第17讲导数的几何意义（切线方程）（知识清单+5典例精讲+6方法技巧+分层训练）（原卷版）2027届高考数学一轮精准复习

第17讲导数的几何意义（切线方程）（知识清单+5典例精讲+6方法技巧+分层训练）近3年考查情况题型分值定点切线方程：y−f(单选题5分切线斜率求解：k=解答小问4分切线几何性质求参数解答小问4分曲线外点切线多解问题，设切点(x填空题5分切线斜率正负与单调性辨析多选题6分法线斜率：k单选题5分特殊切线：f'多选题6分切线平行垂直：k1=填空题5分切线方程综合应用（大题基础问）解答题12分【知识点01】导数的几何意义1.核心几何意义设函数y=f(x)在点x0处可导，则导数ff'(x0)是曲线y=f(x)核心结论：1.若f'2.若f'3.若f'(x4.若导数不存在，切线可能垂直于x轴（竖直切线）。2.割线与切线的关系平均变化率ΔyΔx当Δx→0k=【例1】已知f(x)=x2，判断曲线在x=1和【知识点02】切线方程与法线方程公式1.切线方程（高考必考）曲线y=f(x)在点(x斜率：k=切线方程：y−f(2.法线方程（切线垂线）法线与切线垂直，斜率乘积为−1：法线斜率：k法线方程：y−f(【例2】求曲线y=x3在点【知识点03】两类切线题型核心区别1.在曲线上一点的切线（单点唯一切线）题干特征：“在点(x0,2.过曲线外一点的切线（多条切线）题干特征：“过点(x0,解题通用步骤：1.设切点(x2.写出切线方程y−f(x3.将已知外点代入方程，求解x14.回代得到对应切线方程。【例3】求过点(2,0)且与曲线y=x2相切的直线方程。【知识点04】特殊切线情况1.水平切线：f'(2.竖直切线：f'(【例4】求曲线y=x解析：y令y'=0代入原函数得y=−1水平切线方程：y=−1【题型一】求曲线切线的斜率(倾斜角)【例1】（2026·河北邯郸·一模）“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例2】（2024·福建泉州·模拟预测）如图是函数的部分图象，记的导数为，则下列选项中值最大的是（

）A． B． C． D．【例3】过点作曲线的切线有且只有两条，切点分别为，，则________.【变式1】（2025·海南儋州·模拟预测）若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（

）A．1 B． C．e D．【变式2】（2024·河南信阳·三模）动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（

）A． B．C． D．【变式3】（2025·全国·模拟预测）若函数和的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该直线为函数和的“隔离直线”.已知，，若和在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为______.【题型二】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)【例4】（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．【例5】（多选）（2026·安徽宿州·一模）设函数，则（

）A．在处的切线方程为 B．是的极大值点C．当时， D．【例6】（2026·云南·模拟预测）曲线在点处的切线方程为____________.【变式1】（2026·安徽·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【变式2】（2026·安徽阜阳·二模）若函数的图象在处的切线过点，则___________.【变式3】（2026·山东潍坊·一模）已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若存在极小值，且极小值大于0，求的取值范围.【题型三】求过一点的切线方程【例7】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）曲线过坐标原点的切线方程为（

）A． B． C． D．【例8】（多选）（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，则满足过点可作出3条直线与图象相切的充分条件是（

）A．， B．C．点在射线上 D．点在曲线上【例9】过点作曲线的切线，则切点坐标为______.【变式1】（2025·河南周口·二模）将曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2024·山西吕梁·二模）若曲线在点处的切线过原点，则__________.【变式3】（2025·河南·模拟预测）已知.(1)若（i）过点作曲线的两条切线，求的取值范围；（ii）求不等式的解集；(2)若在区间内存在极小值点，求的取值范围.【题型四】已知切线(斜率)求参数【例10】（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则_________.【例11】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．3【例12】（多选）（2024·湖南·二模）下列函数的图象与直线相切的有（

）A． B．C． D．【变式1】（2026·山东青岛·二模）已知直线与曲线相切，则的值为（

）A．1 B．0 C． D．【变式2】（2026·山东聊城·模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______.【变式3】（2026·江苏南京·一模）已知函数，直线与曲线相切．(1)求实数的值；(2)若是函数的极大值点，求实数的取值范围．【题型五】两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题【例13】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.【例14】（2026·河北·二模）若函数的图象在点处的切线恰好与函数的图象切于点，则（

）A． B． C． D．【例15】（2026·陕西榆林·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则______.【变式1】（2026·陕西商洛·二模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则（

）A． B．3 C．4 D．【变式2】（2026·河北张家口·二模）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________．【变式3】已知函数，其中，．(1)当时，若存在大于零的极值点，求b的取值范围．(2)若存在，（其中，使得曲线在点与点处有相同的切线，求a的取值范围．【解题大招01】定点切线方程速求技巧适用题型：题干给出“在曲线上该点处的切线”，点在曲线上，切线唯一。解题三步法1.求导得到导函数f'2.代入横坐标得斜率k=f3.代入点斜式公式直接写方程。核心公式y−f(x【例1】求曲线y=x2+1【解题大招02】过曲线外一点切线求解技巧题型特征：题干为“过点(x解题套路1.设切点(x2.写出切线方程y−f(x3.将外点代入方程，解出x14.回代得到全部切线方程，切勿漏解。【例2】求过点(3,0)且与曲线y=x【解题大招03】切线平行、垂直快速判定技巧核心结论已知直线斜率为k0，曲线切线斜率1.平行：k=2.垂直：k⋅【例3】求曲线y=ex上与直线【解题大招04】法线方程速求技巧方法口诀：切线斜率取负倒数，点斜式直接套用。核心公式法线斜率：k法线方程：y−f(【例4】求曲线y=ln⁡x在点【解题大招05】特殊切线快速判断技巧1.水平切线：令f'(2.竖直切线：f'(【例5】求y=x【解题大招06】参数型切线方程解题技巧方法核心：参数视为常数，正常求导，利用切线条件列方程求参数。【例6】若曲线y=ax2在x=1处切线方程为y=2x+b，求【基础过关】（共8题）一、单选题1．（2026·浙江·三模）下列函数所表示的曲线中，存在切线与轴平行的是（

）A． B．C． D．2．（2026·福建莆田·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）在点处的切线方程是，则（

）A． B．0 C．1 D．2二、多选题4．（2025·甘肃庆阳·三模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．当时，曲线在点处的切线方程为B．当时，曲线在点处的切线方程为C．当时，曲线上不存在斜率为0的切线D．当时，曲线在点处的切线斜率为0三、填空题5．（2026·广东深圳·二模）若直线是曲线的一条切线，则___________．6．（2026·福建福州·模拟预测）曲线在处的切线的倾斜角为__________．四、解答题7．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线与x轴平行．(1)求a，b；(2)求的极值点个数．8．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数（，，）在处的切线方程为.(1)求的值；(2)分析函数的单调性.【拔高选练】（共6题）一、单选题1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点可作曲线的切线条数为（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条2．（2026·江西宜春·模拟预测）已知偶函数满足当时，，则的图象在处的切线方程为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·江西·模拟预测）已知是的导数，且，则（

）A．B．的图像在处的斜率为C．D．在上的极小值点为三、填空题4．（2026·河南·模拟预测）已知直线l与曲线和都相切，则直线l的方程为_________．5．（2026·宁夏吴忠·二模）已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则_____．四、解答题6．（2026·陕西西安·模拟预测）设函数，其中，且．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若恰有两个极值点，求实数的取值范围．【错题复盘】（共5题）一、单选题1．（2026·江苏·模拟预测）若直线是曲线的一条切线，则（

）A． B． C． D．2．（2026·河北·三模）若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（

）A． B．C．