高等基础数学8.2 全微分

多元函数微积分§8.2全微分教学目的：1.学习和掌握多元函数（以二元函数为主）全微分的定义2.掌握二元函数可微与偏导数存在之间的关系3.求多元函数的全微分教学重点：1.可微与偏导数存在之间的关系2.多元函数的全微分教学难点：1.计算多元函数的全微分教学内容：全微分的定义偏增量与偏微分:根据一元函数微分学中增量与微分的关系,有为函数对的偏增量,为函数对的偏微分;f(x,y+Dy)-f(x,y)»fy(x,y)Dy,为函数)对的偏增量,为函数对的偏微分.全增量:计算全增量比较复杂,我们希望用的线性函数来近似代替之.定义如果函数在点的全增量 （1）可表示为，（2）其中、不依赖于、而仅与有关，，则称函数在点可微分，而称为函数在点的全微分，记作，即 。如果函数在区域内每一点处都可微分，那么称这函数在内可微分。可微与连续:可微必连续,但偏导数存在不一定连续.这是因为,如果在点可微,则,从而.因此函数在点处连续.二、可微分的条件下面讨论函数在点可微分的条件。定理1（必要条件）如果函数在点可微分，则该函数在点的偏导数、必定存在，且=+。（3）证设函数在点可微分。于是，对于点的某个邻域的任意一点，（2）式总成立。特别当时（2）式也应成立，这时，所以（2）式成为 。上式两边各除以，再令而取极限，就得 从而偏导数存在，且等于。同样可证=。所以（3）式成立。证毕。偏导数、存在是可微分的必要条件,但不是充分条件.例如,函数在点(0,0)处虽然有fx(0,0)0及fy(0,0)0,但函数在不可微分,即不是较高阶的无穷小.这是因为当沿直线趋于时,.由于自变量的增量等于自变量的微分，即，于是习惯上的全微分表示为=+。例1讨论在点处的偏导数存在性及可微性。解：由偏导数的定义，有即在处的两个偏导数都存在。但是函数在点处不可微，这是由于从而如果选取点沿直线趋于点，则于是，由全微分定义可知，函数在点处不可微。由此可见，偏导数存在是可微的必要条件，而不是充分条件。定理2（充分条件）如果函数的偏导数、在点连续，则函数在该点可微分。证因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数（对于偏导数也如此），所以假定偏导数在点连续，就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思（以后凡说到偏导数在某一点连续均应如此理解）。设点为这邻域内任意一点，考察函数的全增量 。在第一个方括号内的表达式，由于不变，因而可以看作是的一元函数的增量。于是，应用拉格郎日中值定理，得到 = 又假设，在点连续，所以上式可写为 =， （4）其中为、的函数，且当，时，。同理可证第二个方括号内的表达式可写为 ， （5）其中为的函数，且当时，。由（4）、（5）式可见，在偏导数连续的假定下，全增量△z可以表示为 。 （6）容易看出 ||，它是随着，即而趋于零。这就证明了在点是可微分的。以上关于二元函数全微分的定义及微分的必要条件和充分条件，可以完全类似的推广到三元和三元以上的多元函数。通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。叠加原理也适用于二元以上的函数的情形。例如，如果三元函数可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和，即例2计算函数的全微分．解因为，，所以．例3计算函数在点处的全微分．解因为所以 ．例4计算函数的全微分.解因为 所以 全微分在近似计算中的应用由二元函数的全微分的定义及关于全微分存在的充分条件可知，当在点的两个偏导数和连续且都较小时，就有近似等式上式也可写成例5计算的近似值。解：设，取所以例6有一圆柱体，受压后发生变形，它的半径由20cm增大到20.05cm，高度由100cm减小到99cm。求此圆柱体体积变化的近似值。解：设圆柱体的半径、高和体积依次