第11讲函数的对称性与图象变换（知识清单+5典例精讲+4方法技巧+分层训练）（原卷版及解析）

第11讲函数的对称性与图象变换（知识清单+5典例精讲+4方法技巧+分层训练）近3年考查情况题型分值对称性质判定、对称与周期综合、图像翻折/平移变换单选、多选5分/6分基础平移变换、对称求值、简单对称性质应用单选、填空5分单一图像变换、基础对称性判断，难度偏低单选、填空5分对称性推导周期、结合零点/单调性综合考查单选、填空、解答5分/6-10分【知识点01】奇函数、偶函数的对称性(1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x),则函数的图象关于直线x＝a对称；(2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x),则函数的图象关于点(a,0)对称.(3)若f(x＋a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心为(a,0).【例1】已知f(x)=x3+2x【知识点02】两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称.【例2】判断函数y=2x与y=2−x的对称关系，并写出【知识点03】利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换①y＝f(x)y＝－f(x).②y＝f(x)y＝f(－x).③y＝f(x)y＝－f(－x).④y＝ax(a>0,且a≠1)y＝logax(a>0,且a≠1).(3)翻折变换①y＝f(x)y＝|f(x)|.②y＝f(x)y＝f(|x|).【例3】已知y=f(x)=x2，作出下列函数的图象（写出变换过程）：（1）y=(x−2)【题型一】判断或证明函数的对称性【例1】（2026·江苏苏州·模拟预测）函数与的图象（

）A．关于轴对称 B．关于轴对称C．关于原点对称 D．关于直线对称【例2】（多选）（2026·河北衡水·一模）已知函数的定义域为，且对任意实数，，恒成立，则（

）A． B．的最小值为C． D．的图象关于点对称【例3】（2025·重庆·二模）函数的值域为________．【变式1】（2026·湖南衡阳·模拟预测）函数与的图象（

）A．关于y轴对称 B．关于直线对称C．关于直线对称 D．关于直线对称【变式2】（2024·山东·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为_________________.【变式3】（2024·福建·模拟预测）已知函数，则曲线的对称中心为___________．【题型二】函数对称性的应用【例4】（2026·湖南长沙·模拟预测）若函数的定义域为，则“函数的图象关于点中心对称”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例5】（多选）（2026·广东茂名·二模）已知是定义在上的函数，且，，则（

）A． B．是奇函数C．的图象关于直线对称 D．是的周期【例6】（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，且，则______．【变式1】（2026·河南周口·三模）已知函数的定义域为，f3+x+f−1−x=0，且在上单调递增，则（

）A． B．C． D．【变式2】（2026·河北保定·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且为偶函数，当时，则_______.【变式3】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知函数，且函数与的图象关于直线对称.(1)求函数的解析式；(2)若成立，求实数的取值范围；(3)若且，求的取值范围.【题型三】函数图像的识别【例7】（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．【例8】（2026·山东枣庄·三模）函数的部分图象大致是（

）A． B．C． D．【例9】（多选）（2025·山西临汾·二模）函数的图象可以是（

）A． B．C． D．【变式1】（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（

）A． B．C． D．【变式2】（2026·四川自贡·三模）函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．【变式3】（多选）（2025·湖北武汉·模拟预测）函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【题型四】函数图象的应用【例10】（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（

）A． B． C． D．【例11】（多选）（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．6个零点之和是6【例12】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）设函数，若函数图像关于直线对称，求曲线的长度为__________．【变式1】（2025·四川成都·一模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【变式2】（2025·山东德州·三模）已知曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则______．【变式3】（2024·河北石家庄·三模）给定函数，用表示中的较大者，记．若函数的图象与有3个不同的交点，则实数的取值范围是______．【题型五】函数图象的变换【例13】（2026·湖北随州·三模）已知，函数的最大值为0，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【例14】（2026·陕西安康·三模）已知函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，若的图象是一条连续的曲线，则（

）A．在上单调递增 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递减【例15】（2023·全国·模拟预测）将函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移三个单位，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（

）A． B． C． D．【变式1】（2026·河北邢台·一模）函数图象的对称中心的坐标为（

）A． B． C． D．【变式2】（2024·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（

）A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称【变式3】（2024·湖北黄冈·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，曲线与函数的图象关于直线对称，则__________．【解题大招01】奇偶性+对称性快速求值利用奇偶性的对称性质（偶函数关于y轴对称、奇函数关于原点对称），跳过复杂计算，直接转化函数值，快速求解。【例1】已知f(x)=x5+3x3+2x是奇函数，且f(1)=6【解题大招02】两个函数对称，快速求解析式记准3类高频对称结论，直接代入公式，无需画图，快速推导对称函数解析式。关于y轴对称：y=f(x)↔y=f(−x)；关于原点对称：y=f(x)↔y=−f(−x)；关于x=a轴对称：y=f(x)↔y=f(2a−x)。【例2】已知f(x)=log2⁡(x+1)，求：（1）与f(x)关于y轴对称的函数解析式；（2）与f(x)【解题大招03】图象变换“一步到位”法遵循“先平移、后翻折”的顺序，避免变换顺序错误，结合公式快速写出变换后的解析式。关键规律：1.平移+翻折：左移ℎ→f(x+ℎ)，右移ℎ→f(x−ℎ)；关于x轴对称→−f(x)；2.易错提醒：先翻折再平移，平移方向易反向（如先关于y轴对称再左移，需注意x的符号）。【例3】已知f(x)=x【解题大招04】对称性+周期性快速推导利用对称性质推导周期，熟记2个高频结论，快速转化函数值，简化计算。核心结论：1.函数关于x=a和x=b（a≠b）对称，则周期T=2|a−b|；2.函数关于x=a和点(b,0)对称，则周期T=4|a−b|。【例4】已知f(x)的图象关于直线x=1和x=3对称，且f(2)=5，求f(8)的值。【基础过关】（共8题）一、单选题1．（2026·陕西榆林·模拟预测）函数的图象可能是（

）A． B．C． D．2．（2025·安徽·模拟预测）“函数的图象关于直线对称”是“函数为偶函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数定义域为，下列是无最小值的充分条件的是（

）A．为偶函数且图象关于直线对称 B．为偶函数且图象关于点对称C．为奇函数且图象关于直线对称 D．为奇函数且图象关于点对称二、多选题4．（2025·江西新余·模拟预测）下列函数中，的图象可以由的图象仅通过一次轴对称变换得到的有：（

）．A．， B．，C．， D．，5．（2025·云南·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则的值可能为（）A． B． C． D．三、填空题6．（2026·山东·二模）已知函数的图象关于点对称，则_______________．7．（2025·海南·模拟预测）已知为奇函数，若与的图象有10个交点，设交点的横坐标从小到大依次为，则______________.四、解答题8．（2024·陕西西安·二模）设函数.(1)在坐标系中画出函数的图象；(2)若对任意恒成立，求的取值范围.【拔高选练】（共6题）一、单选题1．（2026·吉林·二模）已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数的图象可能是（

）A． B．C． D．三、填空题4．（2025·湖南·三模）已知函数，，函数的图象与曲线交于点，与曲线交于点，，点在第一象限，且，四点顺次呈逆时针排列，则直线的斜率与直线的斜率的乘积为______.5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为________．四、解答题6．（2025·河北唐山·模拟预测）已知函数．(1)若函数的图象关于点对称，求的值；(2)若是的极大值点，求的值；(3)设是的极值点，且满足，求的取值范围.【错题复盘】（共5题）一、单选题1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（

）A．2 B．1 C． D．2．（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2026·四川成都·三模）已知函数，则（

）A．当时，函数有最大值B．若函数图象的对称中心为，则C．函数在上一定存在减区间D．函数可能有2个零点三、填空题4．（2026·山西晋中·三模）已知函数的定义域为是偶函数，，则__________.四、解答题5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若在存在极值，求a的取值范围.

第11讲函数的图像及其图像变换题型总览题型总览总览核心题型归纳（目录）模块一模块一核心题型·举一反三【题型1】由已知的函数解析式确定函数的图像（无参数型）核心知识1基本初等函数图像特征一次函数二次函数指数函数对数函数幂函数三角函数的标准图像2关键性质定义域值域单调性奇偶性过定点渐近线特殊点（零点最值点）3复合函数图像分析同增异减判断单调性利用奇偶性判断对称性方法技巧 四步排除法先看定义域排除再看奇偶性再看单调性最后看特殊点 特殊点验证代入等简单值快速判断函数值符号与大小 趋势判断当或时函数的极限趋势辅助确定图像走向 易错提醒注意函数的间断点定义域边界的空心/实心点【经典例题1】（2026·山东枣庄·三模）函数fx=xA． B．C． D．【答案】B【分析】根据奇偶性排除A；根据正负性排除CD.【详解】定义域为xx≠±1，f则fx当x>0时，e2x>1，则当0<x<1时，x2−1<0，则当x>1时，x2−1>0，则【经典例题2】（2026·陕西渭南·三模）函数fx=3x−A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，求得函数fx为奇函数，排除C、D选项，再由f【详解】由函数fx=3x−且f−x所以函数fx是R当x≥0时，令fx>0，即3x−x可得x3−3x=x(x即x∈(0,3)时，【巩固练习1】（2026·海南儋州·二模）函数y=x+1xA． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性、函数值等进行分析，从而确定正确答案.【详解】设fxfxf−x所以fx是偶函数，图象关于y当x∈0,π时，综上所述，A选项正确.【巩固练习2】（25-26高二下·天津南开·期中）函数fx=xA． B． C． D．【答案】C【分析】通过求函数的零点判断图像与x轴的交点，结合函数值的正负区间以及x→−∞【详解】令fx=0，即x2−2xe解得x=0或x=2，数图像与x轴有两个交点0,0和2,0。观察选项：A选项：当x>0时图像一直在x轴下方，不符合x>2时fxB选项：当x<0时图像有部分在x轴下方，而当x<0时，x2−2x>0，exD选项：由导数f′x=x2选项在x<0时单调递减，故排除D；C选项：图像过原点，在x<0时函数值为正且先增后减（存在极大值），在x>0后先减后增（存在极小值），符合函数性质.【巩固练习3】（25-26高二下·江苏常州·期中）函数y=xlnx的图象大致为（A． B． C． D．【答案】D【分析】分析函数的奇偶性与函数值的正负，使用排除法求解.【详解】令函数f(x)=y=xlnx，定义域为f(−x)=−xln−x=−x其图象关于原点对称，排除选项A、C，当x→+∞时，f(x)>0，排除选项B所以函数y=xlnx的图象大致为选项【题型2】由已知的函数解析式确定函数的图像（含参数型）核心知识1参数对图像的影响如中决定开口方向与大小影响对称轴位置决定与轴交点2含参指数/对数函数中参数对过定点渐近线单调性的影响3含参三角函数中参数对振幅周期相位上下平移的影响方法技巧 分类讨论法按参数的取值范围分情况讨论如与与 定点法先找不受参数影响的定点快速锁定图像位置 极限法分析参数取特殊值（如）时的图像辅助判断趋势 符号分析利用参数的正负判断函数的单调性开口方向与坐标轴交点【经典例题1】（25-26高二下·安徽·期中）（多选）函数f(x)=ax3+3x+3(a∈R)A． B．C． D．【答案】ABC【分析】求导可得f′(x)=3ax【详解】因为f(x)=ax3+3x+3(a∈R)当a=0时，f(x)=3x+3，可能是A中的图象；当a>0时，f′所以f(x)在R上单调递增，可能是B中的图象；当a<0时，令f′(x)<0，得x<−−1a或x>故f(x)在−∞,−−可能是C中的图象，但不可能是D中的图象．【经典例题2】（2027高三·全国·专题练习）（多选）（多选）下列可能是函数fx=ax+bx+c2A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据各选项图象的对称性、定义域和截距等特征，分析参数的可能取值，判断是否存在满足条件的函数解析式.【详解】A选项中的图象关于y轴对称，是常函数但是fxB选项中的图象关于原点对称，可得函数的定义域为x∣x≠0，可得c=0，b=0，a=−1，函数fxC选项中的图象，由定义域得c=1，由图象在y轴截距为正得b=1，当a=0时，fxD选项中的图象，由定义域得c=−1，由图象在y轴截距为零得b=0，当a=1时，fx故选：BCD．【巩固练习1】（25-26高一上·浙江·期中）（多选）函数fx=2A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由特殊情况k=0,−1,1【详解】fx当k=1时，f(x)=12x+2−x，定义域为当x>0时，由对勾函数以及复合函数单调性可得f(x)单调递减，且fx当k=−1时，f(x)=12xf(−x)=12−x当x>0时，由复合函数单调性可得f(x)单调递减，且fx当k=0时，f(x)=(对于B选项，由于图象恒在x轴上方可得fx则分母4x+k恒正，则定义域为故选：ACD.【巩固练习2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）函数fx=alnA． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据fx的定义域，可排除C；求导讨论不同a值对应的函数fx的单调性，判断选项【详解】fx的定义域为0,+∞，所以选项Cf'当a>0时，f'x>0在0,+∞且当x→0+时，lnx→−∞，ex当a=0时，fx=e当a<0时，因为y=ax与y=e令f'x=ax+e所以当x∈0,x0时，f当x∈x0,+∞时，f所以fx若a=−1，显然x0≠1，则fx故选：ABD.【巩固练习3】（2023·福建泉州·模拟预测）（多选）（多选）函数fx=lnA． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用对数函数的定义域可得函数fx定义域为−1,1，分类讨论k>0，k=0，k<0【详解】因为fx=ln1+x−k故fx定义域为−1,1又f′x=因为k>0时，f′x=所以fx在区间−1,1当k=1时，f−x=−fx当k=0时，fx当k<0时，由f′x=0又因为1+k1−k−−1即x∈−1,1+k1−k时，f′x>0，fx综上可知，fx在区间−1,1当k=−1时，f−x=fx，此时fx为偶函数，且fx故选：BCD.【题型3】由已知函数的图像确定函数的解析式核心知识1待定系数法设出对应函数的一般形式代入图像上的点求解参数2常见形式一次函数二次函数或顶点式指数/对数函数三角函数3关键信息提取图像上的特殊点（零点顶点与坐标轴交点）周期振幅渐近线方法技巧 步骤先判断函数类型设出解析式再提取关键信息列方程求解参数 二次函数优先用顶点式已知顶点时计算更简便 指数/对数函数利用过定点渐近线求参数 三角函数利用周期求振幅求过点求【经典例题1】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数y=fx的部分图象如图，则fx的解析式可能为：（A．fx=x⋅2C．fx=e【答案】A【分析】根据奇偶性、单调性排除选项求解【详解】由图可知，fx关于原点中心对称，且不是R对于B，fx对于C，fx=e对于D，由复合函数的单调性知fx=3所以A正确.【经典例题2】（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（

）A．x−1ex B．x2−1ex【答案】B【分析】根据零点特征排除A、C；结合导数和图象特点判断B；x→+∞【详解】图像中函数与x轴有两个交点（即两个零点），选项A，x−1ex只有1个零点x=1，选项C，图像中x→+∞时，函数值趋近于0，选项D(x2−1)e选项B：y=x2−1x<−1时，x2−1>0，y>0，且x→−∞−1<x<1时，x2−1<0，y<0，x=0时x>1时，y>0，求导得y′=−x2+2x+1e【巩固练习1】（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知函数fx的导函数f′x的图象如图所示，则函数fA．fx=xcosC．fx=x【答案】B【详解】由图象可知，f′x是奇函数，且选项A：f'x=选项B：f'x=选项C：f'且f'所以f'选项D：f'x=2x−sinx【巩固练习2】（2026·北京东城·二模）已知函数y=Fx的部分图象如图所示，若Fx=fxgA．fx=sinC．fx=cos【答案】C【分析】利用奇偶性可排除AD；根据y轴右侧两零点间的距离可确定C正确.【详解】由图象可知：Fx对于A，∵F−x=sin对于D，F−x=cos对于BC，不妨设F1x=令F1x=0，解得：x=kπ2k∈Z则F1x在y轴右侧接近0的两个零点依次为x1=π2和x2=π；F∴x1−0由图象可知：B错误，C正确.【巩固练习3】（2026·天津·二模）已知函数y=fx的部分图象如图，则fx的解析式可能为（A．fx=xC．fx=x【答案】A【分析】根据函数性质，利用排除法可得正确选项.【详解】由图象可知，函数f(x)定义域为R，为奇函数，且f(1)>0，因为f(x)=xex因为f(−x)=(−x)所以f(x)=x因为f(1)=−1e+因为f(−x)=−xe−x所以f(x)=xex+e故f(x)的解析式可能为f(x)=x【题型4】函数的图像实际应用【经典例题1】（2025高二上·山东枣庄·学业考试）某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中d轴表示该学生离家的距离，t轴表示所用的时间，下列图象与该同学走法相吻合的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数图象呈上升趋势以及上升速度分析可得答案.【详解】依题意可知，d关于t的函数图象呈上升趋势，故B和D都错误；由于该同学是先走后跑，所以d关于t的函数图象上升速度是先慢后快，故A错误，C正确.故选：C【经典例题2】（24-25高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意分析可得相遇时间为4小时，此时两车距离为0，排除B选项；再求出快车继续行驶到达乙地所需要的时间排除A选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D选项.【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间t1此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项；相遇时，快车已经行驶的路程为100×4=400千米，还需要行驶1000−400÷100=6特快车相遇时已经行驶的路程为150×4=600千米，只需要再行驶1000−600÷150=所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项.故选：C.【巩固练习1】（2024·安徽·模拟预测）如图，直线l在初始位置与等边△ABC的底边重合，之后l开始在平面上按逆时针方向绕点A匀速转动（转动角度不超过60°），它扫过的三角形内阴影部分的面积S是时间t的函数．这个函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】取BC的中点E，连接AE，设等边△ABC的边长为2，求得S△ABD=32+【详解】如图所示，取BC的中点E，连接AE，因为△ABC为等边三角形，可得∠EAB=30设等边△ABC的边长为2，且∠DAB=α，其中0∘可得DE=又由△ABC的面积为S△ABC=3且S△ADE则△ABD的面积为S=S令Sx=3可得S′x=又由余弦函数的性质得，当x=30∘时，函数所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快，结合选项，可得选项C符合题意.故选：C.【巩固练习2】（2024·山东·二模）如图所示，动点P在边长为1的正方形ABCD的边上沿A→B→C→D运动，x表示动点P由A点出发所经过的路程，y表示△APD的面积，则函数y=fx的大致图像是（

A． B．C． D．【答案】A【分析】分x∈0,1，x∈1,2，【详解】当x∈0,1时，y=当x∈1,2时，y=12当x∈2,3时，y=故选：A．【巩固练习3】（23-24高一上·河南南阳·期末）如图，一高为H的球形鱼缸，匀速注满水所用时间为T.若鱼缸水深为ℎ时，匀速注水所用的时间为t，则函数ℎ=ft的图像大致是（

A． B．C． D．【答案】D【分析】将容器看做一个球体，根据ℎt【详解】将容器看做一个球体，在刚开始注水时，由于球体的截面积较小，对于相同的Δt高度Δℎ的变化较大，即ℎ到水注入球体的一半时，由于球体的截面积较大，ℎ(t)的变化率较小，接近于球体的顶端时，ℎ(t)的变化率又较大．故选：D．【题型5】函数的平移伸缩对称翻折变换图像的变换（1）平移变换①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的；②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的；③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的；④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的；（2）对称变换①函数与函数的图像关于轴对称；函数与函数的图像关于轴对称；函数与函数的图像关于坐标原点对称；②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）；若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）．注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．⑤函数与的图像关于对称．（3）伸缩变换①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到．②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到．函数图象的变换横线处填_______【答案】y=fx−a，y=fx+a，y=fx+b，y=fx−b，1ω，1ω，A，A，【经典例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知图甲中的图象对应的函数y=fx，则图乙中的图象对应的函数可能是（

A．y=f|x| B．y=fx C．y=f【答案】CD【分析】根据函数y=fx，y=fx【详解】由题意可知，图乙函数是偶函数，对于A：y=fx的图象是保持y=f(x)在y轴右侧的图象并将右侧图象沿着y轴翻折，而乙图中在y对于B：y=fx的图象是保持y=f(x)在x轴上方的图象并将下方的图象沿着原点附近的图象均在x轴下方，故B不合题意；对于C：当x>0时，y=f−x=f−x，即乙图中在又y=f−x为偶函数，图象应关于对于D：y=−fx可由y=fx关于【经典例题2】（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象(1)fx(2)fx(3)fx【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析(3)作图见解析【分析】（1）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换作图即可；（2）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换作图即可；（3）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换及平移变换作图即可.【详解】（1）先作出y=lg如下：（2）先作出y=lg（3）同上先作出y=lgx，将图象向右平移一个单位得到再保留横轴上方的图象，并将横轴下方的图象向上翻折，去除横轴下方的图象可得，如下：【巩固练习1】（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象．(1)y=x(2)y=1【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析【分析】（1）由二次函数图象，根据函数图象的翻折变换，可得答案；（2）由指数函数的图象以及分段函数图象，根据函数图象的平移变换，可得答案.【详解】（1）y=x2−4x−5的图象可由函数y=将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示：（2）y=12|x−1|再向下平移1个单位长度得到，而y=1其图象可由y=12|x|的图象保留x≥0则y=1【巩固练习2】（2025高三·全国·专题练习）作出下列各函数的图象：(1)y=2x−1(2)y=x(3)y=1【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】（1）化简y=2x−1x−1可得（2）根据图象的翻折变换得到图象；（3）根据图象的翻折变换得到y=1【详解】（1）原函数解析式可化为y=2+1所以函数图象可由函数y=1（2）y=x2−4x−5的图象可由函数y=x2−4x−5的图象保留如图所示．（3）y=12|x−1|而y=12|x|=12x所以y=1【巩固练习3】（24-25高三·全国·一轮复习）分别作出下列函数的图象：(1)y=sin(2)y=2x−1【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析【分析】（1）当x≥0时，y=sinx与y=sinx的图象完全相同，利用基本函数y=sin（2）将函数y=2x−1x−1变形为y=2+1x−1，作出【详解】（1）当x≥0时，y=sinx与又y=sinx为偶函数，图象关于

（2）y=2x−1故函数的图象可由y=1【题型6】作图法研究函数的最值核心知识1适用场景分段函数复合函数含绝对值函数无法直接用代数方法求最值的函数2核心原理函数的最值对应图像上的最高点或最低点方法技巧 作图步骤求定义域化简函数画关键部分（分段/翻折/变换）找最高点最低点 分段函数分别画出各段图像再比较各段的最值 含绝对值函数先去绝对值分段或直接用翻折变换画图 易错提醒注意区间端点的空心/实心点最值是否能取到【经典例题1】（25-26高一下·湖南长沙·期末）∀x∈R，用mx表示fx、gx中的最小者，记为mx=minfx,g【答案】1【分析】作出函数mx【详解】令fx=−x+1，由fx=gx得−x+1=−x−12，整理可得x作出函数fx=−x+1、由图象可得mx作出函数mx由图象可知，当x=1时，函数mx故答案为：1.【经典例题2】（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知函数fx=x2+5x,x≥0−e【答案】0,5【分析】求出抛物线与直线相切时的斜率，由数形结合得解.【详解】设直线y=kx与y=x由图象可知k>0，两方程联立消去y得：x2因为直线与抛物线相切，故Δ即k=5，作出f(x)及切线的图象，如图，

由图象可知，当0≤k≤5时，fx故答案为：0,5【巩固练习1】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）记maxa,b=a,a≥bb,a<b，则函数【答案】0【分析】利用max函数的定义画出图像即可得到最值.【详解】在平面直角坐标系中绘制出函数y=x与函数y=x令x=x2，解得x=0或由max函数的定义，结合两函数图象，可知，f(x)=max由图可知，函数f(x)=max{x,x故答案为：0.【巩固练习2】（25-26高一上·北京东城·期末）已知函数f(x)=x,x≤1,ax+a,x>1（a为常数）．若f(x)存在最小值，则a的一个取值为__________；若存在实数m，使得方程f(x)=m【答案】0（不唯一）0,1【分析】根据分段函数解析式取特殊值可使函数有最小值，分类讨论作出函数图象可求满足条件a的取值范围.【详解】因为fx=x所以当a=0时，f(x)=x,x≤10,x>1此时f(x)的图象为：

不存在实数m，使得方程f(x)=m恰有三个实数根；当a>0时，fx此时f(x)的图象为：

由图可知0<a<1时，存在实数m，使得方程f(x)=m恰有三个实数根；当a<0时，fx此时f(x)的图象为：

由图可知不存在实数m，使得方程f(x)=m恰有三个实数根综上，a的取值范围是0,1.故答案为：0（不唯一）；0,1【巩固练习3】（25-26高一上·北京·期末）函数ℎx=minfx,g①.ℎx的最大值为4

②.ℎx在区间③.ℎx的图象关于直线x=1对称

④.方程ℎ【答案】②④【分析】根据题意作出ℎx【详解】因为ℎx作出ℎx对于选项①：ℎx对于选项②：ℎx在区间0,1对于选项③：ℎx的图象不关于直线x=1对于选项④：因为y=ℎx与y=12故选：②④.【题型7】作图法研究函数的交点个数问题核心知识1适用场景方程的解的个数等价于函数与的图像交点个数2核心思路将方程问题转化为图像交点问题通过画图直观判断交点个数方法技巧 步骤移项使方程两边为两个熟悉的函数分别画出两个函数的图像数交点个数 技巧优先选择图像简单的函数作为固定函数复杂函数单独分析 注意特殊点如等位置的交点以及渐近线附近的交点情况 分类讨论含参数函数按参数范围分情况画图判断交点个数【经典例题1】（25-26高一下·海南海口·期中）已知函数fx=2,x>mx2+4x+2,x≤m，则关于直线y=xA．当−1≤m<2时，有3个交点B．当m<−2时，有且只有1个交点C．当−2≤m<−1时，有2个交点D．当m>1时，没有交点【答案】D【分析】作出y=2，y=x2+4x+2，y=x【详解】直线y=x与直线y=2有一个交点A2,2联立直线y=xy=x2+4x+2，解得所以直线y=x与直线y=x2+4x+2的交点为B在同一平面直角坐标系中作出y=2，y=x2+4x+2当−1≤m<2时，有3个公共点，分别为A,B,C，A正确.当m<−2时，有且只有1个公共点，为A，B正确.当−2≤m<−1时，有2个公共点，分别为A,C，C正确.当m>1时，①1<m<2时，有3个公共点，分别为A,B,C；m≥2时，有2个公共点，分别为B,C，D错误.【经典例题2】（25-26高二上·广东·期末）设函数fx=log2x,0<x≤4,1【答案】0,2【分析】由对数函数及二次函数图象作出函数fx【详解】当x∈0,1时，log2x<0当x∈1,4时，函数fx=当x∈4,7时，函数fx=当x∈7,+∞时，函数fx画出fx的大致图象，如图所示.易得m的取值范围为0,2

故答案为：0,2.【巩固练习1】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数f(x)=−x2−2x+3,x≤0log2x−2,x>0，方程f(x)=k有四个不等实根x1,【答案】3,4−32【分析】画出函数fx图象，利用函数fx的图象与y=k的交点个数可求得【详解】由函数解析式f(x)=−根据题意可知函数fx的图象与y=k有4个交点，结合图象可知3≤k<4即k的取值范围是3,4；因为x1<x2<因此x1,x2关于又x3，x4在函数y=log可得2−log2x3=log2因此x1故答案为：3,4；−32【巩固练习2】（2026·广东深圳·模拟预测）函数y=11−x的图像与函数y=2sinπ(x+2026)（−2≤x≤4）的图像所有交点的横坐标记作xiA．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图像，利用函数的图像的对称性求得所有交点的横坐标之和.【详解】fx=y=2sinπ(x+2026)=2sinπ在同一个直角坐标系中分别画出它们的图像的示意图，f13=2sinπ又f12=2sinπ2=2又函数y=2sinπx，与函数结合函数图像可知在0,1上函数fx与函数g由图像可知在−2,0上函数fx与函数g所以函数fx与函数gx在结合两函数关于点(1,0)对称，可得在−2,4上两函数共有8个交点，则i=1故选：D.【巩固练习3】（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知函数fx=13x2+43x+1,x≤0log2x,x>0，若fxA．−4,−2 B．113,−2 C．−2,−1 【答案】C【分析】先画图确定函数fx=m有四个零点时m的取值范围，再利用韦达定理及对数性质求出x1【详解】作出函数fx因为fx=m有四个零点，所以因为x3<1<x所以−log2x3=则x1因为x1,x2是方程所以x1又x1<x令y=x1−令t=1+3m,t∈1,所以y=−2t+1+t因为y=13t−3所以y∈−2,−1，即x1【题型8】函数的周期性与类周期性问题核心知识1周期函数定义若存在非零常数使得对定义域内任意都有则为函数的周期2常见周期函数三角函数如周期周期3类周期性如等可推导函数的周期4周期性与图像关系函数图像每隔一个周期重复出现方法技巧 周期推导技巧利用的变形推导周期如可推出周期为4 图像法判断画出函数在一个周期内的图像再向左右平移复制得到完整图像 交点问题利用周期性只需分析一个周期内的情况再乘以周期数 易错点注意函数的定义域周期必须在定义域内恒成立【经典例题1】（25-26高二上·云南昆明·期中）若函数fx是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有fx=fx+2，且当x∈0,1时，fx=3x−1A．1,5 B．5,7 C．5【答案】C【详解】由f(x)是定义在ℝ上的偶函数，且f(x)=f(x+2)，得f(x)的周期为2，当x∈[0,1]时，f(x)=3x−1，故当x∈[−1,0]因此f(x)在一个周期内的值域为0,2．函数g(x)=f(x)−loga(x+2)(a>1)在区间(−1,5)等价于y=f(x)与y=loga(x+2)的图象在(−1,5)结合f(x)的周期性与图象可知，满足loga(3+2)<2且loga【经典例题2】（2026高一·全国·专题练习）若函数y=fxx∈R满足fx+2=fx，且x∈−1,1时，fx=1−x【答案】12【分析】结合函数周期性和解析式可作出y=fx与y=gx在【详解】∵fx+2=fx，∴f∵当0<x<1时，lgx<0；当x≥1时，lgx≥0；又f−6=f0=1>g−6可作出y=fx与y=gx在由图可知：y=fx与y=gx在−6,6上有∴函数ℎx=fx−gx【巩固练习1】（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=1−cosπ3x,0<x≤31A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】对该方程进行因式分解，得到f(x)的可能取值，分析x>0时f(x)的分段函数图象和性质，再利用奇函数性质得到x<0和x=0时的图象，结合f(x)的图象确定a的取值.【详解】由f2(x)−(a−1)f(x)−a=0即f(x)=a或f(x)=−1.fx是定义在R上的奇函数，则f由题意知当0<x≤3时，fx当3<x≤6时，0<x−3≤3，则fx当6<x≤9时，3<x−3≤6，则fx以此类推，可作出当x>0时fx时的图象，再由奇函数对称性可得x<0时f结合图象可知，y=−1和f(x)的图象有2个交点，即f(x)=−1有2个根；当a=1时，y=1和f(x)的图象有2个交点，即f(x)=a有2个根，结合图象可知其他选项不合题意，所以a=1，满足原方程恰有4个互不相等的实数根.【巩固练习2】（25-26高一下·北京·阶段检测）已知函数f(x)=1−①若函数y=fx−kx有4个零点，则实数k②关于x的方程fx−12n③对于实数x∈1,+∞，不等式④当x∈2n−1,2n（n∈N其中所有正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】分区间讨论去掉绝对值号，作出函数图象，数形结合可判断①；由数形结合判断②③，借助图象归纳规律可判断④.【详解】当1≤x≤32时，当32<x≤2时，当2<x≤3，则1<x2≤当3<x≤4，则32<x当4<x≤6，则2<x2≤3当6<x≤8，则3<x2≤4依次类推，作出函数f(x)的图像：对于①：函数y=f(x)−kx有4个零点，即y=f(x)与y=kx有4个交点，如图，直线y=kx的斜率应该在直线m，l的斜率之间，又因为km=16，对于②：令fx−12n当x∈2i,2i+1，i=0,1,⋅⋅⋅,n−1当x∈2n,2n+1所以f(x)=12n对于③：对于实数x∈[1,+∞)，不等式2xf(x)−3≤0恒成立，即由图知函数f(x)的每一个上顶点都在曲线y=32x上，故对于④：当x∈2n−1,所以函数f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为12综上所述：所有正确结论的个数为4.【巩固练习3】（25-26高一上·云南文山·期末）已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)=x(x−1).若关于x的方程[f(x)]2+13−af(x)−1A．−1,−12 B．−1,−12 C．【答案】A【分析】先求出区间[−1,3]上f(x)的表达式，并作出函数图象，再将方程有根问题转化为函数交点问题，结合图象求解即可.【详解】由f(x+1)=2f(x)得fx当x∈(0,1]时，f(x)=x(x−1)；f(−1)=1设x∈−1,0，则x+1∈0,1，所以设x∈1,2，则x−1∈0,1，所以设x∈2,3时，则x−1∈1,2，所以画出x∈−1,3的函数f(x)由[f(x)]2+1所以fx=−1由图可知，y=−13与即方程fx而方程[f(x)]2+1所以方程fx=a有两个实根，即y=a与由图可知−1<a<−12，即a的取值范围是故选：A课后过关检测课后过关检测一、单选题1．（2026·陕西渭南·三模）函数y=sinxlnA． B．C． D．【答案】C【分析】利用函数奇偶性判断AB，再由函数在x∈(0,π【详解】因为y=sinxln且sin−x所以函数y=sin当x∈(0,π)时，sinx>0，又因为x2<所以当x∈(0,π)时，fx<0，即排除选项D，选项C符合.2．（2026·天津·模拟预测）函数fx=1A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性及赋值法判断即可．【详解】由fx=1可得f−x所以函数fx当x=π4时，可得所以该函数的图象大致为选项A．3．（2026·天津河北·二模）函数fx=xA． B．C． D．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用特殊值法判断.【详解】fx定义域为R，且f故fx又f1故函数fx4．（25-26高三下·天津·阶段检测）函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是（

）A．f(x)=x32(1−|x|)C．f(x)=x32(【答案】A【分析】由x取值情况判断B；由0<x<1时函数值情况判断C；由f(0)的值判断D；分析函数性质判断A.【详解】对于B，函数f(x)=x2(x2+1)对于C，函数f(x)=x32(x2−1)，当对于D，函数f(x)=x2+12(x对于A，函数f(x)=x32(1−|x|)f(−x)=(−x)32(1−|−x|)当0<x<1时，f(x)>0；当−1<x<0时，f(x)<0，A可能是.5．（2026·山东济南·二模）已知函数y=fx的部分图象如图所示，则fx的解析式可能为（A．fx=xC．fx=4【答案】D【分析】分析各选项中函数的定义域、零点、奇偶性以及函数值符号，结合题中图象可得答案.【详解】对于A选项，对于函数fx=x2−9即函数fx=x对于B选项，令fx=4xx2对于C选项，函数fx=4f−x=4对于D选项，函数fx=4f−x=4令fx=4sinx当x∈0,π时，sinx>06．（2026·四川南充·二模）函数fx的部分图象如图所示，则fx的解析式可能是（A．fx=x321−x B．【答案】A【分析】由函数定义域、值域及对称性判断.【详解】B选项，函数fx=xCD选项，对于函数fx，当x>1时，fA选项，函数fx=xf−x当x<−1或0<x<1时，fx>0；当−1<x<0或x>1时，A选项正确.7．（2026·山西临汾·二模）已知函数fx=2x−1,x≤2,3A．0,1 B．0,2 C．0,3 D．1,3【答案】A【分析】解方程fx2−a+5fx+5a=0得fx=a或fx=5【详解】由fx2−a+5f当x≤0时，fx当0<x≤2时，fx当x>2时，fx作出函数fx、y=5、y=a由图可知，直线y=5与曲线y=fx有0个交点，即方程f所以由题方程fx=a有3个不同的解，即直线y=a与曲线y=fx有38．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为R的函数fx满足fx=fx+2，且当−2≤x<0时，fxA．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】将本题转换成两个函数交点数量的问题，利用图像法进行求解.【详解】由fx=fx+2因为方程8fx+x−4=0等价于令gx=−18x+由此作出函数y=fx与y=g如图所示．因为f2=f0=f−2所以y=fx和y=gx的函数图象交点个数为4，故方程9．（2026·河南焦作·一模）已知函数fx=2xx2+1，A．0，1 B．1 C．−∞，【答案】B【分析】画出函数图象，数形结合得到答案.【详解】x≥0时，fx=2x令f′x>0得0<x<1，令f故fx=2xx2又f0=0，x>0时，fx当x<0时，fx=−1画出fx方程fx=t恰有2个实根，即y=fx则t=1，则实数t的取值范围是1.10．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数fx=2x−2,x≥0−2x−2,x<0，若存在实数xA．−2log32,0C．−34log【答案】B【分析】根据分段函数的解析式作出函数fx的图象，然后根据已知条件确定x【详解】作出函数fx的图象，如图所示，设f所以−2x1−2=k，解得：x解得：x2=log所以x1fx令gk=−kk+22，则gk在令ℎk=log22+k−log所以0<ℎk≤log所以x1fx故选：B．11．（2025·海南·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足fx+fx+1=1，且当x∈0,1时，fx=x2．若A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】由已知可得fx+2=fx【详解】因为fx+fx+1从而可得fx+2当x∈0,1时，fx=当x∈1,2时，x−1∈0,1，由fx所以fx=1−x−1所以，在R上有：0≤fx又y=logax(a>0，且a≠1)当0<a<1时，作出两函数的图象，如图，由图可知，两函数的图象只有1个交点，不符合题意.当a>1时，作出两函数的图象，如图，结合函数fx的周期性可知，两函数的图象在(0,1]上没有交点；在(1,3]，(3,5]，(5,7]，(7,9]上均有2个交点；在[9,10]要使fx的图象与曲线y=logax(a>0，且a≠1)恰有10个交点，由图可知，只需故选：C.12．（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数f(x)=lg(x−1),x>1A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】首先解得f(x)=1或f(x)=2，再根据函数fx【详解】由f2(x)−3f(x)+2=0得[f(x)−1][f(x)−2]=0，解得f(x)=1或画出f(x)的大致图象如图所示，由图可知，此时方程有10个交点．（图中只显示了6个交点，当x>2或x<−2时，y=2和y=1与图象还有4个交点，）故选：D.二、多选题13．（2025·山东济南·模拟预测）已知函数f(x)的定义域为R，f(x)+f(x+1)=1，且当x∈[0,1]时，f(x)=x2，则（A．fB．当x∈[2024,2026]时，曲线y=f(x)与x轴围成的面积小于1C．若函数g(x)=f(x)−logax（a>0，且D．若0<a<b<2，且f(a)=f(b)，则a+b的最大值为2【答案】AC【分析】整理题干中的等式，可得函数的周期性，对于A，利用函数周期性，结合题干中易知函数解析式，可得其正误；对于B，利用函数周期性，可得函数在0,2上的解析式，并可作图，易知所求图形面积与图象相同，根