第10讲函数的单调性、奇偶性、周期性（知识清单+7典例精讲+5方法技巧+分层训练）（原卷版）

第10讲函数的单调性、奇偶性、周期性（知识清单+7典例精讲+5方法技巧+分层训练）近3年考查情况题型分值单调性与奇偶性综合、周期性应用、函数值大小比较单选、多选题5分/6分奇偶性判断、单调性应用、简单周期性计算单选、填空题5分基础单调性、奇偶性判断，难度偏低单选、填空题5分单调性与不等式结合、周期性与奇偶性综合，偶渗透导数应用单选、解答题5分/10分【知识点01】函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y＝f(x)的单调区间.【例1】用定义法证明f(x)=x2+2x【知识点02】函数的最值前提一般地,设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D,都有f(x)≤M；(2)∃x0∈D,使得f(x0)＝M(1)∀x∈D,都有f(x)≥M；(2)∃x0∈D,使得f(x0)＝M结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值【例2】求f(x)=x2−2x+3【知识点03】函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称【例3】判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x3+2x；（2）f(x)=【知识点04】函数的周期性(1)周期函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x＋T∈D,且f(x＋T)＝f(x),那么函数y＝f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【例4】已知函数f(x)满足f(x+2)=−f(x)，且f(1)=3，求f(5)的值。【题型一】定义法判断或证明函数的单调性【例1】（2025·河南·一模）函数的值域为正整数集的子集，，对任意两个不相等的正整数a，b，都有成立，则（

）A．54 B．66 C．81 D．89【变式1】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时，；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（

）A．B．C．函数在区间上单调递减D．函数在区间上单调递增【变式2】（多选）（2026·四川宜宾·一模）定义在上的函数，对都有，且，则下列说法正确的是（

）A． B．数列单调递减C． D．数列的前n项和为，则【变式3】（2024·山东济南·三模）已知函数，且.(1)求的值;(2)判断函数在上是增函数还是减函数，并证明.【题型二】根据函数的单调性解不等式【例2】（2026·广西崇左·二模）已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式1】（多选）（2024·江西·一模）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值可能是（

）A． B． C．1 D．2【变式2】（2025·陕西汉中·一模）已知函数，则不等式的解集是_________．【变式3】（2025·安徽合肥·一模）已知函数.(1)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围；(2)若，且，求实数的取值范围.【题型三】比较函数值的大小关系【例3】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（

）A． B．C． D．【变式1】（2026·广东深圳·二模）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2】（多选）（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在上的函数满足,且当x>1时，，则（

）A． B．C． D．【变式3】（2024·河北邢台·二模）若，，，则a，b，c的大小关系是______（请用“<”连接）．【题型四】函数的最值【例4】（2026·陕西西安·三模）已知，则（

）A． B． C． D．【变式1】（2024·江西鹰潭·三模）若的最小值是4，则实数的值为（

）A．6或 B．或18C．6或18 D．或【变式2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，且在上恒成立，则实数的最小值为___________．【变式3】（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数，对于任意，满足时，的取值范围为__________.【题型五】函数奇偶性的定义与判断【例5】（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点【变式1】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点【变式2】（2026·山东济南·三模）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则的值为________．【变式3】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）请写出一个同时满足以下3个条件的函数______．①、，且，都有；②且，使得；③．【题型六】函数奇偶性的应用【例6】（多选）（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（

）A． B．当时，C．当且仅当 D．是的极大值点【变式1】（2026·四川绵阳·模拟预测）已知是奇函数，当时，，则（

）A． B．2C． D．【变式2】（2026·四川绵阳·模拟预测）已知是奇函数，当时，，则（

）A． B．2C． D．【变式3】（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知奇函数满足：当时，，则________．【题型七】函数周期性的应用【例7】（2026·辽宁沈阳·三模）已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（

）A． B． C． D．【变式1】（2026·辽宁沈阳·三模）已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2026·湖南岳阳·三模）已知的定义域为，周期为4，当时，，则______．【变式3】（2026·安徽芜湖·二模）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，则__________.【解题大招01】单调性判断与证明核心：定义法适用于基础函数，导数法适用于复杂函数，精准判断单调区间。【例1】证明f(x)=x2−4x+3在[2,+【解题大招02】奇偶性判断核心：第一步判断定义域是否关于原点对称（前提），第二步求f(−x)，第三步对比f(−x)与f(x)、−f(x)的关系。【例2】判断f(x)=x3x【解题大招03】周期性求解核心：熟记常见周期结论，复杂递推式通过变形推导周期。【例3】已知f(x+2)=−f(x)，证明f(x)的周期为4。【解题大招04】单调性与奇偶性综合应用核心：利用奇偶性转化变量范围，结合单调性比较大小、解不等式。【例4】已知f(x)是偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，解不等式【解题大招05】单调性与最值综合核心：单调函数在区间端点取最值，非单调函数结合对称轴、极值点求解。【例5】求f(x)=2x+1在[1,5]上的最值。解析：f(x)在[1,5]上单调递增，最小值f(1)=3，最大值f(5)=11。【基础过关】（共8题）一、单选题1．（2026·安徽安庆·三模）定义在上的偶函数，当时，，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2026·安徽芜湖·二模）已知，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．3．（2026·河南开封·模拟预测）下列函数中是奇函数，且在区间上为减函数的是（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2023·海南·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（

）A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称C． D．5．（2024·河南郑州·模拟预测）若函数的定义域为R，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若对，，则C．若对，且，，则是R上的增函数D．若对，，则三、填空题6．（2025·山东烟台·三模）已知函数，若，则实数t的取值范围是__________．7．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数的图象关于中心对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围为________．四、解答题8．（2025·山东临沂·模拟预测）已知函数．(1)当时，的最小值为1，求的值；(2)在（1）的条件下，求满足且的的取值集合；(3)函数在区间和上均单调递增，求实数的取值范围．【拔高选练】（共6题）一、单选题1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）函数的大致图象为（

）A． B． C． D．2．（2026·福建南平·二模）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（

）A．-2 B． C． D．2二、多选题3．（2026·河北邯郸·二模）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（

）A． B．在上单调递减C．的值域为 D．的解集为三、填空题4．（2026·山东东营·二模）已知奇函数的周期为2，且当时，，则_____．5．（2026·广东肇庆·二模）已知函数的定义域为，且，若，则不等式的解集为__________.（结果用区间表示）四、解答题6．（2025·海南儋州·模拟预测）已知函数为定义在上的偶函数，且，.(1)若，求函数解析式；(2)求函数在的最小值；(3)若函数在有两个不同的零点，求m的取值范围.【错题复盘】（共5题）一、单选题1．（2026·湖南湘潭·三模）已知，则（

）A． B．C． D．2．（2026·山东东营·模拟预测）若定义在上的奇函数满足，则（

）A．1012 B．1013 C．1014 D．10