复习题型全归纳2/45第9讲指数与指数函数的图像与性质题型总览题型总览总览核心题型归纳（目录）模块一模块一核心题型·举一反三【题型1】指数与指数幂的运算核心知识1根式性质2分数指数幂定义3指数幂运算律方法技巧 化根式为分数指数幂统一形式后再运算 先化简再求值优先处理负指数零指数分数指数 同底数幂优先合并不同底数化为同底后再运算【经典例题1】（2026·天津和平·三模）已知a=1log53，3bA．225 B．165 C．45【经典例题2】（24-25高一下·北京·阶段检测）（1）1（2）2【巩固练习1】（25-26高一下·北京·阶段检测）求值：1.5−1【巩固练习2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知3a=2,log9【巩固练习3】（25-26高一上·广东揭阳·阶段检测）计算下列各式的值：(1)271(2)log3【题型2】指数应用题型核心知识1常见模型增长率模型衰减模型复利模型2关键概念初始量增长率时间终值方法技巧 建模步骤确定初始量增长率/衰减率时间变量写出指数表达式 单位统一时间单位需与增长率周期一致 特殊值检验代入验证初始量是否正确【经典例题1】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0℃时的保鲜时间是192小时，在20℃时的保鲜时间是24小时，则该食品在30℃时的保鲜时间是【经典例题2】（2025高二上·河南·学业考试）已知放射性元素氡的半衰期是3.82天．质量为C0的氡经过t天衰变后，其质量为原来的164，则t=（A．488.96 B．122.24 C．22.92 D．19.10【巩固练习1】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么t min后物体的温度θ（单位：℃）可由公式θ=θ0+(θA．3min B．4min C．5min D．6min【巩固练习2】（25-26高三上·四川·阶段检测）一种质量为1kg的物质，在化学分解中，经过时间t（单位：min）后，所剩的质量m（单位：kg）与时间t的函数关系为m=akt（a，k均为参数，a>0且a≠1）.已知1kg的该物质，在化学分解中，经过t1min后，所剩的质量为0.5kgA．t1=tC．t1=4t【巩固练习3】（25-26高一上·安徽·阶段检测）预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是Pn=P0(1+k)nk>−1，其中Pn为预测期人口数，A．若在某一时期内−1<k<0，则这期间人口数呈下降趋势B．若在某一时期内k>0，则这期间人口数呈上升趋势C．若在某一时期内0<k<1，则这期间人口数呈摆动变化D．若在某一时期内k=0，则这期间人口数不变【题型3】指数函数的定义与判断核心知识1指数函数标准形式2判定条件底数且指数为自变量系数为13常见非指数函数（幂函数）方法技巧 三步判定一看底数范围二看指数是否为纯三看系数是否为1 易错提醒注意区分指数函数与幂函数指数函数底数为常数幂函数指数为常数【经典例题1】（2026高一·全国·专题练习）若y=a2−3a+3A．a=1 B．a=2C．a=3 D．a>0且a≠1【经典例题2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数y=ax+b（a>0且a≠1）的图像过点1,4，其反函数的图像过点2,0，求a【巩固练习1】（24-25高一上·重庆渝中·期中）已知指数函数fx=a−1bx的图象经过点−1,A．12 B．22 C．2【巩固练习2】（24-25高一上·重庆渝中·期末）对于任意a>0且a≠1，函数fx=amx+b+b的图象恒过定点1,2.若fx【巩固练习3】（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）函数fx=axa>0且a≠1的图象过点2,9，则A．13 B．3 C．19【题型4】指数函数的定义域核心知识1标准指数函数定义域为2复合型指数函数定义域限制来源分母不为0偶次根号下非负对数真数大于0等方法技巧 分层分析先看指数部分的定义域限制再结合指数函数性质 关键提醒指数函数本身无额外限制定义域问题均来自指数部分的复合结构【经典例题1】（25-26高一上·天津·阶段检测）函数y=152x−1【经典例题2】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的定义域与值域(1)y=2(2)y=2【巩固练习1】（24-25高一上·广东广州·期中）函数fx=9−【巩固练习2】（24-25高一下·辽宁·开学考试）函数f(x)=2x2xA． B．C． D．【巩固练习3】（24-25高三上·山东青岛·期末）函数f(x)=axax−a（a>0且a≠1）的图象关于点【题型5】指数函数的图像变换核心知识1平移变换左加右减上加下减2对称变换与关于轴对称与关于轴对称3伸缩变换水平伸缩压缩拉伸垂直伸缩方法技巧 变换顺序平移变换优先于伸缩变换或先伸缩再平移时注意平移量调整 定点追踪指数函数过定点可通过追踪定点位置判断变换结果【经典例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象．(1)y=x+2(2)y=1【经典例题2】（2026高三·全国·专题练习）函数y=ax−1aA． B．C． D．【巩固练习1】（2026高三·全国·专题练习）已知a>0，且a≠1，若函数y=ax−2与y=3a的图像有两个交点，则实数a【巩固练习2】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)=

A．

B．

C．

D．

【巩固练习3】（25-26高一上·湖北宜昌·期末）若a>1，则y=1ax与y=A． B．C． D．【题型6】指数函数型函数的奇偶性核心知识1奇偶性定义为偶函数为奇函数2常见奇偶指数型函数（奇函数）（偶函数）方法技巧 判定步骤先看定义域是否关于原点对称再计算并与对比 化简技巧利用统一底数形式再整理判断关系【经典例题1】（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）设a>0，函数fx=exa+a【经典例题2】（25-26高一上·浙江杭州·期末）若fx=x+a⋅2A．−1 B．0 C．12 【巩固练习1】（2025·湖南岳阳·一模）若函数fx=k+eexA．−e2 B．e2 C．−【巩固练习2】（2024·全国·模拟预测）已知fx=aexe2x−1+bA．−4 B．−2 C．4 D．6【巩固练习3】（23-24高三上·甘肃·月考）已知fx=ax【题型7】指数函数的单调性核心知识1标准指数函数单调性时在上单调递增时在上单调递减2复合型指数函数单调性遵循同增异减原则结合内层函数单调性判断方法技巧 底数分类讨论优先分和两种情况 复合分析先确定内层函数的单调区间再结合外层指数函数的增减性判断整体单调性【经典例题1】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数f(x)=e−x2+ax+2a在(1,2)上单调递减，则A．13,1 B．[0,4] C．[0,1] 【经典例题2】（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知函数fx(1)用定义证明函数fx在0,+(2)解不等式f2x【巩固练习1】（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数fx=0.6x2−2ax在A．−∞,−1 B．1,+∞ C．2,+【巩固练习2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数fx=12ax2A．0,13 B．−∞,1【巩固练习3】（25-26高一上·天津河东·期末）已知函数y=12【题型8】指数型函数的值域核心知识1标准指数函数值域为2复合型指数函数值域换元法令先求的范围再求的范围最后结合外层函数求值域方法技巧 换元三步法换元求的范围求外层函数的值域 边界注意指数函数值域恒大于0注意等号能否取到【经典例题1】（2026高三·全国·专题练习）若函数y=a2x+2ax−1(a>0,a≠1)在区间−1,1A．3 B．13 C．3或13 【经典例题2】（2026·河南开封·模拟预测）已知a>0，且a≠1，若函数fx=3−ax+1,x<1ax,x≥1A．12,1 B．1,2 C．2,3 【巩固练习1】（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数fx=−x2+2x+3,x≤2,ax,x>2（a>0且a≠1【巩固练习2】（2026·贵州六盘水·一模）已知函数fx=mx+1,x<2−2−x,x≥2A．−58,−12 B．−【巩固练习3】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数f(x)=kax−a−x(a>0(1)若f(1)>0，求不等式fx(2)若f(1)=32，且g(x)=a2x+【题型9】利用单调性比较指数的大小核心知识1同底不同指数利用指数函数单调性比较2同指数不同底利用幂函数单调性或中间量比较3不同底不同指数引入中间量（如01）比较方法技巧 分类比较先判断底数是否相同指数是否相同再选择对应方法 中间量法优先判断各数与01的大小关系再排序【经典例题1】（2026高一·全国·专题练习）若0<a<1<b，则（）A．aa<bC．ba<a【经典例题2】（2026·重庆北碚·模拟预测）设a=23，A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．b>c>a【巩固练习1】（2026·云南·模拟预测）已知a=21.1,b=A．a>c>b B．b>c>aC．a>b>c D．b>a>c【巩固练习2】（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知13<(A．aa<ab<ba B．【巩固练习3】（25-26高一下·北京·阶段检测）已知定义在R上的函数fx在2,+∞上是减函数，且函数y=fx+2为偶函数，若a=f0.80.7，b=f0.80.9【题型10】解指数不等式核心知识1指数不等式基本解法同底化利用指数函数单调性去掉底数2含参数指数不等式需分类讨论底数的范围（或）方法技巧 同底化步骤将不等式两边化为同底数幂再根据单调性转化为指数的不等式 分类讨论底数含参数时先分和两种情况再分别求解【经典例题1】（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数fx=x+3,x<02x+2−xA．−∞,1 B．−∞,53【经典例题2】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数fx=3x+【巩固练习1】（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知函数fx的定义域为R，fx+1为偶函数，且对任意的x1,x2∈1,+∞（x【巩固练习2】（2025·四川成都·一模）不等式4x+1−A．x∣x<log23 B．x x>log【巩固练习3】（25-26高一上·全国·阶段检测）已知均定义在R上的奇函数fx与偶函数gx满足fx+gx【题型11】与指数函数图像有关的综合计算核心知识1指数函数图像过定点结合图像的增减性过定点渐近线分析2图像交点问题转化为方程求解或利用图像性质分析交点个数方法技巧 图像分析法画出大致图像利用图像的高低位置判断大小关系或解的个数 定点法利用指数函数过定点的性质快速排除错误选项【经典例题1】（2026·江苏·模拟预测）已知A,B两点在函数fx=4xx>0的图象上，C,D两点在函数gx=2xx>0的图象上，且AD平行于x轴，AC和BD平行于y【经典例题2】（25-26高一上·云南昆明·期末）设平行于x轴的直线l与函数y=ex和y=ex+2的图象分别交于A,B两点，若在y=ex的图象上存在点C【巩固练习1】（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知函数fx=2x−1x+1和gx=ax−2（其中a>0且a≠1【巩固练习2】（24-25高一上·河南郑州·期末）设平行于x轴的直线与函数y=ex和y=ex+2的图象分别交于点A,B，若在y=ex的图象上存在点C【巩固练习3】（25-26高一上·全国·单元测试）如图，矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为______．【题型12】指数函数的图像与性质综合核心知识1综合应用结合定义域值域单调性奇偶性图像变换等性质解题2常见考点函数图像判断性质综合应用与其他函数的综合题方法技巧 逐项排除利用性质逐一排除不符合条件的选项 特殊值法代入特殊点（如）快速判断函数性质【经典例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数fx=b⋅ax（其中a，b为常数，且a>0，a≠1）的图象经过点A1,6(1)求fx(2)若不等式1ax+1b【经典例题2】（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数fx(1)判断函数fx(2)若存在实数x∈−1,2，使得fk⋅4(3)若关于x的不等式fx2−2bfx−3【巩固练习1】（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知函数fx=a(1)若函数fx在−∞,1和1,+(2)若a=1，求ℎx(3)若a<0，不等式ℎx≤9在0,1【巩固练习2】（24-25高二下·北京·期末）已知函数fx、gx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且(1)证明：fx−g−x=2⋅3(2)直接说明函数gx的单调性，并解关于x不等式：g(3)设px=3x−23x+2，ℎx【巩固练习3】（2025高一上·山东枣庄·专题练习）已知奇函数fx=a·(1)求实数a,b的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；(3)当x∈[1,2]时，2+mf(x)+2x>0模块二模块二学有余力·拓展提升【题型13】指数型对勾函数核心知识1标准形式2换元转化令则函数化为（对勾函数）3性质值域当时单调递减区间单调递增区间方法技巧 换元优先先换元确定再套用对勾函数性质 极值点定位极小值点对应【经典例题1】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知偶函数f(x)=ex+a(1)求实数a的值；(2)已知g(x)=ex−ae−x，（i）判断函数ℎ(x)在R上的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论；（ii）若对∀x∈R，不等式ℎ(ℎ(x))+ℎ(−m)>0恒成立，求实数m【巩固练习1】（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）已知e是自然对数的底数，函数fx(1)求证：fx(2)求不等式f2x【巩固练习2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数fx(1)若关于x的不等式f2x−mfx(2)设函数gx=fx+x−3【题型14】指数型飘带函数核心知识1标准形式2换元转化令则函数化为（飘带函数）3性质值域当时在上单调递增当时在上单调递减方法技巧 单调性速判外层飘带函数在恒增内层指数函数的增减性决定整体单调性 奇偶性判断当时为奇函数其余情况非奇非偶【经典例题1】（25-26高一上·北京西城·期末）已知函数fx=2x+a⋅2条件①：fx是奇函数；条件②：f(1)求实数a的值；(2)判断fx在区间0,+(3)设gx=lnfx注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【巩固练习1】（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数fx=3(1)若集合A=x∣fx≥0，B={x(2)设gx=f2x−2afx，且g【巩固练习2】（24-25高一上·贵州安顺·期末）已知定义在R上的函数f(x)=ax−a−x(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明；(2)若f(1)=32，函数g(x)=a2x+(3)若a>1，ℎ(x)=a|x|−|f(x)|，对任意x∈[λ,λ+1]，不等式ℎ(x+λ)≤【题型15】指数型一次/一次函数核心知识1标准形式2换元转化令则函数化为（一次分式函数）3核心方法分离常数法再结合分析值域和单调性方法技巧 分离常数法拆分出常数项简化分式部分的分析 值域分析结合的范围求分式部分的取值范围再确定整体值域【经典例题1】（24-25高一上·四川巴中·期末）已知函数fx=a−(1)求a的值；(2)解不等式：fx(3)若实数m满足f2m2【经典例题2】（25-26高一上·四川成都·期末）（多选）已知fxA．a=1 B．fx在x∈C．f0.3x>f0.3的解集为−∞【巩固练习1】（25-26高一上·福建莆田·期中）（多选）已知函数fx=2A．函数fx的定义域为R B．函数fxC．fx+f−x=0【巩固练习2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）已知函数fx=2A．不等式fx<B．fx的图图像关于yC．fx是RD．fx的值域为【巩固练习3】（24-25高一上·陕西西安·期末）（多选）已知函数f(x)=2x−1A．f(x)是偶函数B．f(x)的值域为(−2,2)C．f(x)的图象关于原点对称D．∀x1,x2【题型16】指数型函数的方程的根核心知识1指数型方程解法换元法令转化为代数方程求解2根的个数判断结合函数图像利用单调性和值域判断交点个数方法技巧 换元法步骤换元转化为关于的方程求解的解再解 图像法画出指数型函数与直线的图像观察交点个数判断方程根的个数【经典例题1】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数f(x)=|2x−1|,x≤2−x+5,x>2，若关于x的方程f(x)−m=0恰有两个不同的实数解，则实数【经典例题2】（25-26高三上·江西赣州·期中）已知函数f(x)=1+lnx,x>0|ex+2−1|,x≤0【巩固练习1】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数fx=x+1x，x>012x，课后过关检测课后过关检测一、单选题1．（2026·江苏徐州·模拟预测）若函数fx=ax+1x⋅3A．13 B．1 C．3 2．（2026·北京顺义·二模）把函数fx=axa>0,a≠1的图象C1向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的14倍，得到图象C2，若此时图象A．4 B．2 C．12 D．3．（2026·湖南长沙·一模）已知曲线y=2x上的点A和曲线y=2x−1−43上的两点B,CA．43 B．2 C．524．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数a，b满足a+2b=2，则2a+4A．2 B．4 C．8 D．165．（2026·陕西咸阳·三模）函数fx=e−x−A． B．C． D．6．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数f(x)=ax−2+2(a>0,a≠1)恒过定点Q，且点Q在函数y=mx+n的图象上，则4A．22 B．8 C．4 D．7．（25-26高一上·青海海南·期末）已知a>0且a≠1，若函数fx=−x2−2ax−2,x<0aA．1,2 B．2,+∞ C．0,1 D．8．（2026·安徽合肥·模拟预测）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为coshx=ex+e−x2，相应的双曲正弦函数的表达式为sinhx=ex−A．−1,2 B．−2,1C．−∞,−1∪9．（2026·北京昌平·二模）已知函数f(x)=1−exA．偶函数，且在(0,+∞)上是增函数 B．奇函数，且在C．偶函数，且在(0,+∞)上是减函数 D．奇函数，且在10．（2026·广东深圳·二模）已知函数fx=exx−1+xA．0，+∞ B．−12，11．（2026·甘肃金昌·三模）已知a>0，a≠1，若函数fx=ax+3a,x>13−5axA．35,45 B．0,4512．（24-25高三上·河南周口·期末）已知函数fx=a13x+b的图象过原点，且无限接近于直线y=3但又不与该直线相交，当A．最小值−3 B．最大值−3 C．最小值−2 D．最大值−2二、多选题13．（24-25高二下·浙江舟山·期末）定义在R上的函数fx满足flog3A．函数fx的解析式为B．函数fx图象的对称轴为直线C．函数fx的单调递增区间为D．函数fx在12三、填空题14．（2026·陕西安康·三模）若2a=m,3b=n，则4a15．（2024·四川内江·一模）已知函数fx=m14x+n（m,n∈R，且m≠0）的图象无限接近直线y=−4但又不与该直线相交，且fx四、解答题16．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数g(x)=4(1)设g(x)的图象恒过点A，求点A的坐标；(2)试判断g(x)的奇偶性，并说明理由；(3)当a=2时，不等式3g(x)<k在x∈[−1,1]上恒成立，求k的取值范围.17．（2026·上海黄浦·三模）已知函数fx(1)判断函数fx(2)当m=1时，若存在x∈0,+∞，使得fx18．（2025·上海浦东新·二模）已知函数y=fx的表达式f(1)若函数y=fx是奇函数，求实数a(2)对任意实数x∈−1,1，不等式fx≤0

第09讲函数的概念、定义域与值域（知识清单+5典例精讲+5方法技巧+分层训练）近3年考查情况题型分值定义域（分式/对数型）、值域（单调性）、函数概念单选、多选5分/6分定义域（偶次根式/指数型）、换元法求值域单选、填空5分基础定义域、简单值域求解单选、填空5分含参定义域、导数结合单调性求值域单选、解答题5分/10分【知识点01】函数的概念一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y＝f(x),x∈A.【例1】判断下列对应关系是否为函数：（1）A={x|x≥0}，B=R，对应关系f:x→y=±x；（2）A=R，B={y|y≥0}，对应关系解析：（1）不是函数，一个x对应两个y（如x=4，y=±2），不满足唯一性；（2）是函数，任意x∈R，都有唯一y=【知识点02】函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域.(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.【例2】已知函数f(x)=x−2解析：需满足两个限制条件，列不等式组：{x−2≥0x−3≠0，解得x≥2且故函数定义域为[2,3)∪(3,+∞【知识点03】函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.【例3】已知函数f(x)=2x−1，用三种表示法表示该函数（定义域为{1,2,3,4}）。解析：①解析法：f(x)=2x−1,x∈{1,2,3,4}；②列表法：x1234f(x)1357③图像法：在平面直角坐标系中，描出点(1,1),(2,3),(3,5),(4,7)，用线段连接（离散点组成）。【知识点04】分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.【例4】已知分段函数f(x)={x2,x≥02x+1,x<0，求解析：①分段求值：当x=−1<0时，f(−1)=2×(−1)+1=−1；当x=2≥0时，f(2)=2②求值域：当x≥0时，f(x)=x当x<0时，f(x)=2x+1<1；综上，函数值域为R。【题型一】函数概念辨析【例1】（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________【答案】【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解.【详解】由题意有，所以，因为是函数极值点，所以，得，当时，，当单调递增，当单调递减，当单调递增，所以是函数的极小值点，符合题意；所以.故答案为：.【例2】（2026·青海西宁·一模）在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2【答案】C【详解】根据函数定义可知，当在定义域中时，直线与函数的图象有一个交点，当不在定义域中时，直线与函数的图象没有交点，所以直线，与函数的图象的交点个数为0或1.【例3】（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数，且，则____【答案】【分析】由已知可得，求解即可.【详解】因为函数，且，所以，解得.故答案为：.【变式1】（2025·江西萍乡·三模）已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（

）A．675 B．1350 C．2025 D．4050【答案】D【分析】根据赋值法，用x替换y，y替换x得到，故是常函数，设，再结合可解即可求.【详解】用x替换y，y替换x可得，当，时，，故可知是常函数，于是知当时，，其中c为常数，故，解得，于是.故选：D.【变式2】（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知函数的定义域为，当时，有，对，都有，则（

）A．0 B．1 C．2025 D．2026【答案】C【分析】利用题中给出的函数性质，代入特殊值，求出.【详解】因为，，当时，，因为，都有，所以，，，，，，，，，，，，，，，所以．【变式3】（2025·广东深圳·模拟预测）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有______（写出对应编号）．①；

②；③；

④．【答案】①③④【分析】函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，再根据函数的定义，即可求解.【详解】利用运动是相对的，函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量，都有唯一确定的与之对应，逆时针旋转后得到的曲线，如果仍为一个函数的图象，则曲线与任意一条垂直于轴的直线最多只有一个交点，所以函数的图象与任一斜率为1的直线都最多只有一个交点，结合函数图象可知，对于①，的图象与直线都只有一个交点，故①正确；对于②，的图象与直线有两个交点，，故②错误；对于③，，，，所以的图象在点处的切线方程为，的图象与直线都最多只有一个交点，故③正确；对于④，的图象与直线都只有一个交点，故④正确．故答案为：①③④.【题型二】定义域求解【例4】（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______.【答案】【分析】由对数函数性质即可得.【详解】由题意可得，即的定义域为.故答案为：.【例5】（2026·广西桂林·模拟预测）若集合，函数的定义域为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，函数的定义域为，则．【例6】（2024·浙江·模拟预测）若分式不论x取何值总有意义，则点关于x轴的对称点在第______象限．【答案】一【分析】先通过分式的分母恒不为零求出的范围，根据的范围可得点所在象限，进而可得其关于x轴的对称点所在象限.【详解】分式不论x取何值总有意义，即方程无解所以，解得，所以，所以点在第四象限，其关于x轴的对称点在第一象限.故答案为：一.【变式1】（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出的定义域，根据函数有意义，结合抽象函数定义域的求法和对数函数的定义域，可得出关于的不等式组，解不等式组即可求出答案.【详解】由的定义域为，得的定义域为.所以或，综上，的定义域为.故选：C.【变式2】（多选）（2025·陕西·模拟预测）下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据不等式的性质结合函数的性质逐一分析选项.【详解】对于A，由题可知不等式有意义须需，则，则，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，当，即，时，有，故不等式不一定成立，故B错误；对于C，由，则，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；对于D，由题意知,，故,故不等式成立，D正确．故选：ACD【变式3】（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数的定义域是，则函数的定义域是__________．【答案】【详解】要使函数有意义，则，解得，取交集得．【题型三】值域求解【例7】（2026·四川达州·二模）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数的定义域和值域求得集合，，然后根据集合的交集运算即可求解.【详解】由于集合表示函数的定义域，可知，集合表示函数的值域，可知，因此，故A正确.【例8】（2025·上海长宁·一模）函数的值域为，则集合___________．【答案】【分析】利用函数的值域求解不等式，进而得到函数的定义域即可.【详解】令，解得，令，解得，则集合.故答案为：【例9】（2025·河北·模拟预测）已知函数的定义域和值域相同．．(1)求a；(2)记的导函数为，求的极小值．【答案】(1)；(2)极小值为1.【分析】（1）分和讨论，则，解出即可；（2）求导得，再设新函数再次求导即可得到其极小值.【详解】（1）若，则的定义域为，因为，则其值域为，不符合题意；若，令，解得，则的定义域为，值域为，则有；解得．（2），定义域为，记，.当时，；时，．所以在上单调递减，在上单调递增，因为的极小值为.故的极小值为1.【变式1】（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据定义域确定的范围，再结合反比例型函数得到值域即可．【详解】函数的定义域为，则或，当时，1x2当时，0<1x综上，此函数的值域为．【变式2】（2025·陕西宝鸡·二模）若一个函数的定义域为，值域为，则它的解析式可能为：_______．【答案】（答案不唯一）【分析】根据所给性质选择满足条件的函数作答.【详解】函数的定义域为，值域为，所以.故答案为：【变式3】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数．(1)求函数的值域；(2)若不等式在上恒成立，求的取值范围；(3)当时，函数的值域为，求正数的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）求出函数式，结合指数函数、二次函数值域求解即得.（2）变形给定不等式，按分段讨论求出的范围.（3）利用函数的单调性求出给定区间上的值域，结合已知转化为一元二次方程有两个不等的正实根求解即得.【详解】（1）依题意，，由，得，则，当，即时，；当，即时，，所以函数在时的值域为.（2）不等式，当时，；当时，，则恒成立，又在上递减，在上的值域为，因此；当时，，则恒成立，又在上递减，在上的值域为，因此，所以实数的取值范围为.（3）当时，在上单调递增，又当时，值域为，因此，即，则是关于的方程，即的两个不相等的正根，则，解得，所以正数的取值范围为.【题型四】分段函数相关计算【例10】（2025·贵州·模拟预测）已知函数则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据分段函数解析式即可求得函数值.【详解】因为，所以．故选：B.【例11】（多选）（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）设函数，若，则的值可能是（

）A． B． C．1 D．【答案】CD【分析】分，代值求解即可.【详解】当时，，解得；当时，，解得（舍去）或.综上所述，或.故选：CD.【例12】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，则______．【答案】1【详解】因为，则．【变式1】（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】当时，，即解得或（舍），当时，，即a2−4a+12=0，Δ=16−48=−32<0方程无实数解，综上.【变式2】（2026·河北唐山·一模）已知，若，则______.【答案】3【分析】由题意可得：，分和两种情况讨论，去绝对值解方程即可.【详解】由题意可得：，当时，可得，即，解得或（舍去）；当时，可得，即，方程无解；综上所述：.【变式3】（2024·吉林·模拟预测）师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）.(1)求的函数关系式；(2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?【答案】(1)(2)当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元【分析】（1）由题意可知：，结合题意代入运算即可；（2）分和，结合二次函数和基本不等式求最大值.【详解】（1）由题意可知：.（2）由（1）可知：，若，则，可知其图象开口向上，对称轴为，此时的最大值为；若，则，当且仅当，即时，等号成立，此时的最大值为；又因为，可知的最大值为，所以当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元.【题型五】函数表示法【例13】（2025·浙江·二模）下列可以作为方程的图象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】借助排除法，得到，不可能同时成立，即可排除A，B，C.【详解】当时，，若，则，即，不符合，故，不可能同时成立，故A，B，C，选项错误.故选：D【例14】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，边长为1的正方形，其中边在轴上，点与坐标原点重合，若正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴上时，再以为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形的某个顶点落在轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点滚动时形成的曲线为，则（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【分析】根据已知条件及函数的周期性即可求解．【详解】由题意可知，是周期为的函数，所以.由题意可得，当时，点恰好在轴上，所以，所以.故选：A.【例15】（多选）（2024·广西来宾·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且，则（

）A． B．为奇函数C．不存在零点 D．【答案】ACD【分析】根据题意，结合抽象函数的赋值法，列出方程，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，令，可得，因为，所以，所以A正确；对于B中，函数的定义域为全体实数，由，显然不符合，所以函数不是奇函数，所以B不正确；对于C中，由，令，可得，即，解得或，所以函数没有零点，所以C正确；对于D中，由，令，可得，所以，即，所以D正确.故选：ACD．【变式1】已知函数的对应值图如表所示，则等于（

）函数的对应值表012345365427A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】查表可知，先得，所以再查表可得.【详解】由表可知，，所以故选：D．【变式2】如图所示是一个无水游泳池，是一个四棱柱，游泳池是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的．现在向泳池注水，如果进水速度是均匀的（单位时间内注入的水量不变），水面与的交点为，则的高度随时间变化的图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合几何体的结构和题意可知，水面面积越大，水的高度变化慢，当水面面积恒定时，水的高度匀速增长，由此可得出合适的选项.【详解】由题意可知，当往游泳池内注水时，游泳池内的水呈“直棱柱”状，且直棱柱的高不变，刚开始水面面积逐渐增大，水的高度增长得越来越慢，当水面经过点后，水面的面积为定值，水的高度匀速增长，故符合条件的函数图象为A选项中的图象.故选：A.【变式3】已知定义在R上的函数不是常值函数，且同时满足：①；②对任意，均存在使得成立；则函数______．（写出一个符合条件的答案即可）【答案】(答案不唯一)【分析】由题设函数性质分析知：关于对称且值域为或，写出一个符合要求的函数即可.【详解】由知：关于对称，由对任意，均存在使得成立知：函数值域为或或全体实数，∴符合要求.故答案为：(答案不唯一).【解题大招01】定义域求解“分类限制法”技巧核心：按“分式、偶次根式、对数、零次幂”等不同限制条件分类列不等式（组），求解交集即为定义域，避免漏解。【例1】求f(x)=x−1log2解析：分3类限制条件，列不等式组：{解得：x≥1、x>2、x−2≠1⇒x≠3，取交集得定义域为(2,3)∪(3,+∞【解题大招02】值域求解“单调性法”技巧核心：先判断函数在定义域内的单调性（一次、二次、对数函数可直接判断），再根据单调性求端点值，端点值（或极值）即为值域的最值。【例2】求f(x)=x2−2x+3解析：函数对称轴为x=−−22×1=1，开口向上，在[0,1]最小值：f(1)=12−2×1+3=2；最大值：max{f(0),f(3)}=max{3,6}=6【解题大招03】值域求解“换元法”技巧核心：令复杂根式、指数式为新变量t，转化为二次函数、一次函数求值域，注意新变量t的取值范围（换元必求范围）。【例3】求f(x)=2x−1+x（解析：令t=x−1≥0，则f(t)=2t+因t≥0，(t+1)2单调递增，最小值为(0+1)【解题大招04】分段函数“分段求解法”技巧核心：分段函数的定义域、值域、求值，均按“区间分段”处理，最后整合结果；求值时先判断x所属区间，再代入对应解析式。【例4】已知f(x)={2x−1,x<0x2解析：①求值：x=−1<0，f(−1)=2×(−1)−1=−3；f(−3)=2×(−3)−1=−7，故f(f(−1))=−7。②求值域：x<0时，2x−1<−1；x≥0时，x2≥0，整合得值域为【解题大招05】函数概念“唯一性判断法”技巧核心：判断对应关系是否为函数，只需验证“任意一个x，是否有唯一的y对应”，可结合图像（垂直于x轴的直线与图像至多一个交点）。【例5】判断f(x)={x,x≥0−x,x<0与解析：①f(x)是函数，任意x∈ℝ，都有唯一y对应（如x=2对应2，x=−2对应2②x=y2不是函数，一个x对应两个y（如x=4，【基础过关】（共8题）一、单选题1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知集合，则（

）A．或 B．或C． D．【答案】D【分析】求出集合、，利用交集的定义可得集合.【详解】，对于，则，解得，故，所以，故选：D.2．（2026·广东清远·二模）设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，所以3．（2026·河北保定·三模）已知函数则（

）A．0 B．1 C．2026 D．2027【答案】C【分析】本题是求函数值的和，先找规律，再求，求得与的关系，最后用倒序相加法求和.【详解】因为，所以，所以，设，则，两式相加得：，所以.二、多选题4．（2024·云南·模拟预测）已知定义在上的函数，对任意的满足，下列说法正确的是（

）A．若为一次函数，则B．若为一次函数，则C．若不是一次函数且，则D．若不是一次函数且，则【答案】BCD【分析】根据题意，令，列出方程组，求得的值，得到函数的解析式，再结合赋值法，求得的值，即可求解.【详解】若为一次函数，令，由又由，因为，可得，即，解得或，当时，；当时，，所以当为一次函数时，或，所以A不正确；令，可得，所以B正确；令，则，因为，令，所以，所以C正确；令，则，由，令，所以，故D正确.故选：BCD.三、填空题5．（2026·河南周口·二模）已知函数，则____________.【答案】2【分析】根据分段函数解析式代入求解即可.【详解】由，可得，由，可得，由，可得，故，因此.6．（2024·河南信阳·一模）已知不等式的解集为，则函数的定义域为__________.【答案】【分析】根据题意，得到和是方程的两个根，列出方程组，求得的值，得出函数，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由不等式的解集为，可得和是方程的两个根，且，则，解得，所以函数，要使得函数有意义，则满足，即，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.7．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则的最小值为______．【答案】4【分析】构造函数，通过配方，把问题转换成到直线和点的距离之和的倍，即可求解.【详解】构造函数，因为恒成立，所以，则函数可表示点到直线和点的距离之和的倍.构造抛物线，过点作直线的垂线，垂足为，交抛物线于两点，如图，此时直线的方程为：，即，联立方程得，易得交点分别为，于是当点重合于交点或时，取得最小值.从而的最小值为4．四、解答题8．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知集合，函数的定义域为集合．(1)当时，求；(2)设命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得或，再求交集运算即可；（2）由题知或，，再根据集合关系求解即可.【详解】（1）解：当时，，由题意，解得或，所以或，又，所以.（2）解：由题意，即，解得：或，所以或，因为p是q的充分不必要条件，所以，集合是集合的真子集，所以或，解得或故实数的取值范围．【拔高选练】（共6题）一、单选题1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若函数，则（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】由题意得，则.2．（2026·浙江·模拟预测）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化简集合，再根据交集的概念求解即可.【详解】集合，集合，则.故选：C二、多选题3．（2026·河南洛阳·模拟预测）下列选项中说法正确的是（

）A．函数的单调减区间为B．幂函数过点，则C．函数的定义域为，则函数的定义域为D．若函数的值域为，则实数的取