第12讲一次、二次函数与幂函数（知识清单+4典例精讲+5方法技巧+分层训练）（原卷版）2027届高考数学一轮精准复习

第12讲一次、二次函数与幂函数（知识清单+4典例精讲+5方法技巧+分层训练）近3年考查情况题型分值二次函数单调性、最值、不等式综合；幂函数图象与性质辨析单选、多选题5分/6分二次函数区间最值、图象识别；基础幂函数求值、单调性判断单选、填空题5分二次函数基础性质、简单求值，幂函数基础判定，难度偏低单选题5分二次函数与方程、导数、恒成立问题综合，压轴小题高频单选、解答题5分/12分【知识点01】一次函数核心知识点1.定义：形如y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数；当b=0时，y=kx（k≠0）为正比例函数（特殊的一次函数）。2.定义域与值域：定义域、值域均为R。3.图象与性质：图象：一条直线，与x轴交点为(−bk,0)单调性：由k决定——k>0时，在R上单调递增；k<0时，在R上单调递减；对称性：正比例函数y=kx（k≠0）关于原点中心对称（奇函数）；一次函数y=kx+b（b≠0）既不是奇函数也不是偶函数，无对称轴和对称中心（除特殊情况）。4.图象变换（结合本讲重点）：基于y=kx，平移变换可得到y=k(x−ℎ)+b（左加右减、上加下减）。【例1】已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点(1,3)和(−2,−3)，求该一次函数的解析式。【知识点02】幂函数(1)幂函数的定义一般地,函数y＝xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0,＋∞)上都有定义；②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上单调递增；③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,＋∞)上单调递减；④当α为奇数时,y＝xα为奇函数；当α为偶数时,y＝xα为偶函数.【例2】求幂函数y=x【知识点03】二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0),顶点坐标为(m,n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域4−∞,对称轴x＝－b顶点坐标−奇偶性当b＝0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数单调性在−∞,−b在−b在−∞,−b在−b【例3】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点(0,3)、(1,0)【题型一】二次函数的概念【例1】（2026·河南濮阳·二模）的最大值是（

）A．9 B．3 C．18 D．6【例2】（2026·宁夏银川·一模）如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则（

）A．17 B．5 C．3 D．2【例3】（2026·浙江台州·二模）已知平面向量，，，若，则的最小值为_______.【变式1】（2025·广东·模拟预测）若函数与表示同一个函数，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【变式2】（2025·山东·模拟预测）设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【变式3】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为_______________.【题型二】二次函数的性质与图象【例4】（2026·云南昆明·二模）设．若，则（

）A． B． C． D．【例5】（多选）（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（

）A． B．的值域为C．是偶函数 D．是增函数【例6】（2024·全国·模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为.(1)求的值；(2)若为线段上一点且满足平分，求的面积的取值范围.【变式1】（2026·辽宁抚顺·二模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式2】（2024·四川遂宁·模拟预测）函数在上的最小值为，最大值为1，则的最大值为______.【变式3】（2024·山西·模拟预测）已知集合，.(1)若，，且是的必要不充分条件，求的取值范围；(2)若函数的定义域为，且，求的取值范围.【题型三】幂函数的定义【例7】（2026·四川广安·模拟预测）“”是“为幂函数”的（

）A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例8】（2025·江苏盐城·三模）“”是“为幂函数”的（

）条件．A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要【例9】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知幂函数过点，则为__________.【变式1】（2026·河南南阳·模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知幂函数的图象经过点，则的值为（

）A． B． C．3 D．9【变式3】（2025·新疆·模拟预测）幂函数在上单调递减，且经过点，请写出符合条件的一个函数解析式__________．【题型四】幂函数的单调性【例10】（2026·河南新乡·三模）已知集合，则（

）A． B．C． D．【例11】（多选）（2025·新疆喀什·模拟预测）下列关于幂函数的论述正确的是（

）A．若，则幂函数的图象是一条直线B．若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数一定相同C．若幂函数为奇函数，则图象一定经过点D．幂函数的图象一定经过点，且一定不经过点【例12】（2026·安徽合肥·模拟预测）“”是“函数为幂函数，且在上单调递减”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）【变式1】（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（

）A．0或1 B．或1 C．1 D．0【变式2】（多选）（2025·河南·二模）已知，则（

）A． B． C． D．【变式3】（2025·安徽·模拟预测）已知幂函数是上的偶函数，将函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象．(1)求函数的解析式；(2)求函数的值域；(3)设，解关于的不等式：．【解题大招01】幂函数的判断与解析式求解紧扣幂函数定义（y=xα，系数为1），判断函数是否为幂函数；求解析式时，利用图象过定点，代入求解【例1】判断下列函数是否为幂函数，并求过点(2,4)的幂函数解析式。（1）y=4x3；（2）y=x【解题大招02】幂函数单调性、奇偶性快速判断由α的符号判断单调性（α>0在定义域内递增，α<0在定义域内递减）；由定义域对称性+f(−x)与f(x)的关系判断奇偶性。【例2】判断幂函数y=x【解题大招03】二次函数解析式求解根据已知条件，灵活选用一般式、顶点式、零点式，减少计算量——已知三点用一般式，已知顶点用顶点式，已知与x轴交点用零点式。【例3】已知二次函数顶点为(2,−3)，且过点(0,1)，求其解析式。【解题大招04】二次函数最值与单调区间求解先求对称轴x=−b2a，结合a的符号判断单调性；求最值时，分“定义域为【例4】求二次函数y=−x2+2x+3【解题大招05】二次函数与一元二次方程结合利用二次函数图象与x轴的交点，转化为一元二次方程根的问题，结合判别式Δ=【例5】已知二次函数y=x2−2x+m【基础过关】（共8题）一、单选题1．（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图象关于原点对称且在单调递增的是（

）A． B． C． D．2．（2025·河南信阳·模拟预测）已知在区间上不单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2026·河南信阳·模拟预测）已知集合，则（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2026·山西临汾·一模）下列函数中既是偶函数，又在上单调递减的是（

）A． B． C． D．三、填空题5．（2025·江西·一模）已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为___________．6．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）点为圆上的动点，则的取值范围为__________.7．（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______.四、解答题8．（2024·浙江·二模）在正四面体中，点分别在棱上（不与顶点重合），且(1)若，证明(2)求的取值范围．【拔高选练】（共6题）一、单选题1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足下列性质：①；②则下列说法一定正确的为（

）A．在上无最小值 B．在上单调递减C．在上有最小值 D．在上单调递增2．（2025·江苏·模拟预测）关于对称，则其最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数，设，．且关于的函数．则（

）A．B．C．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6，D．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6，三、填空题4．（2025·全国·模拟预测）已知实数，满足，则______.5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知幂函数为偶函数，则______________．四、解答题6．（2025·四川绵阳·一模）设函数.(1)若，写出函数的单调区间；(2)当时，，求实数的取值范围.【错题复盘】（共5题）一、单选题1．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（

）A． B．C． D．2．（2026·广东深圳·一模）若实数