7.1 微分方程的概念

第七章微分方程§7.1微分方程的概念教学目的：理解微分方程、常微分方程、偏微分方程的概念理解微分方程的阶的概念3.会求微分方程的阶4.理解微分方程通解与特解的概念5.会判断某个函数是否是微分方程的通解6.了解微分方程的初值问题教学重点：1.求微分方程的阶2.微分方程通解与特解的概念3.判断某个函数是否是微分方程的通解4.根据通解和初值条件求微分方程的特解教学难点：对微分方程概念的理解对通解、特解的理解判断某个函数是否是微分方程的通解教学内容：一、微分方程的定义：1、引入引例1：求过点(1,3),且在曲线任一点M(x,y)处的切线斜率等于2x的切线方程.解：设所求曲线的方程为y=f(x).根据导数的几何意义，可知所求曲线应满足方程dy/dx=2x或dy=2xdx.（1）由于曲线过点(1,3),因此未知函数y=f(x)还应满足条件对（1）式两边积分，得把（2）式带入（3）式，得C=2.所以，所求曲线的方程为引例2：列车在以20m/s的速度行驶，当其制动时获得的加速度为-0.4m/s2,问开始制动后多长时间列车才能停住？在这段时间内列车行驶了多少路程？解：把列车刹车时的时刻记为t=0.刹车后位移与时间的关系为s=s(t),由导数的物理意义可知对（4）式两边积分得对(5)式两端再积分，得其中C1、C2为任意常数.由题意知代入(5)、（6）两式，得C1=20，C2=0，因此令得t=50.所以列车制动50s后才能停车.列车所走的路程为s(50)=500m.在科学研究和生产实践中，常常需要寻求表示客观事物变量之间的函数关系.然而,在许多问题中,往往不能直接得到所求的函数关系，只能得到含有未知函数的导数或微分的关系式.这样的关系式即通常所说的微分方程,通过求解微分方程可以进而得到函数关系.定义微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程常微分方程：未知函数为一元函数的方程偏微分方程：未知函数为多元函数的方程基本概念概念：微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数等都是微分方程.其中，(8)、(9)是一阶微分方程，(10)是二阶微分方程，（11）是五阶微分方程.微分方程的解：如果把某个定义在区间D上的连续可导的函数代入微分方程中，能使该方程成为恒等式，则称此函数为该微分方程在区间D上的一个解.如函数是微分方程dy/dx=2x的一个解；函数是微分方程的一个解.通解与特解：如果微分方程的解中含有任意常数，且其中独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称这个解为该方程的通解.不含任意常数的解称为该方程的特解.例为微分方程dy/dx=2x的通解；为微分方程dy/dx=2x的特解.显式解与隐式解：以显函数形式表示的解称为显式解.以隐函数的形式表示的解称为隐式解.例为微分方程dy/dx=−x/y的显式解；为其隐式解.初值问题:用来确定通解中任意常数的条件称为初始条件.问题1：求微分方程(y)́=f(x,y)满足初始条件的特解记为称为一阶微分方程的初值问题.问题2：类似地，问题称为二阶微分方程的初值问题.积分曲线：微分方程的解的图形是一条曲线，称为该微分方程的积分曲线.初值问题1的几何意义：求微分方程(y)́=f(x,y)过点(x0,y0)的那条积分曲线.初值问题2的几何意义：求微分方程(y)́=f(x,y)过点(x0,y0)且在该点处的切线斜率为y0́的那条积分曲线.例题验证函数y=C1e2x+C2e−2x(C1、C2为任意常数)是二阶微分方程的通解，并求此微分方程满足初始条件的特解.分析：要验证一个函数是否是一个微分方程的通解，只需将该函数及其导数代入微分方程中，看是否使方程称为恒等式，再看通解中所含独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.要求微分方程满足所给初始条件的特解，只要把初始条件代入通解中，定出通解中的任意常数后，便可得到所需求的特解.解：将函数y=C1e2x+C2e−2x分别求一阶及二阶导数，得把他们代入式（12）的左端，得所以，函数y=C1e2x+C2e−2x是所给微分方程（12）的解.又因为这个解中含有两个独立的任意常数，任意常数的个数与微分方程（12）的阶数相同，所以它是该方程