第14讲函数零点问题（知识清单+5典例精讲+7方法技巧+分层训练）（解析版）2027届高考数学一轮精准复习

第14讲函数零点问题（知识清单+5典例精讲+7方法技巧+分层训练）近3年考查情况题型分值零点存在性判定、零点个数判断，利用f(a)⋅f(b)<0判断区间零点单选、填空题5分基础零点求解、零点与方程根的等价转化f(x)=0⇔方程根单选题5分数形结合判断零点个数，转化f(x)=g(x)交点问题填空题5分复合函数零点、零点存在区间判断，结合单调性判定唯一零点单选、多选题5分/6分二分法区间判定、零点近似区间缩选，中点公式x0单选题5分导数与零点综合，已知零点个数求参数范围，利用函数最值正负判定零点解答题5分/12分指对函数零点问题、零点大小比较，结合函数单调性分析零点分布单选题5分含参函数零点存在性问题，利用f(a)⋅f(b)<0求参数取值范围填空题5分多零点存在性证明、零点个数讨论，结合导数分析函数极值与零点关系解答题5分/12分【知识点01】函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x),我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点.(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y＝f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的解.【例1】求函数f(x)=x解析：令f(x)=0，得x解得x=2或x=3，故此函数零点为2,3。【知识点02】二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.【例2】已知函数f(x)=x3−2x−1解析：取区间端点a=1,b=2x代入求值：f(1)由f(1.5)⋅f(2)<0，可得零点所在区间缩小为(1.5,2)。【题型一】求函数的零点【例1】（2025·河北邯郸·一模）已知函数的定义域为，，且，若，则的零点为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】首先分析在上单调递增，再利用换元法设，得到，解出值，则得到，再令，解出即可.【详解】由题意知在上单调递增，设，且为正常数。则，则，，解得或（舍去），则，，令，解得.故选：C.【例2】（多选）（2025·广东广州·三模）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】求出的零点和极值点，对，在取不同符号的值的情况下可能的图象进行分类讨论，选出符合题意的图象．【详解】令，得，，令，得，若，，则，且时，恒成立，时，，递减，，，递减，，，递增，故D正确；若，，则，且时，恒成立，时，，递增，时，，递减，时，，递减，故B正确；若，，则，且时，恒成立，时，，递减，时，，递增，时，，递增，故C错误；若，，，且时，恒成立，时，，递增，，，递增，，，递减，故A错误；综上，A,C错误，B,D正确．故选：BD．【例3】（2025·山东·模拟预测）函数的零点为________.【答案】5【分析】令，得解出即可求解.【详解】令，得，所以，解得或（舍去）.故答案为：5【变式1】（2026·河南濮阳·一模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将问题转化为图象交点的横坐标，数形结合可得；或利用函数的单调性以及零点存在性定理可比较.【详解】法1：由题意可知，分别为与的函数图象的交点的横坐标，图象如图：

由图可知，；法2：易知，均为增函数，因为，所以，因为，所以，所以.故选：A【变式2】（多选）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】对于选项A和C，都满足定义域关于原点对称且，所以是偶函数，令能解出实数解，所以存在零点；对于选项B，不满足，所以函数不是偶函数；对于选项D，令不能解出实数解，所以不存在零点.【详解】对于选项A，因为函数的定义域为，且，所以是偶函数；令解得，所以函数存在零点，故选项A正确.对于选项B，因为，所以该函数不是偶函数，故选项B错误.对于选项C，因为函数的定义域为，且，所以是偶函数；令解得，所以函数存在零点，故选项C正确.对于选项D，令，即，无实数解，所以函数不存在零点，故选项D错误.故选：AC【变式3】（2025·全国·模拟预测）我们不妨定义：使函数值为0的自变量的值，称为该函数的零点.例如：函数的零点为1和.若函数的零点是和，则函数的零点是______.【答案】和【分析】先根据函数零点的定义得到关于、的等式，再将其代入到所求函数中，最后求解该函数的零点.【详解】先将二次函数展开得到.根据韦达定理，若方程的两根为和，得出，.已知，令，解得,.故答案为：和.【题型二】求函数零点或方程根的个数【例4】（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（

）A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令，解得，即为零点，令，解得，即为零点，显然零点不同，A选项错误；B选项，显然，B选项正确；C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，的对称轴满足，显然图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC【例5】（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据递推关系可得的解析式，将问题转化为函数与直线交点个数问题，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】，，，，，，；函数的零点个数等价于函数与直线的交点个数；作出与的图象如下图所示，结合图象可知：当时，与在每个区间上有且仅有一个交点，则当时，与共有个交点；当时，与没有交点，即当时，与没有交点；当时，与有且仅有一个交点，即当时，与有且仅有个交点；当时，，，二者没有交点，即当时，与没有交点；综上所述：当时，函数的零点个数为个.【例6】（2024·广东·一模）已知，函数.(1)求的单调区间.(2)讨论方程的根的个数.【答案】(1)减区间为：，；增区间为：.(2)【分析】（1）求导，利用导函数的符号可确定函数的单调区间.（2）利用函数的单调性，确定函数值的符号和最值，可确定方程零点的个数.【详解】（1）因为（）.所以：.由，又函数定义域为，所以函数在和上单调递减，在上单调递增.（2）因为，所以：当时，，方程无解；当，函数在上递减，在递增，所以，所以方程无解.综上可知：方程的根的个数为.【变式1】（2024·河南·二模）已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有__________个.【答案】4【分析】转化为函数的图象与的图象的交点个数即可求解.【详解】函数是偶函数，说明函数的图象关于轴对称，说明的周期是2，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与的图象，如图所示：如图所示，共有4个不同的交点，即有4个零点.故答案为：4.【变式2】（2026·江苏徐州·模拟预测）设函数和的定义域为D，若存在非零实数，使得，则称函数和在D上具有性质.现有下列三组函数：①，；②，；③，．其中具有性质的是_______.（填序号）【答案】①③【分析】通过验证每组函数对应的是否存在非零实数解，判断其是否具有性质.【详解】对于①，令，即，因式分解得，解得或，为非零实数，故满足性质.对于②，令，即，变形为，两边取自然对数得，整理得，解得，无满足条件的非零实数，故不满足性质.对于③，令，即，化简为，当时，左边，右边，等式成立；当时，左边，右边，等式成立；和为非零实数，故满足性质.故答案为：①③.【变式3】（2025·安徽·一模）已知函数.(1)若，求在上的极大值；(2)若函数，讨论函数在上零点的个数.【答案】(1)极大值为0，(2)答案见详解【分析】（1）求出导数，列表分析随变化情况，根据单调性和极值定义求解；（2）化简得，令，得或，分或，，，讨论判断方程解得个数得解.【详解】（1）当时，，则，令，得或或，因此，当变化时，，的变化情况如下表所示：0+00单调递减单调递增单调递减单调递增所以当时，有极大值，极大值为.（2），当时，由，得或，其中，，则，当或时，方程无解，此时函数只有一个零点，当时，方程只有一解为，此时函数只有一个零点，当时，方程有两个不同的解且均不等于，此时函数有三个零点，当时，方程有一解且不等于，此时函数有两个零点.综上，当或时，函数只有一个零点，当时，函数有三个零点，当时，函数有两个零点.【题型三】函数零点存在性定理【例7】（2026·山东泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】计算函数在各区间端点的函数值，利用零点存在定理，判断函数值异号的区间，从而确定零点所在的大致区间.【详解】因为，且函数是连续函数，所以零点在区间内.故选：C【例8】（多选）（2025·甘肃兰州·一模）已知函数和，以下判断正确的是（

）A．函数在区间内有唯一的零点B．时，C．时，D．存在正实数a，当时，对于任意大于1的正实数N，【答案】AD【分析】利用不等式性质以及零点存在性定理，可得答案.【详解】由于，当时，，则，当时，，故当时，，则，故必有，使，因此A正确，B错误．对于任意正数，当时，，取，当时，对于任意大于1的正实数N，因此D正确，而当时，故C错误．故选：AD.【例9】（2025·湖南·模拟预测）已知，若在上有解，则的最小值是_____．【答案】12【分析】根据题意，的最小值即为原点到直线的距离的平方，从而求解．【详解】因为函数，又在上有解，设这个解是，则，则，即，即点可看作在动直线上，则可转化为点到原点距离的平方的最小值．则，令，，则，当且仅当，即时取等号，此时，则．故答案为：12.【变式1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题得，令，由函数性质可知为增函数，又，，根据零点存在性定理可知：，即的取值范围为.【变式2】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，若在有唯一的极值点且为极大值点，则a的取值范围为____________.【答案】【分析】先对函数进行求导，根据题意由零点的存在性定理得，再由对称轴在区间右侧可推出，解不等式组即可求解.【详解】解：函数，则，因为在有唯一的极值点且为极大值点，所以根据零点的存在性定理得，的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，由于对称轴在区间右侧，要使在内有唯一的变号零点，则需满足，而，，则不等式组可化为，解得，综上,的取值范围为.故答案为：.【变式3】（2026·浙江·模拟预测）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)试判断曲线与直线在上公共点的个数；【答案】(1)单调递增区间，；单调递减区间为，(2)2【分析】（1）对函数求导，利用正弦函数的图象性质求解导函数不等式即得函数的单调区间；（2）令，利用导数判断其单调性，结合特殊值与零点存在定理求出函数的零点个数，即曲线与直线在上公共点的个数.【详解】（1）由题意，，因为，则由可得，即当，时，单调递增；由可得，即当，时，单调递减，综上，函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，.（2）令，则，设，则，所以当时，，则（即）在上单调递增；当时，，（即）在上单调递减，因为，，，所以存在唯一的，使得，故当时，，则在上单调递增；当时，，在上单调递减；又，，所以存在唯一的，使得，综上可得函数在上存在两个零点0和，所以曲线与直线在上公共点的个数为2.【题型四】函数零点的分布【例10】（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______．【答案】【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令，即，令则，令得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，因为曲线与在上有两个不同的交点，所以等价于与有两个交点，所以.故答案为：【例11】（2026·河南南阳·二模）已知函数，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，，，因为在区间上恰有5个零点，所以由正弦函数性质得，解得．【例12】（多选）已知函数为定义在上的单调函数，且10.若函数有3个零点，则的取值可能为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】BC【分析】令，然后可得，进一步作出图象可得结果.【详解】因为为定义在上的单调函数，所以存在唯一的，使得，则，即，因为函数为增函数，且10，所以.当时，由，得；当时，由，得.结合函数的图象可知，若有3个零点，则.故选：BC【变式1】（2026·河北沧州·一模）已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用分类讨论，再通过数形结合来研究函数零点个数，即可得参数范围.【详解】当时，，对称轴为，所以在上单调递增，函数图象如下：令，解得或，即或，根据图象有2个解，有1个解，所以此时有3个零点，不符合题意；当，时，，对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下：令，解得或或，根据图象有2个解，有3个解，又至少有7个零点，所以至少有2个解，即，解得．故选:D．【变式2】（2025·山西临汾·二模）已知，函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】分与两种情况讨论方程根的情况可求得实数的取值范围.【详解】因为函数有三个零点，即方程有三个解，当时，方程为，即，即，因为，所以，所以方程有两个根，又，所以有一个正根与一个负根，又，所以有一正的零点，当时，方程为，即因为函数有三个零点，所以方程有两个非正根，所以，解得，又，所以，所以实数的取值范围是.故答案为：.【变式3】（2024·河南·模拟预测）设且，函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若函数在区间上有零点，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）化简不等式为，按照和分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式即可；（2）将零点问题转化为有解，设，则，利用函数的单调性求解参数范围即可.【详解】（1）当时，不等式可化为，若，则，解得，所以不等式的解集为；若，则，解得，所以不等式的解集为；综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；（2）由题意可知，令，即，因为，所以，所以，所以，设，则，因为函数在上单调递减，所以，所以.【题型五】用二分法求方程的近似解【例13】（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】二分法每次取区间中点，区间长度变为原来的一半，由题可得区间初始长度为，则第一次使用二分法后区间长度变为，第二次使用二分法后区间长度变为，第三次使用二分法后区间长度变为，以此类推，当区间长度小于精确度时即可停止.【详解】解：原始区间长度为，第一次，区间长度减半，为，第二次，区间长度减半，为，第三次，区间长度减半，为，第四次，区间长度减半，为，故至少需要重复四次.故选：B.【例14】（多选）（2024·广东东莞·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．方程的解在内B．函数的零点是C．函数有三个不同的零点D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上【答案】ACD【分析】对A，构造函数，利用零点存在性定理和单调性可得；对B，根据零点定义可知；对C，作出的图象，观察其交点个数可得；对D，根据零点存在性定理可得.【详解】对A，记，易知都在单调递增，所以在上单调递增，又，所以存在唯一零点，且，即方程的唯一解在内，所以A正确；对B，令，解得或，所以函数的零点是或，所以B错误；对C，作出的图象如图：当时，函数和的图象显然有一个交点，又，所以函数和的图象在处相交，所以有三个不同的零点，所以C正确；对D，因为，所以由零点存在性定理可知，零点近似值在区间上，所以D正确.故选：ACD【例15】已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．【答案】【分析】由题意构造函数，求方程的一个近似解，就是求函数在某个区间内有零点，分析函数值的符号是否异号即可．【详解】解：令，其在定义域上单调递增，且，，，由f（2.5）f（3）＜0知根所在区间为．故答案为：．【变式1】用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判断函数的单调性，再判断区间端点处的函数值的符号，结合零点存在性定理判断即可.【详解】设函数，因为函数和都是增函数，所以函数在上单调递增；又，，因此，所取的第一个区间可以是，故选：B.【变式2】（多选）（2024·江苏无锡·模拟预测）下列命题错误的是（

）A．当时，函数的图象是一条直线B．命题“，都有”的否定是“，使得”C．用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过次二分后精确度达到D．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，，，则1.375和1.4都是精确度为的近似零点【答案】ABD【分析】根据幂函数的性质即可求解A，根据全称命题的否定为特称命题即可求解B,根据二分法的性质即可求解CD.【详解】对于A,当时，函数，故图象是两条射线，A错误，对于B，命题“，都有”的否定是“，使得”，故B错误，对于C，开区间的长度等于1，每经过一次操作长度变为原来的一半，则经过次操作之后，区间的长度变为，故由，得，所以，即至少经过4次二分后精确度达到0.1，故C正确；对于D，由于，所以的任何一个值均为精确度为的近似零点，故D错误，故选：ABD【变式3】若函数有零点，但不能用二分法求其零点，则实数的值为______．【答案】2或或2【分析】根据题意，可知函数图象在轴上方或下方（包括轴），且与轴有交点，分类讨论当时，能用二分法求零点，不符合题意；当，再根据二次函数的图象与性质，可知二次函数的图象与轴有1个交点，由即可求出的值.【详解】解：由题意得，函数有零点，但不能用二分法求其零点，可知函数图象在轴上方或下方（包括轴），且与轴有交点，当，即时，，能用二分法求零点，不符合题意；当，即时，此时为二次函数，而有零点，但不能用二分法求其零点，可知函数的图象与轴有1个交点，即有两个相等实根，所以，解得：或.故答案为：2或.【解题大招01】零点等价转化技巧将零点问题、方程根问题、图象交点问题三者互相转化，是解决所有零点题型的通用思路【例1】判断方程2x=x+2解析：将方程转化为两个函数图象交点问题：令y=2通过图象可判断两函数有2个交点，故方程有2个零点。【解题大招02】零点存在性快速判定技巧连续函数区间端点函数值异号，则区间内必有零点；若函数单调，则零点唯一。核心公式f(x)在【例2】判断f(x)=x3+x−1解析：f(0)f(0)⋅f(1)<0，且f'故函数在(0,1)内有且仅有一个零点。【解题大招03】零点个数数形结合速判技巧复杂方程不求解，拆分两个初等函数，利用图象交点个数判定零点个数，规避复杂运算。转化思路f(x)=0⇒g(x)=ℎ(x)，交点个数即为零点个数【例3】求函数f(x)=ln解析：定义域(0,+∞)，y=ln⁡x与【解题大招04】区间存在零点求参数技巧一次、二次函数在开区间存在零点，优先使用端点异号法列不等式求解参数范围。核心结论一次函数f(x)=kx+b在(m,n)存在零点⇒f(m)⋅f(n)<0【例4】已知f(x)=mx+2在(1,3)内存在零点，求m的取值范围解析：f(1)⋅f(3)<0解得：−2<m<−即m∈(−2,−【解题大招05】二分法区间快速锁定技巧区间中点，代入函数判断符号，依据异号缩小区间。核心公式x判定规则{【例5】已知f(x)在(2,3)有零点，f(2)<0,f(2.5)>0，锁定零点区间解析：f(2)⋅f(2.5)<0，故零点所在区间为(2,2.5)。【解题大招06】复合函数零点分层换元技巧由外到内分层换元，先解外层方程，再回代求解内层方程，分层计数不重不漏。解题步骤令t=g(x)，先解f(t)=0，再解g(x)=t【例6】求f(x)=(x解析：令t=t①x②x综上，函数共有4个零点。【解题大招07】零点有无最值判定技巧利用函数最值正负，快速判定区间内有无零点，规避繁琐讨论。核心结论1.f(x)2.f(x)【例7】判断f(x)=x解析：f(x)=(x−1)2函数恒大于0，故无零点。【基础过关】（共8题）一、单选题1．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据分段函数的组成，分别求解方程计算即得.【详解】因，当时，即，解得或，均符合题意；当时，即，解得，符合题意.故方程根的个数为3.2．（2026·山东青岛·三模）函数在的零点个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】方法一求出的范围，再由函数值为零，得到的取值即得零点个数，方法二先求出函数的所有零点，再根据题中范围限制，找出符合题意的零点即可．【详解】方法一：，，由题可知，或，解得，，或，故有3个零点．方法二：令，即，，解得，，分别令，解得，，，所以函数在的零点的个数为3.3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.【详解】解法一：令，即，可得，令，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得，若，令，可得因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，所以符合题意；综上所述：.解法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为，则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意；故选：D.二、多选题4．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数，函数，下列选项正确的是（

）A．方程无实数解B．方程有且仅有两个解C．方程有且仅有三个解D．方程有且仅有四个解【答案】BC【分析】对于A，由题等价于，解方程即可判断A；对于B，直接解方程即可得判断；对于C，直接解方程即可得解判断；对于D，由题等价于，解方程即可得解.【详解】对于A，由题可知，故等价于，即，故方程有实数解，故A错误；对于B，方程即，故，解得，故B正确；对于C，方程即，故解方程得或，故C正确；对于D，因为，方程等价于，故由函数得方程的解为，故D错误.故选：BC.三、填空题5．（2025·全国·模拟预测）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】分析函数的零点个数，利用导数法讨论函数的单调性与最值,再判断函数在每段上的零点个数,根据零点分布情况建立不等式组，求得实数的取值范围.【详解】由题可得，函数最多只有一个零点.若零点存在，则，解得，又由，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，且当时，，所以最多有两个零点.因为有三个零点，所以有两个零点，则，解得，所以实数的取值范围为.综上可得：实数的取值范围为.故答案为：6．（2025·广东江门·一模）若多项式能被整除，则______.【答案】2【分析】由题意和是的零点，进而列方程组求得，即可得解.【详解】因为多项式能被整除，而，所以和是的零点，所以即，解得，所以.故答案为：27．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数则的零点之和为_____________．【答案】1【分析】分和直接解方程即可.【详解】当时，令，得；当时，令，得,所以的零点之和为．四、解答题8．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用求导，导数值大于0来求单调递增区间即可；（2）利用函数的单调性和取值情况，分析可得的取值范围.【详解】（1）由，得，令，得，解得．所以的单调递增区间为（2）令，解得或．当变化时，，的变化情况如下表所示：0200单调递减1单调递增单调递减由函数有且仅有三个零点，得方程有且仅有三个不等的实数根，所以函数的图象与直线有且仅有三个交点．显然，当时，；当时，．所以由上表可知，的极小值为，的极大值为，故．【拔高选练】（共6题）一、单选题1．（2025·江苏扬州·三模）当时，曲线与的交点个数为（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根据五点法作图，在同一坐标系中画出函数图形，判断交点个数.【详解】作图像，列表：00100100作图像，列表：0020020在同一坐标系中画出图形，如下图所示，则两个函数在上有4个交点.故选：B.2．（2026·江苏镇江·二模）已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函数的导数，再按分类讨论函数单调性，结合有两个零点列出不等式求解.【详解】函数的定义域为R，求导得，而，当时，，函数在R上单调递减，函数最多一个零点，不符合题意；当时，由，得；由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，，而当时，，当时，，函数有两个零点，当且仅当，令函数，而函数在上都单调递增，则函数在都单调递增，又，因此不等式的解集为.所以实数m的取值范围是.二、多选题3．（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值可能为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】求出函数关于轴对称的函数为，转化为方程在时有解，构造函数，利用函数的单调性和零点存在性定理，确定的取值范围.【详解】由题意等价于当时，与的图象有交点，又，则，即，即方程在时有解，令，显然在上单调递增，当时，趋于时，，则只需，即；当时，趋于时，趋于时，，即在上有解，综上，实数的取值范围为.根据选项可得答案为A､B､C.故选：ABC.4．（2025·四川眉山·模拟预测）已知函数函数，则下列结论正确的是（

）A．若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是B．若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是C．若有5个零点，则的取值范围是D．可能有6个零点【答案】BC【分析】作出的大致图象，对于A和B，只需通过平移直线观察它与的图象的交点情况即可得解；对于CD，首先若，则有或，数形结合即可建立的不等式组并求解，即可判断.【详解】如图，作出的大致图象，由图可知，若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是，故A错误；若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是，故B正确.令，得，解得或.若有5个零点，则或解得，故C正确.若有6个零点，则解得，则最多有5个零点，故D错误.故选：BC.三、填空题5．（2022·广东汕头·一模）为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”、假设待检测的总人数是（）将个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测一次），如果检测结果为阴性，可确定这批人未感染；如果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次，如此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的那组人，而将每轮检测后结果为阳性的组在平均分成两组，做下一轮检测，直到检测出所有感染者（感染者必须通过检测来确定）.若待检测的总人数为8，采用“二分检测法”检测，经过4轮共7次检测后确定了所有感染者，则感染者人数最多为______人.若待检测的总人数为，且假设其中有不超过2名感染者，采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为______.【答案】2【分析】利用二分检测法求解.【详解】若待检测的总人数为8，则第一轮需检测1次，第2轮需检测2次，第3轮需检测2次，第4轮需检测2次，则共需检测7次，此时感染者人数最多为2人；若待检测的总人数为，且假设其中有不超过2名感染者，若没有感染者，则只需1次检测即可；若只有1个感染者，则只需次检测；若只有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组，此时相当两个待检测均为的组，每组1个感染者，此时每组需要次检测，所以此时两组共需次检测，故有2个感染者，且检测次数最多，共需次检测，所以采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为.故答案为：2，四、解答题6．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数.(1)若为上的单调函数，求k的取值范围；(2)若函数，求证：k可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据函数的单调性可得或，继而即可求解；（2）是奇函数，所以只需证明：存在无数个取值使得在上恰有一个零点.利用二次求导分析的单调性，结合零点存在定理即可证明.【详解】（1），因为为上的单调函数，所以对任意，有；或对任意，有，即恒成立，或恒成立，