第15讲 导数与函数的单调性（原卷版）2027届高考数学一轮精准复习

第15讲导数与函数的单调性TOC\o"1-2"\h\u题型一导函数为含参一次函数的单调性分析 3题型二导函数为含参准一次函数的单调性分析 4题型三导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析 5题型四导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析 6题型五导函数为含参准二次函数型的单调性分析 8课时精练 14【基础回顾】知识点1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在区间(a，b)上单调递增f′(x)<0f(x)在区间(a，b)上单调递减f′(x)＝0f(x)在区间(a，b)上是常数函数知识点2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数f(x)的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．【特别强调】1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．►考点01不含参函数的单调性确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．1．讨论函数f(x)=2x2．求函数f(x)=(x−k)ex(−k−1(k−1,+f−0+f(x)↘−↗3．函数f(x)=(1)求y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.(2)求f(x)的单调区间.4．已知函数fx=xa+x2，曲线y=f(1)求a的值；(2)求函数fx5．求函数f(x)=x6．求函数f(x)=x7．利用导数求下列函数的单调区间.(1)fx(2)fx=sin8．求函数f(x)=e9．已知函数fx=110．已知函数fx(1)求函数fx在点2,f(2)(2)求函数fx►考点02含参数的函数的单调性(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．题型一导函数为含参一次函数的单调性分析【方法技巧】导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间．【例题精讲】1．已知函数fx=lnx−mx+m，m∈2．已知函数fx=aln3．已知函数f(1)当a=1时，求曲线y=fx在点1,f(2)求函数fx4．已知函数fx=alnx+b+cx（a>0，b，c∈R(1)求a+b+c的值；(2)分析函数fx5．已知函数f(x)=(1)讨论f(x)的单调性.(2)若对任意x∈(0,+∞)都有f(x)>0恒成立，求6．已知函数fx(1)若a=2，求fx在1,f(2)讨论fx(3)若fx在区间13,1上存在极值，且此极值小于ln7．设函数fx=aln(1)当a=1时，求曲线y=fx在1,(2)讨论fx8．设函数fx(1)若fx在点e,fe处的切线为x−ey+b=0(2)求f′9．已知函数fx=ln(1)讨论fx(2)若函数fx在1,e上的最小值是3210．已知函数fx=ax+ln(1)当a=2时，求函数fx在点1,f(2)讨论函数fx题型二导函数为含参准一次函数的单调性分析【方法技巧】导函数的形式为含参准一次函数，首先对定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间．【例题精讲】1．已知函数fx=(1)讨论函数y=fx(2)设函数gx=fx−sinx，若函数2．设函数fx=e3．已知函数fx(1)当a=1时，求曲线y=fx在点0,f(2)求fx4．已知函数fx(1)讨论fx(2)证明：fx5．已知函数fx=x−1+aex(1)若曲线y=fx在点1,f1处的切线平行于x轴，求(2)讨论函数fx6．已知函数fx=e(1)讨论fx(2)若fx≥0恒成立，求实数7．已知函数fx(1)讨论fx(2)当x∈0,+∞时，fx8．已知函数fx(1)当a=1时，求函数在点1,f1(2)试讨论函数fx9．函数fx=x+me(1)讨论函数fx(2)若函数fx在区间0,3上有两个零点，求m10．已知函数fx=e(1)讨论函数fx(2)若fx≥0恒成立，求实数题型三导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析【方法技巧】若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.【例题精讲】1．已知函数fx=(1)当a=−1时，求曲线y=f(x)在点x=1处的切线方程；(2)讨论fx(3)若fx有极小值，且fx≥02．已知函数f(x)=alnx+1(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a>1时，求f(x)在[1,e]上的最小值．3．已知函数fx(1)讨论函数fx(2)设gx=2x2−mex+e212+14．已知函数f(x)=x2−2a(1)若a=2，求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程；(2)若存在x0∈(0,+∞)，使5．已知函数fx(1)若曲线y=fx在点−1,f−1处的切线l与直线y=−1(2)讨论fx6．已知a∈R，函数fx(1)若fx在x=13(2)讨论函数fx(3)若a>1,fx在R上有三个零点，求a7．已知函数fx(1)若曲线y=fx在x=2处的切线方程为y=12(2)讨论函数y=fx(3)若gx=ex−x+lnx8．已知函数f(x)=ax−(a+1)ln(1)讨论函数f(x)的单调性(2)若函数f(x)在其定义域的一个子集2a−1,4内存在两个极值点，求实数a的取值范围并求f(x)的极值.9．已知函数fx=1(1)讨论函数fx(2)若函数fx在区间1,e上的最小值为1，求10．已知函数fx=x+ln(1)当m=12时，求(2)讨论fx(3)若fx≤0对任意x>0恒成立，求整数题型四导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析【方法技巧】若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论.【例题精讲】1．已知函数fx=(1)若曲线y=fx在点1，f1处的切线斜率为0，求实数(2)讨论fx(3)若fx在区间0,+∞上的最大值为1，求实数2．已知函数fx(1)若函数fx在点1,f1处的切线斜率为2，求实数(2)讨论fx3．已知函数fx(1)若b=1．（ⅰ）证明：曲线y=fx（ⅱ）当a=0时，求曲线y=fx在点1,f(2)当a=1时，讨论fx4．已知函数fx(1)讨论fx(2)若fx在x=2处取得极值，且关于x的方程fx=b在区间0,3x00,222,33f−0+f0单调递减−4单调递增05．已知函数f(1)当m=1时，求曲线y=fx在点1,f(2)讨论函数fx(3)求证：ln6．已知函数fx=(1)求函数hx(2)若x1,x2∈1,4且7．已知函数fx(1)讨论函数fx(2)当x≥1时，fx≥18．已知函数fx=−1(1)若曲线y=fx在点1,f1处的切线与直线y=2x+1平行，求(2)讨论fx(3)若fx存在两个极值点x1,x29．已知函数fx=aln(1)讨论fx(2)若存在正实数k，使得fx>0成立当且仅当x∈0,k题型五导函数为含参准二次函数型的单调性分析【方法技巧】若导函数为含参准二次函数型，首先对导函数进行因式分解，求导函数的零点并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.【例题精讲】1．已知函数fx(1)当a=1时，求曲线y=fx在点2,f(2)当x≥2时，fx≥0恒成立，求2．已知函数fx(1)若a=0，求函数在x∈[1,3]的最值；(2)讨论fx(3)若fx有两个零点，求a3．已知关于x的函数fx(1)当a=0时，求f(x)在x=2处的切线方程；(2)若a≤e且x>0，求f(x)4．已知函数fx=−1(1)当a=−1时，求函数fx(2)当a>0时，求fxx0,111,+f+0-f单调递增极大值单调递减5．已知函数fx(1)若a=1，求函数fx(2)讨论fxx−00,+f-0+f单调递减极小值f单调递增6．已知函数fx(1)讨论fx(2)当a>0时，证明：函数fx7．已知函数fx=ae(1)讨论fx(2)若fx有最小值ga，证明：8．已知函数fx(1)当a<0时，求函数fx(2)当a=e时，求函数f(3)求证：e+9．已知函数fx(1)证明不等式：ex(2)讨论fx(3)设a∈0,1，证明：f10．已知函数fx(1)当a=0时，求曲线y=fx在x=0(2)当a>0时，求函数fx►考点03利用导数研究函数的图像及其应用常见组合函数的图像在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图像，对解题有事半功倍的效果．1．已知fx在R上是可导函数，y=fx的图象如图所示，则不等式A．−2,0∪2,+∞C．−∞,−1∪2．已知函数y=fx，其导函数f'x的图象如图所示，则下列说法正确A．函数fx在−∞,0上单调递减 B．函数fC．函数fx在4,+∞上单调递减 D．fx3．若函数y=fx的导函数y=φx=A．φ′xB．函数y=fxC．函数y=fx的单调递增区间为D．−3是函数y=fx4．已知函数fx的导函数f′x的图象如图所示，则函数fA．fx=xcosC．fx=x5．已知定义在0,3上的函数fx的图象如图所示，则不等式f′xA．1,2 B．2,3 C．1,2∪2,3 6．若fx是定义在区间−3,2上的函数，其图象如图所示，设fx的导函数为f′x，则A．−2,−1∪1,2 C．−3,−2∪0,1 7．函数fx是定义在−4,4上的偶函数．其图象如图所示，f3=0．设f′x是fx的导函数，则关于A．0,2 B．−2,0C．−5,0∪2,4 8．函数y=fx的导函数y=f′A．−3是函数y=fx的极值点 B．−2是函数y=fC．y=fx在区间−3, 1上单调递增 D．−19．已知定义在(−3,3)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且函数y=xfA．函数f(x)在(0,3)上单调递增 B．x=1是函数f(x)的极大值点C．x=0是函数f(x)的极小值点 D．f(x)≥f(−2)10．已知函数f(x)及其导函数f′(x)的部分图象如图所示，设函数g(x)=f(x)exA．在区间(a,b)上是减函数 B．在区间(a,b)上是增函数C．在x=a时取极小值 D．在x=b时取极小值►考点04根据函数的单调性求参数由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立．(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集．(3)已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围．(4)已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解．【例题精讲】1．已知函数fx=13x3−kA．−∞,2 B．0,2 C．2．已知函数fx=2xlnx−ax2，若对任意的x1,xA．12e,+∞ B．（12e,+3．已知函数f(x)=sinx+x3−axA．0,+∞ B．−∞,0 C．−4．设函数fx=3x+sin2x+acosx，且fx在RA．[0,1] B．[－1,1] C．1,+∞ D．5．已知函数fx=x2−ax+lnxA．−∞,22 B．−∞,226．若函数f(x)=a2+alnx+1A．0,+∞ B．C．−∞,−1∪7．“a≥−1”是“函数fx=lnA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知函数fx=xA．当a=0时，fx的对称中心为B．若函数fx在R上单调递增，则实数a的取值范围是C．存在实数a使曲线y=fD．当a=2时，函数fx的极大值点为9．已知fx=x−aA．直线y=0为fxB．若fa2C．若fx在−∞D．设l1,l2为曲线fx在10．已知函数fx=xA．fx在0,B．当方程fx=aC．当不等式fx>aD．当过点a,0可作曲线y=fx的三条切线时，课时精练一、单选题1．函数y=x3的单调递增区间是（A．(−∞,0) B．(0,+∞) C．2．已知函数fx=2xlnA．0,1e B．1e,+∞ C．13．若f(x)=lnxxA．f(a)>f(b) B．f(a)=f(b) C．f(a)<f(b) D．f(a)f(b)>14．函数fx=ax2−1xA．(−∞,0] B．−∞,0C．[0,+∞) D．0,+∞5．已知a=ln22,b=1e,c=ln3A．c<a<b B．a<c<bC．a<b<c D．b<a<c6．已知函数fx=1A．函数fx的极大值为223B．若函数fx在−2,a上单调递减，则C．当x∈3,4时，函数fx的最大值为22D．若方程fx−c=07．已知函数fx=x2+2a