第18讲 导数中的零点问题（原卷版）2027届高考数学一轮精准复习

第18讲导数中的零点问题（包含隐零点）TOC\o"1-2"\h\u题型一判断函数零点的个数 2题型二讨论函数零点的个数（含参） 3题型三零点个数求参数范围 4题型四隐零点问题 6课时精练 8【基础回顾】知识点1：函数的零点（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫作函数的零点。（2）三个等价关系方程有实数根函数的图像与轴有交点的横坐标函数有零点。知识点2：函数零点的判定如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根。我们把这一结论称为函数零点存在性定理。注：函数单调+存在零点=唯一零点知识点3：函数零点问题的常见题型判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围。求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数。题型一判断函数零点的个数函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点。（2）零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图像与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点。（3）利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。【例题精讲】1．已知函数fx=ex−1x2．已知曲线fx=ax−1−1(a>0且a≠1),gx=x2−2x.当实数a变化时，函数3．当x∈0,4π时，函数fx=sin4．方程x2=xsin5．设函数f①若a=1，则fx的零点个数为__________②若fx有且仅有两个零点，则实数a的范围是__________6．讨论fx7．已知函数fx(1)讨论fx(2)判断fx8．已知函数fx(1)求函数fx(2)求函数fx9．已知函数fx(1)设gx=f′x(2)讨论fx10．已知函数fx(1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；(2)判断函数f（x）的零点的个数，并说明理由.题型二讨论函数零点的个数（含参）含参零点的讨论，采用分类讨论的方法，在参数不同的取值范围内运用零点存在性定理得到零点的个数。【例题精讲】1．给定函数f(x)=(x+1)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)画出函数f(x)的大致图像；(3)求出方程f(x)=a(a∈R2．已知fx=ax3−bx+4(1)求fx在x=3(2)若k∈R，讨论gxx−−2−2,22(2,+f+0−0+f单调递增28单调递减−单调递增3．当a<0时，讨论函数f(x)=ln4．已知函数fx(1)求fx(2)讨论函数gx5．已知函数fx=ax−x，gx(1)当a=e时，讨论函数f(2)证明：函数fx存在零点的充要条件是函数g(3)当a∈0,16．已知函数g(1)求gx在x=0(2)讨论gx在(0,+7．已知函数fx=xa−ax(1)试求gx(2)当a>1时，讨论函数fx(3)若fax<8．已知函数fx(1)证明：存在m∈R，使得曲线y=fx在点m,f(2)当a>0时，讨论fx(3)当fx的零点个数最多时，证明：f9．已知函数g(1)求gx在x=0(2)讨论gx在(0,+10．已知函数f(x)=(x−2)e(1)当a=0时，求函数f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)的零点个数.题型三零点个数求参数范围利用函数的零点求参数范围的方法（1）分离参数()后，将原问题转化为y=g(x)的值域（最值）问题或转化为直线y=a与y=g(x)的图像的交点个数问题（优选分离、次选分类）求解；（2）利用函数零点存在定理构建不等式求解；（3）转化为两个熟悉的函数图像的位置关系问题，从而构建不等式求解。【例题精讲】1．已知函数fx=kx−1exA．−12 B．14 C．12．若函数fx=x+3xA．0<a<163 B．a<163 C．a<0或3．已知函数fx=x⋅3x−aA．0,1eln3 B．0,3eln34．已知fx=exlnA．1,e B．1,e C．0,1 5．若函数fx=x−lnx+m在定义域内有两个不同的零点，则实数A．−∞,−1 C．−1,+∞ D．6．已知函数fx(1)当a=1时，讨论fx(2)若fx有两个零点，求a7．设函数fx(1)求曲线y=fx在点0,f(2)求函数fx在区间−4,6(3)若函数gx=fx+b在8．已知函数fx(1)当a=2时，求曲线y=fx在点1,f(2)令Fx=fx−gx，若函数F9．已知函数f(x)=ln(1)若a=1，求函数f(x)在x=1处的切线方程；(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．10．设函数fx(1)若a=1，求曲线y=fx在0,f(2)求函数fx(3)当0<a<1时，求fx11．已知曲线fx(1)求fx在x=0(2)若函数gx=fx12．已知函数f(x)=2e(1)当m=0时，求f(x)在[−2,1]上的值域；(2)若f(x)有两个极值点，求m的取值范围.13．已知函数f(x)=ln(1)求曲线y=f(x)在x=−1处的切线方程；(2)若函数h(x)=f(x)−a(x+2)有且只有两个零点，求实数a的取值范围.14．已知函数fx=ax(1)当a=−1时，求fx在1,f(2)讨论函数y=fx(3)若函数gx=fx−ax2有两个不同的零点15．已知函数fx=ln(1)若此函数的图像与直线x=1e交于点P，求该曲线在点(2)若hx=ae题型四隐零点问题在导数问题中，我们会无法避免地遇到导函数零点不易求的情况，对于这种零点确实存在，我们难以求解的情况，我们称之为隐零点问题。隐零点是用导数判断函数单调性和求最值常规方法的补充，而求最值和判断单调性是所有导数大题共有的解题基础，因此这部分内容是导数的基本功。隐零点问题常用策略（1）依据函数式的结构特征和函数单调性，大胆“试根”，再由单调性说明“此根”的唯一性；（2）先“虚设零点，设而不求”，通过形式化的“变量代换”或推理，达到化简并求解的目的；（3）“多次求导”，合理变形，直至能够求解。第1步：隐零点存在的证明如果函数y=f'(x）在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f'(x）在区间（a,b）第2步：对最值f(x由f'(x0）=0，对最值【例题精讲】1．已知函数fx(1)当m=1时，求曲线y=fx在点0,f(2)当m=1时，求函数fx(3)当m≤2时，求证fx2．已知函数f(x)=(x−a)lnx+a(1)当a=0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．3．已知函数fx=ax(1)当a=1时，求函数f′(2)当x∈0,π时，fx4．已知函数fx(1)讨论函数fx(2)当a=0时，若不等式xfx≥gx5．已知函数fx(1)当a=1时，求曲线y=fx在点0,f(2)当a=1时，判断fx的单调性，并求出f(3)若fx≥0，求6．已知函数f(x)=ex+1−eln(x+a)+b−2(1)求a，b；(2)证明：f(x)+1>0．7．已知函数f(x)=a1−ex(1)判断f(x)的单调性；(2)若f(x)≤0，求a的值；(3)已知g(x)=xex+12，x∈(0,+8．已知函数fx(1)若a=2，证明：fx在0,1(2)令gx=f（i）若a>0讨论函数gx（ii）对∀x∈0,π,gx9．已知函数fx(1)求fx(2)当a=−1时，证明：fx课时精练一、单选题1．函数y=sinx+x的零点个数为（A．0 B．1 C．2 D．32．若函数fx=−3x−x+a在0,1A．1,4 B．−4,0 C．0,4 D．−3．若函数fx=x3−3x+2a在区间0,2A．1,+∞ B．2,+∞ C．0,2 4．已知函数fx定义域为−1,5，部分对应值如表，fx的导函数f′x的图像如图所示.下列关于函数fx−10245f12021A．函数fx的极大值点有2B．函数fx在0,2C．若x∈−1,t时，fx的最大值是2，则D．当1<a<2时，函数y=fx−a有5．已知函数fx=13x3−x+e，gx=lnA．x1<x2<x3 B．6．若函数y=a+2lnx−x2在1e,eA．1,e2−2C．1e2+2,7．已知函数fx=lnx,x>0,−x2−x,x≤0,若直线A．−∞,1e B．0,1e8．已知函数fx=x22A．−∞,2 B．2−1e,2 二、多选题9．（多选）已知函数fx=xA．fx有两个极值点 B．当0<x<1时，C．fx有三个零点 D．函数fx图像10．（多选）已知函数fx=2fA．fB．函数fxC．方程fxD．若函数y=fx+611．（多选）已知函数fx是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=x−2eA．当x<0时，f(x)=(x+2)B．f(x)的极大值点是4C．f(x)的值域为RD．当1e3<m<2时，函数y=f(x)−m三、填空题12．若函数fx=x313．已知函数fx=exx14．已知函数f(x)=ex−1−12四、解答题15．已知函数fx=ln(1)当k=1时，求函数fx(2)若函数fx在区间0,+∞上有且只有一个零点，求实数16．已知函数fx=x−1(1)讨论fx(2)若fx有三个零点x1，x2，x3，且17．已知函数f(x)=ae2x+2(a−1)(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在