第9讲 指数与指数函数的图像与性质【16个核心题型归纳】【原卷版】2027届高三数学一轮复习

2027届高考数学一轮复习题型全归纳2/45第9讲指数与指数函数的图像与性质题型总览题型总览总览核心题型归纳（目录）模块一模块一核心题型·举一反三【题型1】指数与指数幂的运算核心知识1根式性质2分数指数幂定义3指数幂运算律方法技巧 化根式为分数指数幂统一形式后再运算 先化简再求值优先处理负指数零指数分数指数 同底数幂优先合并不同底数化为同底后再运算【经典例题1】（2026·天津和平·三模）已知a=1log53，3bA．225 B．165 C．45【经典例题2】（24-25高一下·北京·阶段检测）（1）1（2）2【巩固练习1】（25-26高一下·北京·阶段检测）求值：1.5−1【巩固练习2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知3a=2,log9【巩固练习3】（25-26高一上·广东揭阳·阶段检测）计算下列各式的值：(1)271(2)log3【题型2】指数应用题型核心知识1常见模型增长率模型衰减模型复利模型2关键概念初始量增长率时间终值方法技巧 建模步骤确定初始量增长率/衰减率时间变量写出指数表达式 单位统一时间单位需与增长率周期一致 特殊值检验代入验证初始量是否正确【经典例题1】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0℃时的保鲜时间是192小时，在20℃时的保鲜时间是24小时，则该食品在30℃时的保鲜时间是【经典例题2】（2025高二上·河南·学业考试）已知放射性元素氡的半衰期是3.82天．质量为C0的氡经过t天衰变后，其质量为原来的164，则t=（A．488.96 B．122.24 C．22.92 D．19.10【巩固练习1】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么t min后物体的温度θ（单位：℃）可由公式θ=θ0+(θA．3min B．4min C．5min D．6min【巩固练习2】（25-26高三上·四川·阶段检测）一种质量为1kg的物质，在化学分解中，经过时间t（单位：min）后，所剩的质量m（单位：kg）与时间t的函数关系为m=akt（a，k均为参数，a>0且a≠1）.已知1kg的该物质，在化学分解中，经过t1min后，所剩的质量为0.5kgA．t1=tC．t1=4t【巩固练习3】（25-26高一上·安徽·阶段检测）预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是Pn=P0(1+k)nk>−1，其中Pn为预测期人口数，A．若在某一时期内−1<k<0，则这期间人口数呈下降趋势B．若在某一时期内k>0，则这期间人口数呈上升趋势C．若在某一时期内0<k<1，则这期间人口数呈摆动变化D．若在某一时期内k=0，则这期间人口数不变【题型3】指数函数的定义与判断核心知识1指数函数标准形式2判定条件底数且指数为自变量系数为13常见非指数函数（幂函数）方法技巧 三步判定一看底数范围二看指数是否为纯三看系数是否为1 易错提醒注意区分指数函数与幂函数指数函数底数为常数幂函数指数为常数【经典例题1】（2026高一·全国·专题练习）若y=a2−3a+3A．a=1 B．a=2C．a=3 D．a>0且a≠1【经典例题2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数y=ax+b（a>0且a≠1）的图像过点1,4，其反函数的图像过点2,0，求a【巩固练习1】（24-25高一上·重庆渝中·期中）已知指数函数fx=a−1bx的图象经过点−1,A．12 B．22 C．2【巩固练习2】（24-25高一上·重庆渝中·期末）对于任意a>0且a≠1，函数fx=amx+b+b的图象恒过定点1,2.若fx【巩固练习3】（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）函数fx=axa>0且a≠1的图象过点2,9，则A．13 B．3 C．19【题型4】指数函数的定义域核心知识1标准指数函数定义域为2复合型指数函数定义域限制来源分母不为0偶次根号下非负对数真数大于0等方法技巧 分层分析先看指数部分的定义域限制再结合指数函数性质 关键提醒指数函数本身无额外限制定义域问题均来自指数部分的复合结构【经典例题1】（25-26高一上·天津·阶段检测）函数y=152x−1【经典例题2】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的定义域与值域(1)y=2(2)y=2【巩固练习1】（24-25高一上·广东广州·期中）函数fx=9−【巩固练习2】（24-25高一下·辽宁·开学考试）函数f(x)=2x2xA． B．C． D．【巩固练习3】（24-25高三上·山东青岛·期末）函数f(x)=axax−a（a>0且a≠1）的图象关于点【题型5】指数函数的图像变换核心知识1平移变换左加右减上加下减2对称变换与关于轴对称与关于轴对称3伸缩变换水平伸缩压缩拉伸垂直伸缩方法技巧 变换顺序平移变换优先于伸缩变换或先伸缩再平移时注意平移量调整 定点追踪指数函数过定点可通过追踪定点位置判断变换结果【经典例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象．(1)y=x+2(2)y=1【经典例题2】（2026高三·全国·专题练习）函数y=ax−1aA． B．C． D．【巩固练习1】（2026高三·全国·专题练习）已知a>0，且a≠1，若函数y=ax−2与y=3a的图像有两个交点，则实数a【巩固练习2】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)=

A．

B．

C．

D．

【巩固练习3】（25-26高一上·湖北宜昌·期末）若a>1，则y=1ax与y=A． B．C． D．【题型6】指数函数型函数的奇偶性核心知识1奇偶性定义为偶函数为奇函数2常见奇偶指数型函数（奇函数）（偶函数）方法技巧 判定步骤先看定义域是否关于原点对称再计算并与对比 化简技巧利用统一底数形式再整理判断关系【经典例题1】（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）设a>0，函数fx=exa+a【经典例题2】（25-26高一上·浙江杭州·期末）若fx=x+a⋅2A．−1 B．0 C．12 【巩固练习1】（2025·湖南岳阳·一模）若函数fx=k+eexA．−e2 B．e2 C．−【巩固练习2】（2024·全国·模拟预测）已知fx=aexe2x−1+bA．−4 B．−2 C．4 D．6【巩固练习3】（23-24高三上·甘肃·月考）已知fx=ax【题型7】指数函数的单调性核心知识1标准指数函数单调性时在上单调递增时在上单调递减2复合型指数函数单调性遵循同增异减原则结合内层函数单调性判断方法技巧 底数分类讨论优先分和两种情况 复合分析先确定内层函数的单调区间再结合外层指数函数的增减性判断整体单调性【经典例题1】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数f(x)=e−x2+ax+2a在(1,2)上单调递减，则A．13,1 B．[0,4] C．[0,1] 【经典例题2】（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知函数fx(1)用定义证明函数fx在0,+(2)解不等式f2x【巩固练习1】（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数fx=0.6x2−2ax在A．−∞,−1 B．1,+∞ C．2,+【巩固练习2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数fx=12ax2A．0,13 B．−∞,1【巩固练习3】（25-26高一上·天津河东·期末）已知函数y=12【题型8】指数型函数的值域核心知识1标准指数函数值域为2复合型指数函数值域换元法令先求的范围再求的范围最后结合外层函数求值域方法技巧 换元三步法换元求的范围求外层函数的值域 边界注意指数函数值域恒大于0注意等号能否取到【经典例题1】（2026高三·全国·专题练习）若函数y=a2x+2ax−1(a>0,a≠1)在区间−1,1A．3 B．13 C．3或13 【经典例题2】（2026·河南开封·模拟预测）已知a>0，且a≠1，若函数fx=3−ax+1,x<1ax,x≥1A．12,1 B．1,2 C．2,3 【巩固练习1】（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数fx=−x2+2x+3,x≤2,ax,x>2（a>0且a≠1【巩固练习2】（2026·贵州六盘水·一模）已知函数fx=mx+1,x<2−2−x,x≥2A．−58,−12 B．−【巩固练习3】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数f(x)=kax−a−x(a>0(1)若f(1)>0，求不等式fx(2)若f(1)=32，且g(x)=a2x+【题型9】利用单调性比较指数的大小核心知识1同底不同指数利用指数函数单调性比较2同指数不同底利用幂函数单调性或中间量比较3不同底不同指数引入中间量（如01）比较方法技巧 分类比较先判断底数是否相同指数是否相同再选择对应方法 中间量法优先判断各数与01的大小关系再排序【经典例题1】（2026高一·全国·专题练习）若0<a<1<b，则（）A．aa<bC．ba<a【经典例题2】（2026·重庆北碚·模拟预测）设a=23，A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．b>c>a【巩固练习1】（2026·云南·模拟预测）已知a=21.1,b=A．a>c>b B．b>c>aC．a>b>c D．b>a>c【巩固练习2】（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知13<(A．aa<ab<ba B．【巩固练习3】（25-26高一下·北京·阶段检测）已知定义在R上的函数fx在2,+∞上是减函数，且函数y=fx+2为偶函数，若a=f0.80.7，b=f0.80.9【题型10】解指数不等式核心知识1指数不等式基本解法同底化利用指数函数单调性去掉底数2含参数指数不等式需分类讨论底数的范围（或）方法技巧 同底化步骤将不等式两边化为同底数幂再根据单调性转化为指数的不等式 分类讨论底数含参数时先分和两种情况再分别求解【经典例题1】（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数fx=x+3,x<02x+2−xA．−∞,1 B．−∞,53【经典例题2】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数fx=3x+【巩固练习1】（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知函数fx的定义域为R，fx+1为偶函数，且对任意的x1,x2∈1,+∞（x【巩固练习2】（2025·四川成都·一模）不等式4x+1−A．x∣x<log23 B．x x>log【巩固练习3】（25-26高一上·全国·阶段检测）已知均定义在R上的奇函数fx与偶函数gx满足fx+gx【题型11】与指数函数图像有关的综合计算核心知识1指数函数图像过定点结合图像的增减性过定点渐近线分析2图像交点问题转化为方程求解或利用图像性质分析交点个数方法技巧 图像分析法画出大致图像利用图像的高低位置判断大小关系或解的个数 定点法利用指数函数过定点的性质快速排除错误选项【经典例题1】（2026·江苏·模拟预测）已知A,B两点在函数fx=4xx>0的图象上，C,D两点在函数gx=2xx>0的图象上，且AD平行于x轴，AC和BD平行于y【经典例题2】（25-26高一上·云南昆明·期末）设平行于x轴的直线l与函数y=ex和y=ex+2的图象分别交于A,B两点，若在y=ex的图象上存在点C【巩固练习1】（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知函数fx=2x−1x+1和gx=ax−2（其中a>0且a≠1【巩固练习2】（24-25高一上·河南郑州·期末）设平行于x轴的直线与函数y=ex和y=ex+2的图象分别交于点A,B，若在y=ex的图象上存在点C【巩固练习3】（25-26高一上·全国·单元测试）如图，矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为______．【题型12】指数函数的图像与性质综合核心知识1综合应用结合定义域值域单调性奇偶性图像变换等性质解题2常见考点函数图像判断性质综合应用与其他函数的综合题方法技巧 逐项排除利用性质逐一排除不符合条件的选项 特殊值法代入特殊点（如）快速判断函数性质【经典例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数fx=b⋅ax（其中a，b为常数，且a>0，a≠1）的图象经过点A1,6(1)求fx(2)若不等式1ax+1b【经典例题2】（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数fx(1)判断函数fx(2)若存在实数x∈−1,2，使得fk⋅4(3)若关于x的不等式fx2−2bfx−3【巩固练习1】（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知函数fx=a(1)若函数fx在−∞,1和1,+(2)若a=1，求hx(3)若a<0，不等式hx≤9在0,1【巩固练习2】（24-25高二下·北京·期末）已知函数fx、gx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且(1)证明：fx−g−x=2⋅3(2)直接说明函数gx的单调性，并解关于x不等式：g(3)设px=3x−23x+2，hx【巩固练习3】（2025高一上·山东枣庄·专题练习）已知奇函数fx=a·(1)求实数a,b的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；(3)当x∈[1,2]时，2+mf(x)+2x>0模块二模块二学有余力·拓展提升【题型13】指数型对勾函数核心知识1标准形式2换元转化令则函数化为（对勾函数）3性质值域当时单调递减区间单调递增区间方法技巧 换元优先先换元确定再套用对勾函数性质 极值点定位极小值点对应【经典例题1】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知偶函数f(x)=ex+a(1)求实数a的值；(2)已知g(x)=ex−ae−x，（i）判断函数h(x)在R上的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论；（ii）若对∀x∈R，不等式h(h(x))+h(−m)>0恒成立，求实数m【巩固练习1】（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）已知e是自然对数的底数，函数fx(1)求证：fx(2)求不等式f2x【巩固练习2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数fx(1)若关于x的不等式f2x−mfx(2)设函数gx=fx+x−3【题型14】指数型飘带函数核心知识1标准形式2换元转化令则函数化为（飘带函数）3性质值域当时在上单调递增当时在上单调递减方法技巧 单调性速判外层飘带函数在恒增内层指数函数的增减性决定整体单调性 奇偶性判断当时为奇函数其余情况非奇非偶【经典例题1】（25-26高一上·北京西城·期末）已知函数fx=2x+a⋅2条件①：fx是奇函数；条件②：f(1)求实数a的值；(2)判断fx在区间0,+(3)设gx=lnfx注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【巩固练习1】（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数fx=3(1)若集合A=x∣fx≥0，B={x(2)设gx=f2x−2afx，且g【巩固练习2】（24-25高一上·贵州安顺·期末）已知定义在R上的函数f(x)=ax−a−x(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明；(2)若f(1)=32，函数g(x)=a2x+(3)若a>1，h(x)=a|x|−|f(x)|，对任意x∈[λ,λ+1]，不等式h(x+λ)≤【题型15】指数型一次/一次函数核心知识1标准形式2换元转化令则函数化为（一次分式函数）3核心方法分离常数法再结合分析值域和单调性方法技巧 分离常数法拆分出常数项简化分式部分的分析 值域分析结合的范围求分式部分的取值范围再确定整体值域【经典例题1】（24-25高一上·四川巴中·期末）已知函数fx=a−(1)求a的值；(2)解不等式：fx(3)若实数m满足f2m2【经典例题2】（25-26高一上·四川成都·期末）（多选）已知fxA．a=1 B．fx在x∈C．f0.3x>f0.3的解集为−∞【巩固练习1】（25-26高一上·福建莆田·期中）（多选）已知函数fx=2A．函数fx的定义域为R B．函数fxC．fx+f−x=0【巩固练习2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）已知函数fx=2A．不等式fx<B．fx的图图像关于yC．fx是RD．fx的值域为【巩固练习3】（24-25高一上·陕西西安·期末）（多选）已知函数f(x)=2x−1A．f(x)是偶函数B．f(x)的值域为(−2,2)C．f(x)的图象关于原点对称D．∀x1,x2【题型16】指数型函数的方程的根核心知识1指数型方程解法换元法令转化为代数方程求解2根的个数判断结合函数图像利用单调性和值域判断交点个数方法技巧 换元法步骤换元转化为关于的方程求解的解再解 图像法画出指数型函数与直线的图像观察交点个数判断方程根的个数【经典例题1】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数f(x)=|2x−1|,x≤2−x+5,x>2，若关于x的方程f(x)−m=0恰有两个不同的实数解，则实数【经典例题2】（25-26高三上·江西赣州·期中）已知函数f(x)=1+lnx,x>0|ex+2−1|,x≤0【巩固练习1】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数fx=x+1x，x>012x，课后过关检测课后过关检测一、单选题1．（2026·江苏徐州·模拟预测）若函数fx=ax+1x⋅3A．13 B．1 C．3 2．（2026·北京顺义·二模）把函数fx=axa>0,a≠1的图象C1向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的14倍，得到图象C2，若此时图象A．4 B．2 C．12 D．3．（2026·湖南长沙·一模）已知曲线y=2x上的点A和曲线y=2x−1−43上的两点B,CA．43 B．2 C．524．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数a，b满足a+2b=2，则2a+4A．2 B．4 C．8 D．165．（2026·陕西咸阳·三模）函数fx=e−x−A． B．C． D．6．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数f(x)=ax−2+2(a>0,a≠1)恒过定点Q，且点Q在函数y=mx+n的图象上，则4A．22 B．8 C．4 D．7．（25-26高一上·青海海南·期末）已知a>0且a≠1，若函数fx=−x2−2ax−2,x<0aA．1,2 B．2,+∞ C．0,1 D．8．（2026·安徽合肥·模拟预测）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下