第09讲函数的概念、定义域与值域（知识清单+5典例精讲+5方法技巧+分层训练）（原卷版）

第09讲函数的概念、定义域与值域（知识清单+5典例精讲+5方法技巧+分层训练）近3年考查情况题型分值定义域（分式/对数型）、值域（单调性）、函数概念单选、多选5分/6分定义域（偶次根式/指数型）、换元法求值域单选、填空5分基础定义域、简单值域求解单选、填空5分含参定义域、导数结合单调性求值域单选、解答题5分/10分【知识点01】函数的概念一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y＝f(x),x∈A.【例1】判断下列对应关系是否为函数：（1）A={x|x≥0}，B=R，对应关系f:x→y=±x；（2）A=R，B={y|y≥0}，对应关系【知识点02】函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域.(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.【例2】已知函数f(x)=x−2【知识点03】函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.【例3】已知函数f(x)=2x−1，用三种表示法表示该函数（定义域为{1,2,3,4}）。【知识点04】分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.【例4】已知分段函数f(x)={x2,x≥02x+1,x<0，求【题型一】函数概念辨析【例1】（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________【例2】（2026·青海西宁·一模）在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2【例3】（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数，且，则____【变式1】（2025·江西萍乡·三模）已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（

）A．675 B．1350 C．2025 D．4050【变式2】（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知函数的定义域为，当时，有，对，都有，则（

）A．0 B．1 C．2025 D．2026【变式3】（2025·广东深圳·模拟预测）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有______（写出对应编号）．①；

②；③；

④．【题型二】定义域求解【例4】（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______.【例5】（2026·广西桂林·模拟预测）若集合，函数的定义域为，则（

）A． B． C． D．【例6】（2024·浙江·模拟预测）若分式不论x取何值总有意义，则点关于x轴的对称点在第______象限．【变式1】（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【变式2】（多选）（2025·陕西·模拟预测）下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【变式3】（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数的定义域是，则函数的定义域是__________．【题型三】值域求解【例7】（2026·四川达州·二模）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【例8】（2025·上海长宁·一模）函数的值域为，则集合___________．【例9】（2025·河北·模拟预测）已知函数的定义域和值域相同．．(1)求a；(2)记的导函数为，求的极小值．【变式1】（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·陕西宝鸡·二模）若一个函数的定义域为，值域为，则它的解析式可能为：_______．【变式3】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数．(1)求函数的值域；(2)若不等式在上恒成立，求的取值范围；(3)当时，函数的值域为，求正数的取值范围．【题型四】分段函数相关计算【例10】（2025·贵州·模拟预测）已知函数则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例11】（多选）（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）设函数，若，则的值可能是（

）A． B． C．1 D．【例12】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，则______．【变式1】（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（

）A． B． C． D．【变式2】（2026·河北唐山·一模）已知，若，则______.【变式3】（2024·吉林·模拟预测）师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）.(1)求的函数关系式；(2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?【题型五】函数表示法【例13】（2025·浙江·二模）下列可以作为方程的图象的是（

）A．

B．

C．

D．

【例14】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，边长为1的正方形，其中边在轴上，点与坐标原点重合，若正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴上时，再以为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形的某个顶点落在轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点滚动时形成的曲线为，则（

）A．0 B． C．1 D．【例15】（多选）（2024·广西来宾·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且，则（

）A． B．为奇函数C．不存在零点 D．【变式1】已知函数的对应值图如表所示，则等于（

）函数的对应值表012345365427A．4 B．5 C．6 D．7【变式2】如图所示是一个无水游泳池，是一个四棱柱，游泳池是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的．现在向泳池注水，如果进水速度是均匀的（单位时间内注入的水量不变），水面与的交点为，则的高度随时间变化的图象可能是（

）A． B． C． D．【变式3】已知定义在R上的函数不是常值函数，且同时满足：①；②对任意，均存在使得成立；则函数______．（写出一个符合条件的答案即可）【解题大招01】定义域求解“分类限制法”技巧核心：按“分式、偶次根式、对数、零次幂”等不同限制条件分类列不等式（组），求解交集即为定义域，避免漏解。【例1】求f(x)=x−1log2【解题大招02】值域求解“单调性法”技巧核心：先判断函数在定义域内的单调性（一次、二次、对数函数可直接判断），再根据单调性求端点值，端点值（或极值）即为值域的最值。【例2】求f(x)=x2−2x+3【解题大招03】值域求解“换元法”技巧核心：令复杂根式、指数式为新变量t，转化为二次函数、一次函数求值域，注意新变量t的取值范围（换元必求范围）。【例3】求f(x)=2x−1+x（解析：令t=x−1≥0，则f(t)=2t+因t≥0，(t+1)2单调递增，最小值为(0+1)【解题大招04】分段函数“分段求解法”技巧核心：分段函数的定义域、值域、求值，均按“区间分段”处理，最后整合结果；求值时先判断x所属区间，再代入对应解析式。【例4】已知f(x)={2x−1,x<0x2【解题大招05】函数概念“唯一性判断法”技巧核心：判断对应关系是否为函数，只需验证“任意一个x，是否有唯一的y对应”，可结合图像（垂直于x轴的直线与图像至多一个交点）。【例5】判断f(x)={x,x≥0−x,x<0与【基础过关】（共8题）一、单选题1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知集合，则（

）A．或 B．或C． D．2．（2026·广东清远·二模）设集合，则（

）A． B． C． D．3．（2026·河北保定·三模）已知函数则（

）A．0 B．1 C．2026 D．2027二、多选题4．（2024·云南·模拟预测）已知定义在上的函数，对任意的满足，下列说法正确的是（

）A．若为一次函数，则B．若为一次函数，则C．若不是一次函数且，则D．若不是一次函数且，则三、填空题5．（2026·河南周口·二模）已知函数，则____________.6．（2024·河南信阳·一模）已知不等式的解集为，则函数的定义域为__________.7．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则的最小值为______．四、解答题8．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知集合，函数的定义域为集合．(1)当时，求；(2)设命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围．【拔高选练】（共6题）一、单选题1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若函数，则（

）A． B．2 C．3 D．42．（2026·浙江·模拟预测）已知集合，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2026·河南洛阳·模拟预测）下列选项中说法正确的是（

）A．函数的单调减区间为B．幂函数过点，则C．函数的定义域为，则函数的定义域为D．若函数的值域为，则实数的取值范围是三、填空题4．（2025·山东聊城·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且，则的值域为__________.5．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知函数，则的值域为__________．四、解答题6．（2024·四川成都·二模）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且（注：年利润年销售收入年总成本）(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；(2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量.【错题复盘】（共5题）一、单选题1．