解题大招01 巧用二级结论秒解集合问题（原卷版及解析）

4/4解题大招01巧用二级结论秒解集合问题二级结论01集合相等的拓展性质若有限数集A=B，则有：(1)两个集合的所有元素之和相等;(2)两个集合的所有元素之积相等.二级结论02一个与补集有关的定律——德摩根定律德摩根定律：设为全集，集合是它的两个子集则有:(1)（交集的补集等于补集的并集);(2)(并集的补集等于补集的交集).二级结论03整数集的相关结论整数集的元素可用表示；若分成两类，则可用或表示，其中和都表示奇数；若分成三类则可用或表示，其中和表示一类数，和表示一类数；若分成四类则可用或表示，以此类推.二级结论04集合的子集个数1．若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集．2.设集合有个元素，集合有个元素，(1)若，则的个数是；(2)若，则的个数是；(3)若，则的个数是；(4)若，则的个数是。二级结论05集合运算的相互转化两集合之间的关系与运算可以相互转化：(1)；(2)；(3)(4).二级结论06容斥定理——求集合中元素个数的利器1.容斥定理在部分有限集中,我们经常遇到有关集合中元素的个数问题,我们常用Venn图表示两集合的交、并、补,如果用card表示有限集合中元素的个数,即card(A)表示有限集A的元素个数,则有如下结论:(1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B);(2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).这一结论被称为容斥定理.2．容斥定理的两种重要变形card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∪B).题型01集合相等的拓展性质的应用若已知有限数集A=B,求集合中的参数，常规思路是利用“若两个集合相等，则两个集合中的对应元素完全相同”这一结论进行分类讨论，求解过程比较冗长繁杂.而巧用集合相等的拓展性质，则可迅速得到关于参数的方程（组），解方程（组）即得参数的值.【典例1-1】已知集合A=B=且A=B,则实数的值为.【典例1-2】含有3个实数的集合可表示为,也可表示为，则=【跟踪训练】1．已知:,,,且，，则集合=.2．已知集合，若，则=.题型02利用德摩根定律简化集合运算利用德摩根定律，我们可以把求两个集合补集的交集或并集问题转化成求它们并集或交集的补集问题，从而减少了一步集合运算，简化解题过程.【典例2】设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，B＝{2,3,4}，则()∩等于()．A．{1}B．{5}C．{2,4}D．{1,2,4,5}【跟踪训练】1．已知全集中有个元素，中有个元素.若非空，则的元素个数为（）A. B. C. D.2．设集合U＝R，，则()=.题型03整数集相关结论的妙用利用整数集的相关结论可以迅速判断两集合间的关系.【典例3】已知集合，则之间的关系（） A. B. C. D.【跟踪训练】1．已知集合，，则A.B.C.D.与的关系不确定2．已知集合M={y|y=2x+13，x∈Z}，N={y|y=23A．M＝N B．M⊂N C．M⊃N D．M∩N＝ϕ题型04判断集合的子集个数1．在写集合的子集或真子集时，一般是按照集合中的元素的个数的多少，遵循由少到多的原则，做到不重不漏.需要特别注意的是，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集,因此，在写集合的子集或真子集的时候，不要遗漏空集.2．确定集合的子集、真子集的个数时，可以利用“若集合A中元素的个数为n，则集合A中有个子集，个真子集，个非空真子集”直接求解.【典例4-1】集合，则的子集有（

）个A．8 B．7 C．6 D．3【典例4-2】满足集合的个数为.【跟踪训练】1．已知集合，，，则集合C的子集有（

）A．64个 B．63个 C．16个 D．15个题型05求集合运算中的参数取值范围利用集合运算与集合间关系的二级结论能迅速将集合的运算转化为两集合间是否包含的关系，再进一步转化为元素与集合的关系速解.【典例5-1】已知集合(1)若,求实数的取值范围;(2)若,求实数的取值范围.【典例5-2】在①；②；③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答．已知集合或，．(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围；(3)若，求实数的取值范围.【跟踪训练】1．若集合(1)用列举法表示集合.(2)若，求实数的值.2．（25-26高一下·四川内江·期中）设全集为，集合，．(1)求如图阴影部分表示的集合；(2)已知且，若，求实数的取值范围．题型06利用容斥定理秒解元素个数问题对于这类问题，一般有两种策略：一是画出Venn图，设出未知数，借助Venn图列出方程（组）求解；二是利用容斥定理速解.【典例6-1】共有50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为A．50B．45C．40D．35【典例6-2】在开秋季运动会时，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有同时参加三项比赛的同学，问：同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的同学有多少人？【跟踪训练】1．为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(

).A．10 B．9 C．7 D．42．某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了化学讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了化学讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若，，，，则（）A． B．C． D．1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合，，若，则（

）A． B．2 C． D．12．（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（

）A．8 B．16 C．2 D．13．（2026·江西·二模）已知集合，集合，则集合的真子集个数为（

）A．3 B．4 C．15 D．164．（25-26高三下·湖南邵阳·月考）若，则的真子集个数为（

）A．3 B．8 C．7 D．65．（2026·安徽马鞍山·二模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．6．（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（

）A． B． C． D．7．（2026·四川遂宁·二模）设，则（

）A． B．C． D．8．（2026·湖南怀化·二模）已知集合，．若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，且，则（

）A．1 B． C．2 D．10．（25-26高一上·甘肃白银·期中）某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（

）A．8 B．7 C．6 D．511．（25-26高一上·四川巴中·月考）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（

）A．7人 B．8人 C．9人 D．10人12．（25-26高一上·河南新乡·期中）设全集，，则使成立的集合B至多有________个．13．（25-26高三上·北京·月考）已知集合，若，则实数的值为_____.14．（25-26高一上·陕西西安·期中）已知集合，.(1)若，求；(2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答.问题：若选__________，求实数的取值范围.

解题大招01巧用二级结论秒解集合问题二级结论01集合相等的拓展性质若有限数集A=B，则有：(1)两个集合的所有元素之和相等;(2)两个集合的所有元素之积相等.二级结论02一个与补集有关的定律——德摩根定律德摩根定律：设为全集，集合是它的两个子集则有:(1)（交集的补集等于补集的并集);(2)(并集的补集等于补集的交集).二级结论03整数集的相关结论整数集的元素可用表示；若分成两类，则可用或表示，其中和都表示奇数；若分成三类则可用或表示，其中和表示一类数，和表示一类数；若分成四类则可用或表示，以此类推.二级结论04集合的子集个数1．若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集．2.设集合有个元素，集合有个元素，(1)若，则的个数是；(2)若，则的个数是；(3)若，则的个数是；(4)若，则的个数是。二级结论05集合运算的相互转化两集合之间的关系与运算可以相互转化：(1)；(2)；(3)(4).二级结论06容斥定理——求集合中元素个数的利器1.容斥定理在部分有限集中,我们经常遇到有关集合中元素的个数问题,我们常用Venn图表示两集合的交、并、补,如果用card表示有限集合中元素的个数,即card(A)表示有限集A的元素个数,则有如下结论:(1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B);(2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).这一结论被称为容斥定理.2．容斥定理的两种重要变形card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∪B).题型01集合相等的拓展性质的应用若已知有限数集A=B,求集合中的参数，常规思路是利用“若两个集合相等，则两个集合中的对应元素完全相同”这一结论进行分类讨论，求解过程比较冗长繁杂.而巧用集合相等的拓展性质，则可迅速得到关于参数的方程（组），解方程（组）即得参数的值.【典例1-1】已知集合A=B=且A=B,则实数的值为.【答案】0【分析】利用本文所述的两个性质，可以列出关于的两个方程组，解方程组即可.【详解】∴即解得.【点评】本题如果仅运用性质(1)也可求解,不过将产生增根（代入A,B中），必须舍去.【典例1-2】含有3个实数的集合可表示为,也可表示为，则=【答案】1【分析】根据题意可得=，故此题也可用本性质求解..【详解】∵此集合可表示为,也可表示为，∴=.∴，解得∴【点评】发现题中给出的两个集合相等是解决本题的关键.在解题时，要注意认真审题，学会将已知条件进行合理转化，化未知为已知，化复杂为简单.【跟踪训练】1．已知:,,,且，，则集合=.【答案】{1,2,4,8}【详解】∴,∵,∴∴又∵,∴分别为1,2,4或2,2,2.而当时，集合B中的三个元素均为4,与元素的互异性矛盾，舍去..故B={1,2,4,8}2．已知集合，若，则=.【答案】【解析】根据题意，分两种情况进行讨论:（1）若，消去，得当时，集合中的三个元素均为零，与元素的互异性相矛盾，故∴，即，此时中的三个元素又相同，∴∴此时无解.（2）若消去，得∵，即又题型02利用德摩根定律简化集合运算利用德摩根定律，我们可以把求两个集合补集的交集或并集问题转化成求它们并集或交集的补集问题，从而减少了一步集合运算，简化解题过程.【典例2】设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，B＝{2,3,4}，则()∩等于()．A．{1}B．{5}C．{2,4}D．{1,2,4,5}【答案】B【分析】本题可按先后顺序直接计算,也可利用德·摩根定律求解.【详解】解法1：={2,4,5}和＝{1,5}，故()∩=｛5｝.解法2：A∪B＝{1,2,3,4}，由德·摩根定律得()∩.【跟踪训练】1．已知全集中有个元素，中有个元素.若非空，则的元素个数为（）A. B. C. D.【答案】D【详解】注意到.则中元素的个数为个2．设集合U＝R，，则()=.【答案】【详解】因为，所以由德·摩根定律得().题型03整数集相关结论的妙用利用整数集的相关结论可以迅速判断两集合间的关系.【典例3】已知集合，则之间的关系（） A. B. C. D.【答案】B【解析】解法一：简单列举集合中的元素；∴，即，故选.解法二：判断集合中元素的共性和差异.∵，故选.【点评】辨析集合之间的关系应该从集合中元素的特点入手，可将元素列举出来直观分析，也可从描述法中认识集合中元素具备的特性，定性分析，以上两种思想是解决此类问题的通法，应根据问题的具体情况合理选择.【跟踪训练】1．已知集合，，则A.B.C.D.与的关系不确定【答案】A【解析】对于集合，当分母为时，分子为，能取遍全体偶数，而对于集合，当分母为时，分子为，能取遍全体整数，显然，“全体偶数”是“全体整数”的子集，即是的子集（也是真子集），故选A.2．已知集合M={y|y=2x+13，x∈Z}，N={y|y=23A．M＝N B．M⊂N C．M⊃N D．M∩N＝ϕ【答案】A【分析】通过分析两个集合中元素的关系，结合集合子集的定义分析求解即可．【解析】因为集合M＝{y|y=2x+13，x∈集合N＝{y|y=23x﹣1，x∈Z}＝{y|y=2x−33=即M＝N．故选：A．题型04判断集合的子集个数1．在写集合的子集或真子集时，一般是按照集合中的元素的个数的多少，遵循由少到多的原则，做到不重不漏.需要特别注意的是，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集,因此，在写集合的子集或真子集的时候，不要遗漏空集.2．确定集合的子集、真子集的个数时，可以利用“若集合A中元素的个数为n，则集合A中有个子集，个真子集，个非空真子集”直接求解.【典例4-1】集合，则的子集有（

）个A．8 B．7 C．6 D．3【答案】A【分析】由题可解集合，再利用子集个数求解公式可求.【解析】因为，所以则的子集有个，故选：A.【典例4-2】满足集合的个数为.【答案】7【分析】依题意，集合中一定含有元素1，3，另外还可含有中的0个、1个、2个元素，所以本题可转化为求集合的子集个数问题.【详解】依题意，集合的个数.即为集合的真子集个数，共有个.【跟踪训练】1．已知集合，，，则集合C的子集有（

）A．64个 B．63个 C．16个 D．15个【答案】C【解析】由集合，，且，因为，，可得集合，所以集合的子集有个.故选：C.题型05求集合运算中的参数取值范围利用集合运算与集合间关系的二级结论能迅速将集合的运算转化为两集合间是否包含的关系，再进一步转化为元素与集合的关系速解.【典例5-1】已知集合(1)若,求实数的取值范围;(2)若,求实数的取值范围.【分析】因为的含义是;的含义是且另外在讨论的过程中,还需注意是的一种情况,不要漏掉.【详解】(1)因为,所以eq\o\ac(○,1)当时,,解得;eq\o\ac(○,2)当或时,,解得,此时;eq\o\ac(○,3)当时,是方程的两个根,则有,解得综上所述,实数的取值范围是或(2)因为,所以.因为，且集合中至多有两个元素,所以.由(1)知【典例5-2】在①；②；③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答．已知集合或，．(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围；(3)若，求实数的取值范围.【分析】根据题意，求得，结合集合的运算，即可求解；【详解】（1）由不等式，解得或，可得或，当时，可得，则，所以．（2）由集合或和，(1)由或，可得，要使得，则，解得，所以实数的取值范围为；(2)由，即，可得，解得，所以实数的取值范围为；(3)由，可得，可得，解得，所以实数的取值范围为.【跟踪训练】1．若集合(1)用列举法表示集合.(2)若，求实数的值.【答案】(1)；(2)或【分析】（1）解一元二次方程即可；（2）根据并集的结果得到集合的包含关系即可求解.【详解】（1）由解得或，所以.（2）因为，所以，由解得或，若，则，满足；若，则，因为，所以，综上或.2．（25-26高一下·四川内江·期中）设全集为，集合，．(1)求如图阴影部分表示的集合；(2)已知且，若，求实数的取值范围．【答案】(1)或(2)【分析】（1）解不等式求出，再计算即可求出答案；（2）由得，分为和两种情况分别求解，即可求出答案.【详解】（1）解不等式得或，所以或，或，所以或.（2）由得，当，即时，，符合题意；当，即时，则，解得，综上所述，，所以实数的取值范围为.题型06利用容斥定理秒解元素个数问题对于这类问题，一般有两种策略：一是画出Venn图，设出未知数，借助Venn图列出方程（组）求解；二是利用容斥定理速解.【典例6-1】共有50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为A．50B．45C．40D．35【答案】B【分析】思路1：先转化为集合语言，再用Venn图来分析解决问题；思路2：先转化为集合语言，再利用上述结论：求解.【详解】解法1：A∩BA∩BA30-xxB25-x设集合A，B分别表示参加甲项、乙项活动的学生的集合，则A有30个元素，B有25个元素，A∪B有50个元素，设A∩B中元素的个数为x个.由Venn图可知，A∪B的元素有三部分：（1）属于A但不属于B的元素,有（30-x）个；（2）属于B但不属于A的元素,有（25-x）个；（3）A、B的公共元素,有x个.所以（30-x）+（25-x）+x=50，解得x=5，所以仅参加一项活动的学生人数为50-x=45.解法2:设集合A，B分别表示参加甲项、乙项活动的学生的集合，则所以，即两项活动都参加的学生人数为5，所以仅参加了一项活动的学生人数为45.【典例6-2】在开秋季运动会时，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有同时参加三项比赛的同学，问：同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的同学有多少人？【分析】本题考查集合命题中的实际应用问题，涉及元素个数问题时，可用公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)的推广形式card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，或利用Venn图解决．【详解】解法一：设同时参加田赛和球类比赛的共有x人，参加径赛的为集合A，参加田赛的为集合B，参加球类比赛的为集合C，则有card(A)＝15，card(B)＝8，card(C)＝14，由条件知card(A∩B)＝3，card(A∩C)＝3，A∩B∩C＝，即card(A∩B∩C)＝0.故有15＋8＋14－3－3－x＋0＝28，解得x＝3.即同时参加田赛和球类比赛的共有3人．只参加径赛的有15－3－3＝9(人)．解法二：设参加径赛的为集合A，参加田赛的为集合B，参加球类比赛的为集合C，根据题意画出Venn图，如图所示．在图中相应的位置填上数字，设同时参加田赛和球类比赛的人数为x.由题意得9＋3＋3＋(8－3－x)＋x＋(14－3－x)＝28，解得x＝3.即同时参加田赛和球类比赛的人数为3人，只参加径赛的人数为9人．【跟踪训练】1．为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(

).A．10 B．9 C．7 D．4【答案】A【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解.【详解】有15人参加篮球社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，所以只参加篮球社团的9人；设同时参加AI社团和围棋社团有人，因为有8人参加AI社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，所以只参加AI社团的有人；又因为有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，所以只参加围棋社团的有人.综上所述，共有30人参加了学校社团，所以，解得，故只参加围棋社团的人数为人.故选：A.2．某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了化学讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了化学讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若，，，，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据的定义，结合集合，，的元素个数可得解.【详解】A选项：由已知，则，A选项错误；B选项：，B选项正确；C选项：，C选项错误；D选项：，D选项错误；故选：B.1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合，，若，则（

）A． B．2 C． D．1【答案】D【详解】因为，所以，即，所以.2．（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（

）A．8 B．16 C．2 D．1【答案】A【详解】因为直线，，能构成三角形，所以不平行于且不平行于且，，不共点，当不平行于时，可得，当不平行于时，可得，当，，不共点时，由，解得，所以，解得，所以且且，所以，所以的子集个数为.3．（2026·江西·二模）已知集合，集合，则集合的真子集个数为（

）A．3 B．4 C．15 D．16【答案】C【详解】求解集合，由得，即.故.求解集合，由且，得，整数解为，故.所以，该集合元素个数为.因为个元素的集合真子集个数，代入得真子集个数为.4．（25-26高三下·湖南邵阳·月考）若，则的真子集个数为（

）A．3 B．8 C．7 D．6【答案】C【详解】因为，所以，所以的真子集个数为.5．（2026·安徽马鞍山·二模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，对于A，因为，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C错误，D正确6．（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】已知集合，因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足，即，，所以集合，集合M中的元素是一个点.集合，集合N中的元素是两个数0和1.所以集合M与集合N没有公共元素，即.7．（2026·四川遂宁·二模）设，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】集合，代表所有奇数构成的集合，所有奇数都可以写成的形式.对集合中任意元素，变形得，因为，所以，因此符合中元素的形式，即任意都有，可得，A正确；取奇数，（时），但若，得，因此，说明，，取奇数，（时）且（时，），即和有公共元素，交集不为空，因此B、C、D错误.8．（2026·湖南怀化·二模）已知集合，．若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，解得，所以.因为，所以，如图：所以．9．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，且，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【详解】由，得，所以或或，解得或或或.当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去.当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去.当时，，，符合题意.当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去.故.10．（25-26高一上·甘肃白银·期中）某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社