第四章 3 函数的单调性和极值_第1页
第四章 3 函数的单调性和极值_第2页
第四章 3 函数的单调性和极值_第3页
第四章 3 函数的单调性和极值_第4页
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文档简介

第四章导数的应用§4.3函数的单调性与极值教学目的：1.掌握函数的单调性2.理解极值的概念3.掌握函数极值的必要条件和充分条件教学重点：1.函数的单调性的判断2.函数极值的判断教学难点：函数极值的判断教学内容：4.3函数的单调性与极值4.3.1函数单调性的判定定理4.4：设函数fx在a,b上连续，在a,b（1）若在a,b内f'x>0，则函数fx（2）若在a,b内f'x<0，则函数fx例：讨论fx解：该函数的定义域为.令，解得，列表讨论如下：x-∞,1(1,3)3,+∞f+-+f↗↘↗x0,1f-+f↘↗x-∞,-2-2(-2,0)00,+∞f+0-0+f↗极大值4↘极小值0↗由表可知，函数在-∞,1和3,+∞上单调增加，在[1,3]上单调减少.上单调递增，练习：1.判断函数在区间内的单调性.【单调增加】2.判断函数的单调性.【单调减少】4.3.2函数的极值及其求法定义4.1：设函数fx在区间a,b内有定义，x0是a,b内一点.如果对x0附近任一有定义的点x，都有fx<fx0（或fx>fx0），就称f函数的极值与极值点如下图所示.定理4.5（极值的必要条件）：若函数fx在点x0处取得极值，则f'x将函数的一阶导数为零的点称为驻点.因此，驻点和不可导点都有可能是函数的极值点.定理4.6（极值存在的第一充分条件）：设函数fx在点x0及其附近连续且可导（在x0处可以不可导），且在x0两边的导数值异号，则f（1）若f'x由正变负，则fx0（2）若f'x由负变正，则fx0（3）如果在x0的左、右两侧f'x符号相同，则求y=f（1）求出函数fx（2）求出函数fx的导数f'（3）求出函数fx的全部驻点和不可导点（4）用上述驻点和不可导点将函数fx的定义域分成若干区间，列表讨论在每个区间上f'x的符号和函数的增减.在根据定理4.6确定上述驻点和例：求函数的极值.解：（1）的定义域为.（2）.（3）令，得驻点，无不可导点.（4）用驻点划分的定义域，列表如下：所以函数的极大值为f-2=4e练习：求出函数的极值.【极大值为10，极小值为-22】定理4.7（极值存在的第二充分条件）：设函数fx在点x0处具有二阶导数，且f'x（1）若f''x<0，则fx（2）若f''x>0，则fx注意：以下三种情况不能使用第二充分条件，必须使用第一充分条件进行判别：（1）f'x不存在；（2）f''x=0例：求函数f

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