2027年高考数学一轮复习第二章 二次函数、指对幂函数以及函数应用测试卷（解析版）

年一轮复习第二章二次函数、指对幂函数以及函数应用高三数学测试卷（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求二次函数的对称轴，根据单调性确定闭区间上的最值.【详解】函数的对称轴为，在单调递减，在单调递增，所以，，当，，故原函数的值域为.2．函数（且）的图象必经过点（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，令，求得，且，即可求解.【详解】由函数，令，解得，此时，所以函数且的图象必经过点．3．函数的一个零点所在区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，结合零点存在性定理可得结论【详解】定义域为，，令得，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，，，其中，故，，，由零点存在性定理可得函数的一个零点所在区间为，其他选项均错误.4．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二次函数即可求解.【详解】由题意得：，又在上是增函数，所以，即.5．设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数是减函数，所以，即；因为函数是减函数，所以，即；，，所以.函数是减函数，所以，即.所以.6．已知函数有两个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】函数有两个零点，则方程有两个实根，即有两个实根，即直线与函数的图象有两个交点.结合函数的图象，可得，所以的取值范围是.7．某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）（

）A．年 B．年 C．年 D．年【答案】D【详解】已知衰减公式，当的质量衰减为最初的时，满足：，即，两边取对数得：，则，即．8．已知函数，若有四个零点，，，，且满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先画图确定函数有四个零点时m的取值范围，再利用韦达定理及对数性质求出和，最后通过换元法求取值范围.【详解】作出函数的图象，如图：因为有四个零点，所以，因为，，所以，即，所以，则，因为是方程的根，即的根，所以，又，所以，令，则，令，则，所以，因为在上单调递减，所以，即的取值范围是.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知点在幂函数的图象上，则函数是（

）A．定义域内的减函数 B．奇函数C．偶函数 D．上的减函数【答案】BD【分析】根据幂函数的定义得出，再结合点的坐标得出解析式，根据解析式判断幂函数单调性及奇偶性即可求解．【详解】由题意，解得，则，将点，即代入，得，即，定义域为，有，故为奇函数，故B正确，C错误；又，所以在和上为减函数，故A错误，D正确．10．（多选）已知函数，则（

）A．在单调递增 B．在单调递减C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称【答案】AC【分析】的定义域为．由于，从而对的研究可转化为对二次函数的研究．因为，所以在上单调递增，在上单调递减，直线是的图象的对称轴．从而排除B，D．【详解】,则，解得.，设，可知在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增，在上单调递减，故A正确，B错误.因为，，且，因此的图象关于直线对称，故C正确，D错误.11．一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（

）A．B．的最大值为124C．该运动员第9分钟时恢复到静息心率D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟【答案】ABD【分析】对于A，根据分段函数定义可得当时，，，结合函数单调性即可判断；对于B，对每段函数分别求最大值即可判断；对于C，将代入函数计算函数值即可判断；对于D根据“运动后活跃期”定义求得满足的值即可判断.【详解】对于A，当时，，则，其中，为正整数，当时，，此时，符合题意，当时，，此时，不符合题意，因为单调递减，且为正整数，所以，故A正确；对于B，当且时，，所以当时，取得最大值：，当且时，，，因为在上单调递减，所以，所以当时，取得最大值：，综上，的最大值为124，故B正确；对于C，当时，，所以该运动员第9分钟时没有恢复到静息心率，故C错误；对于D，当且时，，当时，取得最小值，，所以此阶段该运动员身体一直处于“运动后活跃期”，当且时，，，即，所以，即，解得，所以有，，综上，当且时，，因此该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟，故D正确.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知幂函数在区间上单调递增，则___________．【答案】2【分析】根据幂函数的定义和性质列式求解即可.【详解】因为幂函数在区间上单调递增，则，解得.13．设函数，当时，函数的最小值为______；若无最小值，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】作出函数图像，利用数形结合即可求解.【详解】当时，，作出函数的图像：由图可知：，要使无最小值，只需无最小值，即的对称轴在直线处或右边，即，且，解得，所以.14．已知函数，其中且.若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为_____，且的取值范围为_______.【答案】【分析】根据给定条件，按分类作出函数的图象，数形结合求出的范围；再利用方程根的意义，结合基本不等式求出范围.【详解】当时，函数的图象及直线如图：当时，函数的图象及直线如图：当时，函数的图象及直线如图：当时，函数的图象及直线如图：观察图象知，当且仅当且，即时，函数的图象及直线有3个交点，即方程有三个不相等的实数根，不妨令，则，由，得，即，因此，则，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．计算：(1).(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）分别根据指数幂的运算和指数幂与根式的转化计算即可．（2）利用对数的运算性质和换底公式计算即可.【详解】（1）（2）.16．已知甲、乙两地的距离是100km，按交通法规规定，甲、乙两地之间的公路车速应限制在0～120km/h，统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【答案】(1)(2)；【分析】（1）将代入，得，最后得到从甲地到乙地的耗油量即可.（2）设从甲地到乙地耗油为，结合题意得到，再结合导数研究该函数的单调性即可求解.【详解】（1）将代入，得，所以从甲地到乙地要耗油升.（2）设从甲地到乙地耗油为，则，化简得，而，当时，，单调递减；当时，，单调递增，则当时，取得最小值，此时，即当汽车速度为千米每小时时，从甲地到乙地耗油最少，最少为升.17．已知函数．(1)若，求不等式的解集；(2)已知在上单调递增，求的取值范围；(3)若，求在上的值域．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）当时，得到函数，结合一元二次不等式的解法，即可求解不等式的解集；（2）结合二次函数的图象与性质，即可求解；（3）根据二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）当时，函数，不等式，即，解得或，即不等式的解集为.（2）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，要使得在上单调递增，则满足，所以的取值范围为.（3）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，当时，函数在递减，在上递增，所以最小值为，又因为区间端点比距离对称轴更远，故函数在处取最大值，在上的值域为.18．已知幂函数在上单调递增，(1)求函数的解析式；(2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围；(3)求关于x的不等式的解集（其中）.【答案】(1)(2)(3)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.【分析】（1）由幂函数的定义求解即可；（2）由（1）知，再结合二次函数的性质即可求解；（3）因式分解可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.【详解】（1）由题意可得，解得或，又因为在上单调递增，所以，所以，所以.（2）由（1）知，又因为函数在区间上是增函数，所以，解得或，即的取值范围为.（3）不等式转化为，则.当时，解得或，即不等式的解集为；当时，解得，即不等式的解集为；当时，解得或，即不等式的解集为.综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.19．已知函数．(1)若的值域为，求实数的取值范围．(2)已知当时，恒有意义．（Ⅰ）求在上的最小值；（Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)（Ⅰ）；（Ⅱ）【分析】（1）对数函数的值域为即真数可以取遍所有的正实数，因为的真数结构比较复杂，换元后通过分析真数的取值范围可求解.（2）（Ⅰ）首先根据当时，恒有意义，结合基本不等式求出的取值范围，对二次函数对称轴的位置分类讨论可求得在上的最小值；（Ⅱ）首先根据恒（能）成立问题得到，再求出在上的最小值，根据（Ⅰ）中结果解不等式即可得解.【详解】（1）因为函数的值域为，所以真数需取遍所有的正实数，令，则，构造函数，所以可将需取遍所有的正实数问题转化为在时取遍所有的正实数.对于，图象的开口向上，对称轴方程为，由在时取遍所有的正实数知在上的图象与x轴至少有一个交点，所以在上的最小值小于等于0，所以，且对称轴（否则在上单调递增，，无法取遍所有的正实数），由，解得，所以实数的取值范围是.（2）同（1）中的函数，当时，，恒有意义，即在时恒成立，当时，恒成立；当时，将分离参数得，由基