8.1.1 多元函数的基本概念

高等数学

第八章

多元函数微积分

多元函数的基本概念

目录Contents平面点集*n维空间1多元函数概念2平面点集*n维空间定义3二元函数的极限定义4多元函数的连续性定义性质1平面点集*N维空间平面点集坐标平面上具有某种性质的点的集合称为平面点集记作例如平面上以原点为中心、为半径的圆内所有点的集合是如果我们以点表示以|OP|表示点到原点的距离那么集合可表成

邻域

设

是

平面上的一个点，

是某一正数。

与点

距离小于

的点

的全体，称为点

的

邻域，记

或

即

或邻域的几何意义：

就是

平面以上点为

中心、

为半径的圆的内部的点

的全体。如果去掉领域的中心，称为点

的去心

邻域，记作

或

即

n维空间

维空间中两点

及

间的距离规定为容易验知，当

时，由上式便得解析几何中关于直线（数轴），平面，空间内两点的距离。多元函数概念2引力1：圆柱体的体积和它的底半径、高之间具有关系这里当、在集合内取定一对值时对应的值就随之确定。引力2：设是电阻、并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系，对应值就随之确定。上面两个例子的具体意义虽各不相同，但它们却有共同的性质，抽出这些共性就可得出以下二元函数的定义。引力定义1

设

是平面上的一个点集,如果对于每个点

，变量按照一定法则总有确定的值和它对应，则称

是变量

的二元函数（或点

的函数），记为

（或

）。点集

称为该函数的定义域，

称为自变量，也称为因变量。数集

称为该函数的值域。例如：函数

的定义域为

如图8-1），就是一个无界开区域；又如，

的定义域为

（如图8-2），这是一个有界闭区域。图8-1图8-2（1）

；（2）

；（3）

.

（1）要使函数

有意义，则有

则函数

的定义域为

.（2）要使函数

有意义，则有

函数

的定义域为（3）要使函数

有意义，则有

即

函数

的定义域为

例1：求下列二元函数的定义域。解：二元函数的极限3设函数在区域内有定义，是的内点或边界点，是常数。如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点都有成立，则称常数为函数当时的（二重）极限，记作。为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。定义2例2设,求证

证：因为可见

取

则当

即

时总有因此必须注意(1)二重极限存在是指P以任何方式趋于P0时函数都无限接近于A.(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时函数趋于不同的值则函数的极限不存在.讨论函数

在点(00)有无极限？提示当点P(xy)沿x轴趋于点(00)时，

当点P(xy)沿y轴趋于点(00)时，

当点P(xy)沿直线y=kx有

因此函数f(xy)在(00)处无极限.

极限概念的推广：多元函数的极限.多元函数的极限运算法则：与一元函数的情况类似.求

.

这里

在区域

和区域

内都有定义，且

同时为

及

的边界点。但无论在内还是在内考虑，下列运算都是正确的：例3例4求解：解：定义3

设二元函数的定义域为

，

为

的聚点，且

。如果

,则称函数

在点

连续。如果函数

在区域

内的每一点连续，那么就称函数

在

内连续，或者称

是

内的连续函数。

以上关于二元函数的连续性概念，可相应地推广到

元函数

上去。

例5：

设

证明

是

上的连续函数

证：设

由于

在

处连续，故

当

时,有

以上述

作

的

邻域

则当

时，显然即

在点

连续由

的任意性知，

作为

的二元函数在

上连续类似的讨论可知一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时它们在各自的定义域内都是连续的定义4

设函数

的定义域为

，

是

的聚点.若函数

在点

不连续，则称

为函数

的间断点。这里顺便指出：如果在区域

内某些孤立点，或者沿

内某些曲线，函数

没有定义，但在内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点，都是函数

的不连续点，即间断点。

前面已经讨论过的函数当

，

时的极限不存在，所以

点是该函数的一个间断点。二元函数的间断点可以形成一条曲线，例如函

在圆周

上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点。性质1：（最大值和最小值定理）

在有界闭区域

上的多元连续函数，在

上一定有最大值和最小值。这就是说，在

上至少有一点

及一点

，使得

为最大值而

为最小值，即对于一切P∈D,有.性质2：（介值定理）

在有界闭区域

上的多元连续函数，如果在

上取得两个不同的函数值，则它在

上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。特殊地，如果

是函数在

上的最小值

和最大值

之间的一个数，则在

上至少有一点

，使得

。

例6：求函数

是初等函数，它的定义域为

。因

不是连通的，故

不是区域。但

是区域，且

，所以

是函数

的一个定义区域。因

,故.如果这里不引进区域

，也可用下述方法判定函数

在点

处是连续的：因

是

的定义域

的内点，故存在

的某一邻域

，而任何邻域都是区域，所以

是

的一个定义区域，又由于

是初等函数，因此在点处连续。一般地，求

，如果

是初等函数，且

是

的定义域的内点，则

在点