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文档简介

高等数学

第七章

微分方程

二阶线性微分方程

目录Contents二阶线性微分方程的定义1二阶线性微分方程解的结构2二阶线性齐次、非齐次二阶常系数线性齐次、非齐次二阶线性齐次微分方程解的结构二阶线性非齐次微分方程解的结构3二阶常系数线性齐次微分方程的解定义1二阶线性微分方程形如的微分方程称为二阶线性微分方程.二阶线性齐次微分方程：二阶线性非齐次微分方程：二阶常系数线性齐次微分方程：二阶常系数非线性齐次微分方程：二阶线性微分方程解的结构2对于两个不恒等于零的函数y1与y2，如果存在一个常数C,使y2=Cy1,则称函数y2与y1线性相关；否则，称函数y2与y1线性无关.定义1例如：

与

线性无关，

与

线性相关.如果函数y1、y2都是二阶线性齐次微分方程定理1的解，则y=C1y1+C2y2也是该方程的解，其中C1、C2是任意常数.如果函数y1、y2是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关特解，则y=C1y1+C2y2是该方程的通解，其中C1、C2是任意常数.定理2：二阶线性齐次微分方程解的结构定理设y*是二阶线性非齐次微分方程的一个特解，Y是与它y=Y+y*是二阶线性非齐次微分方程的通解.定理3：二阶线性非齐次微分方程解的结构定理对应的齐次方程

的通解，则二阶常系数线性齐次微分方程3方程

称为二阶常系数线性齐次微分方程定义2的特征方程.特征方程的根称为特征根.特征方程

是一元二次方程，将微分方程中的

换成

，把

换成

，把

y换成1，可得到对应的特征方程.特征根有如下三种情况：（1）特征方程有两个不相等的实根：方程的通解为（2）特征方程有两个相等的实根：方程的通解为（3）特征方程有一对共轭复根：方程的通解为综上所述，求二阶常系数线性齐次微分方程的通解的步骤如下.第一步：写出微分方程

的特征方程第二步：求出特征方程的两个根

与第三步：根据特征方程的两个根的不同情况，有相应的通解公式，见下表

例1：求微分方程

的通解.解：所给微分方程的特征方程为即解得因此，特征根为所以，方程的通解为

例2：解：所给微分方程的特征方程为解得特征根为求微分方程

满足条件

的通解.所以微分方程的通解为将初始条件

代入通解得解方程组，得

，故微分方程的特解为

例3：解：所给微分方程的特征方程为解得特征根为求微分方程

的通解.所以微分方程的通解为练习1、求下列微分方程的通解.2、求下列微分方程满足初始条件的特解.课堂小结二阶线性齐次、非齐次微分方程的形

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