小学五年级数学《公因数的实际应用（例3）同步测试》教案

小学五年级数学《公因数的实际应用（例3）同步测试》教案【课程背景与设计理念】本节课是小学五年级数学下册第四单元《分数的意义和性质》中“最大公因数”部分的例3教学，属于数与代数领域中对知识进行综合应用的关键课例。基于2022年版新课程标准“三会”核心素养导向，本设计致力于打破单纯的知识传授，转而聚焦于真实情境中的数学建模过程。课程将“铺地砖”这一生活问题抽象为“求公因数”的数学模型，引导学生在操作、观察、比较与思辨中，深刻体会数学与生活的血肉联系，实现从“解题”到“解决问题”的思维跃迁，培养学生的抽象能力、推理意识与应用意识。【教学内容分析】本节课内容是在学生已经掌握了因数、倍数的概念，学会了用列举法、集合法、短除法求两个数的公因数和最大公因数的基础上进行教学的。教材呈现的是“用正方形地砖铺满长方形地面”的实际问题，其核心在于引导学生将生活问题转化为数学问题，理解“要用整块的、边长是整分米数的正方形地砖铺满一个长16分米、宽12分米的长方形地面”这一条件的数学本质：即要求地砖的边长既能整除长方形的长，又能整除长方形的宽。【重要】因此，地砖的边长必须是长方形长和宽的公因数，而“最大边长”则是它们的最大公因数。本节课不仅是公因数知识的简单应用，更是学生初步建立数学模型思想的重要载体，为后续学习最小公倍数的应用以及更复杂的分数问题奠定了思维基础。【学情分析】五年级的学生已经具备了一定的生活经验和知识储备。他们能够熟练地找出一个数的因数，也掌握了求两个数公因数的方法。【难点】然而，面对“铺地砖”这一具体情境，学生的思维往往会局限于实际的操作层面，很难自主地将“整块铺满”的条件与“整除”这一数学概念联系起来。部分学生可能会错误地认为只要地砖面积小于地面面积即可，忽略了边长的整除性要求。此外，学生在理解“为什么边长是公因数就能铺满，不是公因数就不能铺满”的算理时，存在认知上的困难。因此，教学中必须借助直观的图示和动手操作，将抽象的数学关系可视化，帮助学生完成从感性经验到理性认识的跨越。【教学目标】1.【基础】结合生活实际，理解“铺满”与“整块”的数学含义，能够运用公因数和最大公因数的知识解决生活中铺地砖的实际问题。2.【核心】经历“问题情境——建立模型——求解验证——解释应用”的数学活动过程，通过动手操作、合作探究，体会数形结合的思想，掌握将实际问题转化为数学问题（求公因数）的建模方法。3.【重要】在解决问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，体验数学的实用价值，培养严谨的逻辑思维能力和合作交流意识，增强学好数学的信心。【教学重难点】1.【重点】理解题意，能将“用整块正方形地砖铺满长方形”的要求与“求长和宽的公因数”建立起联系，掌握解决问题的方法。2.【难点】深刻理解为什么地砖的边长必须是长和宽的公因数，并能清晰表达自己的思考过程。【教学准备】1.教师准备：多媒体课件（包含动态演示铺砖过程的动画）、边长分别为1dm、2dm、3dm、4dm的磁力贴片小正方形。2.学生准备：每组一个学具袋（内含一张长16cm、宽12cm的长方形卡片纸，若干张边长1cm、2cm、3cm、4cm、5cm的方形小纸片），学习任务单。【教学实施过程】一、创设情境，激活经验（预计5分钟）1.谈话引入，揭示课题：同学们，我们的生活离不开数学，装修房子更是如此。小明家最近买了一套新房，想要给一间储物间铺上漂亮的地砖。今天，我们就化身“小小设计师”，运用数学知识帮小明解决铺地砖中的问题。（板书课题：公因数的实际应用）2.呈现问题，初步感知：课件出示例3主题图。小明家的储藏室地面是长方形的，长16dm，宽12dm。现在要用边长是整分米数的正方形地砖把地面铺满（使用的地砖必须都是整块）。可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？3.审题读题，提取信息：教师引导学生带着问题齐读题目，并圈出关键词。提问：“从题中你获得了哪些关键信息？有哪些特别的要求？”学生交流反馈，教师相机板书关键条件：【非常重要】①正方形地砖；②边长是整分米数（整数）；③铺满（不能留空隙）；④整块（不能切割）。这四个条件缺一不可，是我们解决问题的核心依据。二、动手操作，初步建模（预计12分钟）1.化繁为简，提出策略：直接想象16dm和12dm的尺度比较大，我们可以利用学具，将数据缩小10倍，用长16cm、宽12cm的长方形卡片来代替地面，用不同边长的小正方形纸片来代表地砖。请大家在小组内动手铺一铺，看看哪些边长的小正方形能满足“铺满”和“整块”的要求。2.小组合作，自主探究：【活动要求】（1）小组长分工，每人选择一种或两种边长的小正方形（如1cm、2cm、3cm、4cm、5cm）试着在长方形卡片上摆一摆或铺一铺。（2）摆好后，观察是否能正好铺满，有没有剩余，并将结果记录在学习任务单上。（3）小组成员交流各自的发现。3.汇报展示，聚焦矛盾：教师组织小组代表上台，利用磁力贴片在黑板上模拟展示。（1）预设1：边长1dm的可以铺满。长边铺一排可以放16块，宽边可以放12排，正好铺满。（2）预设2：边长2dm的也可以铺满。长边铺一排放8块，宽边放6排，正好铺满。（3）预设3：边长4dm的也可以铺满。长边铺一排放4块，宽边放3排，正好铺满。（4）预设4：边长3dm的为什么铺不满？引导学生观察：长边16dm，每行铺3dm，铺5行用了15dm，还剩下1dm，不够再铺一整块；宽边12dm虽然能正好铺4行，但因为长边有剩余，所以整体不符合“铺满”的要求。【难点聚焦】同样，边长5dm的，长边16dm只能铺3块（用了15dm），剩下1dm；宽边12dm只能铺2块（用了10dm），剩下2dm，更不符合要求。4.抽象概括，建立模型：很好，通过动手操作我们发现了能铺满的边长是1dm、2dm、4dm。请大家观察这些能铺满的边长（1、2、4）与长方形的长（16）和宽（12）有什么关系？引导学生发现：1、2、4不仅是16的因数，同时也是12的因数。也就是说，它们都是16和12的公因数。反过来看，不能铺满的边长3，它是16的因数吗？是12的因数吗？16÷3不能得到整数，12÷3=4虽然能整除宽，但不能同时整除长，所以不行。教师总结：【非常重要】要保证用整块正方形地砖铺满长方形地面，地砖的边长必须同时整除长方形的长和宽，所以它必须是长方形长和宽的（学生齐答：公因数）。而“边长最大是几分米”，就是求（学生齐答：最大公因数）。板书核心模型：公因数——铺满地面的砖的边长；最大公因数——最大边长。三、回顾反思，深化理解（预计5分钟）1.回顾解题步骤：我们刚才是怎样一步步解决这个问题的？师生共同梳理：理解题意（抓关键词）——动手操作/动脑思考（寻找规律）——建立联系（因数、公因数）——得出结论。这个过程就是“分析问题—建立模型—解决问题”的过程。2.检验结果的合理性：我们得出的结论是否正确？边长4dm的地砖，长边需要几块？（16÷4=4块）宽边需要几块？（12÷4=3块）一共需要多少块？（4×3=12块）验证了正好铺满，且用的是整块。强调检验是解决问题不可或缺的一环。3.【重要】思想升华：同学们，今天我们从“铺地砖”这个生活实例中，提炼出了一个重要的数学模型——求公因数。以后遇到类似“分一分”、“裁一裁”、“铺一铺”，并且要求“正好分完”、“没有剩余”的问题时，我们就可以联想今天学到的知识。四、分层练习，巩固应用（预计12分钟）1.【基础练习】完成教材第63页“做一做”。（题目：有一张长方形纸，长70cm，宽50cm。如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是几厘米？）【高频考点】（1）学生独立审题，圈出关键词“没有剩余”、“同样大小”、“最大”。（2）引导学生分析：这是“剪正方形”的问题，等同于“铺地砖”模型。要求正方形的边长最大是多少，就是求70和50的（学生答：最大公因数）。（3）学生独立解答，用短除法或列举法求出最大公因数是10。指名板演，集体订正，并强调答语的完整性。2.【变式练习】生活情境题：五一班男生有48人，女生有36人。要分成若干小组，要求每组男生人数相同，每组女生人数也相同，且没有剩余。每组最多有多少人？这时男生、女生各分成了几组？【热点】【难点】（1）引导学生理解题意：“每组男生人数相同”意味着每组男生人数是48的因数；“每组女生人数相同”意味着每组女生人数是36的因数；“男生和女生分组后没有剩余”且“每组人数相同”，这里的“每组人数”就是指男生每组的人数（也是女生每组的人数），它必须同时是48和36的（学生答：公因数）。要求“每组最多有多少人”，就是求48和36的（学生答：最大公因数）。（2）求出最大公因数是12。追问：12表示什么？（每组最多12人，其中包含男生和女生，具体怎么分配？）进一步提问：这时男生分成了几组？（48÷12=4组）女生分成了几组？（36÷12=3组）（3）辨析比较：这道题与“铺地砖”问题有什么相同点和不同点？引导学生发现模型相同，都是求公因数和最大公因数，但实际意义不同。3.【拓展练习】思维提升：有两根木料，一根长12米，另一根长18米。现在要把它们截成同样长的小段（每段为整米数），且两根木料都没有剩余。每小段最长是多少米？一共可以截成多少段？【重要】（1）独立审题，明确“同样长”、“整米数”、“没有剩余”对应的是求12和18的公因数，“最长”对应求最大公因数。（2）求出最大公因数是6米。再计算段数：12÷6=2（段），18÷6=3（段），一共2+3=5（段）。提醒学生注意不要忘记求总段数。五、全课总结，构建网络（预计3分钟）1.畅谈收获：同学们，时间过得真快，这节课接近尾声了。请大家回顾一下，今天我们主要学习了什么内容？你有哪些收获？你认为解决这类问题的关键是什么？2.【核心提炼】学生自由发言，教师引导总结：今天我们不仅学会了用公因数的知识解决实际问题，更重要的是学会了一种重要的数学思想——建模思想。当遇到“平均分”、“裁剪”、“铺装”并且要求“正好”、“没有剩余”的时候，我们往往需要去寻找两个或多个数的公因数。3.延伸思考：在我们的生活中，还有哪些地方也用到了公因数的知识？（如：设计地板砖的规格、切割材料、排队形、分物品等）六、同步测试设计（随堂或课后使用）【命题意图】本测试题紧扣例3的数学模型，设计了三个层次，旨在全面检测学生对“用公因数解决问题”模型的掌握情况，考察学生从不同情境中抽象出数学模型的能力，以及在具体情境中灵活运用的能力。（一）基础巩固题（面向全体，夯实基础）1.【基础】填空题。（1）12的因数有（），18的因数有（），12和18的公因数有（），最大公因数是（）。（2）用正方形瓷砖铺满一块长20分米、宽15分米的长方形墙面，瓷砖的边长必须是20和15的（），最长可以是（）分米。2.【基础】选择题。把一张长24厘米、宽18厘米的长方形彩纸剪成同样大的正方形（边长整厘米），没有剩余。正方形的边长不可能是（）厘米。A.2B.3C.4D.6（二）综合应用题（聚焦核心，提升能力）3.【重要】解决问题。学校劳动基地有一块长方形的试验田，长54米，宽48米。学校打算将其划分成若干个同样大小的正方形种植区域（边长是整米数），让学生分小组种植不同的作物，要求正方形区域的面积尽可能大，且田地没有剩余。（1）每个正方形种植区域的边长最长是多少米？（2）一共可以划分成多少个这样的正方形区域？4.【高频考点】解决问题。小红和小丽是好朋友，她们都喜欢收集贴纸。小红有45张贴纸，小丽有30张贴纸。现在两人要把各自的贴纸分别装袋（每袋贴纸张数相同），且每人装完后都没有剩余。每袋最多能装多少张贴纸？这时，小红的贴纸可以装几袋？小丽的贴纸可以装几袋？（三）思维拓展题（挑战自我，发展潜能）5.【难点】综合运用。一条马路的一侧计划安装新的路灯。马路全长96米，两端也要安装。原来每隔12米安了一盏旧路灯（两端也有），现在要改成每隔16米安一盏。除了两端的两盏不需要移动外，中间还有几盏旧路灯不需要移动？【提示】不需要移动的路灯位置，既是12的倍数，又是16的倍数。这里我们需要用到什么知识？这个问题与我们今天学的公因数问题有什么联系和区别？【板书设计】公因数的实际应用（例3）【条件】【模型】正方形地砖边长必须同时整除长和宽边长整分米数————→=既是16的因数，也是12的因数铺满、整块=16和12的公因数16的因数：1，2，4，8，1612的因数：1，2，3，4，6，1216和12的公因数：1，2，4最大公因数：4【结论】可以选择边长是1dm、2dm、4dm的地砖。边长最大是4dm。【教学反思预设】本节课的设计力图打破传统应用题教学的桎梏