第22讲 函数中的比较大小（解析版）2027届高考数学一轮精准复习

函数中的比较大小TOC\o"1-2"\h\u题型一利用单调性 2题型二构造函数 5题型三泰勒展开 10课时精练 15【基础回顾】（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小。（2）指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；②指数相同，底数不同，如和，利用幂函数单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其他能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定。（3）转化为两函数图像交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法（7）常见函数的麦克劳林展开式：①②③④⑤⑥题型一利用单调性利用单调性，有时可引入中间值。【例题精讲】1．设a=log45，b=log56，c=(3A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【答案】C【详解】log由基本不等式可得，ln4ln6＜(（ln5）2=(1则log45−log5又(32)故选：C．2．设a＝20.7，b＝（13）0.7，c＝log213，则a，b，A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a【答案】D【详解】因为a＝20.7∈（1，2），b＝（13）0.7∈（0，1），c＝log21所以a＞b＞c．故选：D．3．已知a＝log0.53，b＝20.3，c=sin17πA．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【答案】D【详解】a＝log0.53＜log0.51＝0，b＝20.3＞20＝1，c=sin17π4故b＞c＞a．故选：D．4．设a＝30.1，b＝log52，c＝ln（sin1），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a【答案】C【详解】因为y＝3x在R上单调递增，所以a＝30.1＞1，因为y＝log5x在（0，+∞）上单调递增，所以0＜log52＜1，则0＜b＜1，因为y＝lnx在（0，+∞）上单调递增，且0＜sin1＜1，所以c＝ln（sin1）＜ln1＝0，则c＜b＜a．故选：C．5．已知a＝21.1，b＝31.2，c＝log23，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b【答案】C【详解】a＝21.1，b＝31.2，c＝log23，因为31.2＞31.1＞21.1＞2，log23＜2，则b＞a＞c．故选：C．6．a=sin2，b=logA．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c【答案】B【详解】因为0＜a＝sin2＜1．所以b＝log2a＜log21，即b＜0，所以c=2−b=因此b＜a＜c．故选：B．7．设a=23，A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a【答案】C【详解】令f(x)=(所以f（x）单调递减，即(2a3即c＞a＞b．故选：C．8．若a=(13)23，b=log231A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b【答案】B【详解】a=(13)23所以b＞c＞a．故选：B．9．已知a＝0.20.3，b＝log20.3，c＝30.2，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b【答案】D【详解】因为0＜a＝0.20.3＜1，b＝log20.3＜0，c＝30.2＞1，所以c＞a＞b．故选：D．10．已知a＝ln2，b＝log23，c＝log45，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】B【详解】a＝ln2∈（0，1），b＝log23＝log49＞log45＞1，故a＜c＜b．故选：B．题型二构造函数【例题精讲】1．已知函数f(x)=3x+3x，g(x)=log3x+3x，h(x)=x3+3x的零点分别为a，b，A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c【答案】A【详解】令f（x）＝3x+3x＝0，得3x＝﹣3x，所以a即为y＝3x的图像与y＝﹣3x图像的交点横坐标，令g（x）＝log3x+3x＝0，得log3x＝﹣3x，所以b即为y＝log3x的图像与y＝﹣3x图像的交点横坐标，令h（x）＝x3+3x＝0，得x3＝﹣3x，所以c即为y＝x3的图像与y＝﹣3x图像的交点横坐标，因为函数f（x），g（x），h（x）的零点分别为a，b，c，作出函数y=−3x，y=x3由图可知：b＞c＞a．故选：A．2．若实数x，y，z满足2x﹣2＝3y﹣3＝5z﹣5，则x，y，z的大小关系不可能是（）A．x＝y＝z B．x＞y＞z C．x＜y＜z D．y＞x＞z【答案】D【详解】令2x﹣2＝3y﹣3＝5z﹣5＝k，则2x＝k+2，3y＝k+3，5z＝k+5，即x＝log2（k+2），y＝log3（k+3），z＝log5（k+5）；结合函数图像可得，当k＝0时，x＝y＝z＝1；当k＞0时，x＞y＞z；当﹣2＜k＜0时，x＜y＜z．故选：D．3．已知a＝4ln5π，b＝5ln4π，c＝5lnπ4，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a【答案】B【详解】令f（x）=lnxx（x≥e），则f′（x）则函数f（x）在（e，+∞）上单调递减，∴πln44＞πln55，∴5ln4π＞4ln5π，∴同理可得：lnππ＞ln44，∴π4＞4π，∴5lnπ4＞5ln4π，∴∴a＜b＜c．故选：B．4．已知函数f（x）＝2x+x，g（x）＝log2x+x，h（x）＝x3+x零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c【答案】B【详解】对于函数h（x）＝x3+x，令h（x）＝0，得x3+x＝0，解得x＝0，所以c＝0，对于函数f（x）＝2x+x，g（x）＝log2x+x，令f（x）＝0得，2x+x＝0，可化为2x＝﹣x，令g（x）＝0得，log2x+x＝0，可化为log2x＝﹣x，所以a为函数y＝2x与y＝﹣x图像交点的横坐标，b为函数y＝log2x与y＝﹣x图像交点的横坐标，如图所示：由图像可知，a＜0，b＞0，所以b＞c＞a．故选：B．5．已知a=e−32，A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b【答案】A【详解】因为e32＜5＜152则−32＞ln215，即e令f(x)=ln(1+x)−2xx+2(x＞0)故f（x）在（0，+∞）单调递增．因此f（x）＞f（0）＝0，即ln(1+x)＞2x令x=17，得ln87＞由ln（1+x）＜x，得ln8故a＞b．综上，a＞b＞c．故选：A．6．设a=6106，b＝ln1.06，c＝eA．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b【答案】B【详解】记f（x）＝ex﹣1﹣x，（x≥0），则f′（x）＝ex﹣1，所以当x＞0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0，即ex﹣1＞x，所以e0.06﹣1＞0.06．记g（x）＝ln（1+x）﹣x，（x≥0）则g′(x)=1所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，所以当x＞0时，g（x）＜g（0），即ln（1+x）＜x，所以ln1.06＜0.06，所以c＞b，记h(x)=ln(1+x)−x则h′(x)=1所以当x＞0时，h′（x）＞0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，所以当x＞0时，h（x）＞h（0）＝0，即ln(1+x)＞x所以ln1.06＞0.06所以b＞a，综上所述：c＞b＞a．故选：B．7．已知2log2x﹣x＝0，3log3y﹣y＝0，5log5z﹣z＝0，则x，y，z的大小关系不可能为（）A．x＜y＜z B．x＜z＜y C．z＜x＜y D．z＜y＜x【答案】B【详解】因为2log2x﹣x＝0，3log3y﹣y＝0，5log5z﹣z＝0，所以log2x=x2即转化为函数y＝log2x与y=x2，y＝log3x与y=x3，y＝log5x分别画出y＝log2x，y=x2，y＝log3x，y=x3，y＝log5x由图可知，y＝log2x与y=x2的图像交于A，y＝log3x与y=x3的图像交于C，y＝log5x与y=x5的图像交于E，同时xE＜xA＜xC＜xD＜xB＜xF，对于A，xA＜xC＜xD＜xF时，满足x＜y＜z，故A正确；对于B，xE＜xA不满足x＜y＜z，故B错误；对于C，xE＜xA＜xC＜xD满足z＜x＜y，故C正确；对于D，xE＜xA＜xC＜xD，满足z＜y＜x，故D正确．故选：B．8．已知a=ln44，b=1e，c=23lnA．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a【答案】B【详解】设f(x)=lnxx，则当0＜x＜e时，f′（x）＞0，当x＞e时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．所以f（x）在x＝e时取到最大值，因为a=ln4又因为f（x）在（0，e）上单调递增，所以f(e)＞f(2)＞f(32)，即b＞a故选：B．9．已知a=ln66，b=1e，c=2ln39，则A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a【答案】B【详解】令f(x)=lnxx，x则f′(x)=1−lnxx2，当f'（x）＞0时，0＜x＜e，当f'（x）＜0时，x所以f(x)=lnxx在区间（因为a=ln66=f(6)，b=且9＞6＞e，所以b＞a＞c．故选：B．10．已知a=e−1ln(e−1)，b=2A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．a＞b＞c【答案】D【详解】令f(x)=xlnx，则当x＞e时，f′(x)=lnx−1ln2x＞0，当1＜x＜所以f（x）在（1，e）单调递减，在（e，+∞）上单调递增，又a＝f（e﹣1），b＝f（2），c=f(e22所以a＞b，c=f(e故选：D．题型三泰勒展开【例题精讲】1．若a=1A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b【答案】C【详解】令f（x）＝xlnx﹣x+1，x＞0，则f′（x）＝lnx，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；又f（1）＝0，所以f(10所以109ln10令g(x)=xlnx−x2−12，x＞0，则g′（x令h（x）＝lnx﹣x+1，x＞0，则h′(x)=1当x＞1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；所以h（x）≤h（1）＝0恒成立，即g′（x）≤0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，所以g(109)＜g(1)=0即c=10综上所述，b＜c＜a．故选：C．2．若a=e0.2，b=1.2，c=ln3.2，则aA．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b【答案】D【详解】由题，设y＝et﹣t﹣1，则y′＝et﹣1，令y′＜0，则t＜0，令y′＞0，则t＞0；所以y＝et﹣t﹣1在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，所以ymin=e0−0−1=0，所以所以a=e0.2＞0.2+1=1.2＞1.2=b，a＞1.2＝lne1.2令f(x)=lnx−2(x−1)x+1，x则f′(x)=(x−1所以f（x）在（0，+∞）单调递增，又f（1）＝0，所以当x＞1时，f（x）＞0，即lnx＞2(x−1)所以ln3.2＝ln2+ln1.6＞2(2−1)又1＜1.2＜1.21，1＜b=1.2＜1.1，所以c＞1.1＞又a＞1.2＝lne1.2，c＝ln3.2，则（e1.2）5＝e6＞（2.7）6≈387.4＞（3.2）5≈335，所以e1.2＞3.2，即a＞c，故a＞c＞b．故选：D．3．设a=1100，b＝ln1.01，c＝eA．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【答案】D【详解】因为a=1100，b＝ln1.01，c＝e所以a＝0.01，b＝ln（1+0.01），c＝e0.01﹣1，设函数f（x）＝ln（1+x）﹣x，求导得f′(x)=1当（0，+∞）时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，+∞）单调递减，因为f（0）＝ln1＝0，所以当x＞0时，f（x）＜f（0）恒成立，所以f（0.01）＝ln1.01﹣0.01＜0，所以a＞b，设函数g（x）＝ex﹣1﹣x，则g′（x）＝ex﹣1，当（0，+∞）时，g′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，+∞）单调递增，因为g（0）＝e0﹣1＝0，所以当x＞0时，g（x）＞g（0）恒成立，所以g（0.01）＝e0.01﹣1﹣0.01＞0，所以c＞a，综上，c＞a＞b．故选：D．4．若a=2sin12，A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a【答案】B【详解】设f(x)=lnxx，x＞0当x≥e时，f′（x）≤0，仅当x＝e时等号成立，则f(x)=lnxx在[而e＜3，故f（e）＞f（3），即lnee＞ln33，∴e1因为sin12＜sin又(212)6所以a＜c，综上所述，可得a＜c＜b．故选：B．5．已知a=78，b=e−17，c=1+ln8A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b【答案】C【详解】令f（x）＝ex﹣x﹣1，则f′（x）＝ex﹣1，当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）≥f（0）＝0，即ex≥x+1，当且仅当x＝0时，取等号，所以1b=e17因为c=1+ln89=1+ln令g(x)=ln11+x+x=−ln(1+x)+x，x∈当x＞0时，g′（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，所以g（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（0）＝0，故g(18)＞0∴c﹣a＞0，即c＞a，综上，c＞a＞b．故选：C．6．设a=e−45，A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【答案】A【详解】令f(x)=lnx+1x−1，x＞0当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f(52)＞f(1)所以ln52＞35令g（x）＝lnx﹣x+1，x＞0，g′(x)=1当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g(53)＜g(1)，即ln因为0=ln1＜ln53＜所以eln35＞e−4综上b＞c＞a．故选：A．7．已知a＝e0.01，b＝1.01，c＝log32，则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c【答案】D【详解】令f（x）＝ex﹣x﹣1，则f'（x）＝ex﹣1，而f'（0）＝0，所以当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故f（x）＞f（0）＝0在x≠0上恒成立，即ex﹣x﹣1＞0，令x＝0.01，则e0.01＞1.01，故a＞b＞1，c＝log32＜log33＝1，故a＞b＞c．故选：D．8．令a=111，b＝ln1.1，c＝eA．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】A【详解】令f(x)=ln(1+x)−x则f′(x)=1所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（x）＞f（0）＝0，令x＝0.1，则ln(1.1)−0.11+0.1＞0，即ln(1.1)＞111令g（x）＝ex﹣x﹣1，x∈R，则g′（x）＝ex﹣1，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；所以g（x）≥g（0）＝0，即ex≥x+1（当且仅当x＝0取等号），令x＝﹣0.9，则e﹣0.9＞﹣0.9+1＝0.1，令h（x）＝ln（1+x）﹣x，x＞0，则h′(x)=1所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，即h（x）＜h（0）＝0，令x＝0.1，得ln（1+0.1）﹣0.1＜0，即ln（1.1）＜0.1，所以e﹣0.9＞0.1＞ln（1.1），即c＞b，综上，a＜b＜c．故选：A．9．已知a=tan13，b＝lg2，A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【答案】A【详解】因为a=tan13，设f（x）＝tanx﹣x，x∈(0，π2)，得f′(x)=1cos2又f（0）＝0，因此tanx＞x在(0，π2)上恒成立，所以tan13又8＜10，所以2＜1013，所以lg2＜lg101所以a＞c＞b．故选：A．10．若a＝2sin0.01，b＝0.02cos0.01，c＝sin0.02，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a【答案】D【详解】根据题意，a＝2sin0.01，b＝0.02cos0.01，c＝sin0.02，则b﹣c＝0.02cos0.01﹣sin0.02＝0.02cos0.01﹣2sin0.01cos0.01＝2cos0.01（0.01﹣sin0.01），构造函数f（x）＝x﹣sinx，则其导数f′（x）＝1﹣cosx≥0，则f（x）在R上单调递增，所以f（0.01）＞f（0）＝0，所以0.01﹣sin0.01＞0，又0＜cos0.01＜1，所以b﹣c＞0，即b＞c，a﹣b＝2sin0.01﹣0.02cos0.01＝2（sin0.01﹣0.01cos0.01），构造函数g（x）＝sinx﹣xcosx，x∈[0，π]，其导数g′（x）＝（sinx﹣xcosx）′＝xsinx≥0，所以函数g（x）在[0，π]上单调递增，所以g（0.01）＞g（0）＝0，所以a﹣b＞0，即a＞b，综上，c＜b＜a．故选：D．课时精练一．选择题1．已知a＝0.30.1，b＝log2.53，c＝log23.5，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞b＞c【答案】C【详解】因为a＝0.30.1∈（0，1），1＜b＝log2.53＜log2.53.5＜c＝log23.5＜2，故c＞b＞a．故选：C．2．若实数x，y，z满足2x﹣2＝3y﹣3＝5z﹣5，则x，y，z的大小关系不可能是（）A．x＝y＝z B．x＞y＞z C．z＞y＞x D．z＞x＞y【答案】D【详解】令2x﹣2＝3y﹣3＝5z﹣5＝t，得x＝log2（t+2），y＝log3（t+3），z＝log5（t+5），t＞﹣2，在同一坐标系内作出函数f（t）＝log2（t+2），g（t）＝log3（t+3），h（t）＝log5（t+5）的图像，则x，y，z分别是函数y′＝f（t），y′＝g（t），y′＝h（t），t＞﹣2的图像与直线t＝a（a＞﹣2）交点的纵坐标，观察图像得，当a＝0时，x＝y＝z；当a＞0时，x＞y＞z，当﹣2＜a＜0时，z＞y＞x，因此ABC都可能，D不可能．故选：D．3．设a＝3，b＝3log3π，c＝πlogπ3，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【答案】B【详解】构造函数f（x）=ln2则f′（x）=2lnx⋅(当x∈（1，e2）时，f′（x）＞0，则f（x）在（1，e2）上为增函数，∴f（π）＞f（3），即ln∴3lnπln3＞πln3lnπ，即3log3π＞πlogπ3，则设g（x）=3x3−x，则g′（当x＞3时，g′（x）＞30ln3﹣1＞0，∴g（x）在（3，+∞）上为增函数，则g（π）＞g（3）＝0，即3π3＞π，则3π＞又πlogπ3=log∴a＜c＜b．故选：B．4．已知3x﹣3＝4y﹣4＝5z﹣5，则x，y，z的大小关系不可能为（）A．z＜x＜y B．x＝y＝z C．x＜y＜z D．z＜y＜x【答案】A【详解】设3x﹣3＝4y﹣4＝5z﹣5＝t，设f（x）＝3x﹣3，则x为直线y＝t与函数f（x）图像交点的横坐标，y为直线y＝t与函数g（x）交点的横坐标，z为直线y＝t与函数h（x）图像交点的横坐标．当t＞0时，如下图所示；由图可得z＜y＜x，D符合题意；当t＝0时，可得x＝y＝z＝1，B符合题意；当t＜0时，如下图所示：由图可得x＜y＜z，C符合题意．故选：A．5．已知a＝ln2，b＝e﹣0.2，c=2A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a＞b＞c【答案】B【详解】由b＝e﹣0.2，c=2e，将两式同乘e得e由e4＞32＝25，对不等式两边同时开5次方，可得e0.8＞2，因此，e−0.2＞2e，即构造函数f(x)=lnx−xe，求导得f′(x)=1当x∈（0，e）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，因此，f（x）max＝f（e）＝0．代入x＝2，得f(2)=ln2−2e＜0，即ln2＜2e综上，b＞c＞a．故选：B．6．已知a=ln32，b=13，c=eA．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【答案】A【详解】当x＞0时，设f（x）＝lnx﹣x+1，则f′(x)=1当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）≤f（1）＝0，当x＞0时，lnx≤x﹣1，用1x代替x，可得ln1x所以ln32＞1−23又知13＞1e2=e−2，所以b＞故选：A．7．已知2aA．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【答案】A【详解】分别作出函数f（x）＝2x，h（x）＝log2x，g（x）＝（12）x，k（x）＝log12x则a，b，c分别为f（x）＝h（x），g（x）＝k（x），g（x）＝h（x）的零点，由图像可得a＜b＜c．故选：A．8．已知a＝0.30.1，b＝log2.53，c＝log23.5，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b